Σχεδιασμός των Μεταφορών Ενότητα #10.1: Καταμερισμός στο δίκτυο με το πρόγραμμα EMME/2 Δρ. Ναθαναήλ Ευτυχία Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Περιεχόμενα ενότητας Στοιχεία εισαγωγής και αποτελέσματα Εξισώσεις χρόνου διαδρομής Το παράδοξο του Braess – μαθηματική έκφραση – αλγόριθμος επίλυσης Σχηματική παράσταση δικτύου Κριτήρια διακοπής διαδικασίας Αλγόριθμοι καταμερισμού

Στοιχεία εισαγωγής και αποτελέσματα δίκτυο (κεντροειδή, κόμβοι, τμήματα, στροφές) μητρώα (ζήτησης, πληρότητας οχημάτων, πρόσθετης ζήτησης) εξισώσεις (χρόνου διαδρομής σε τμήματα και στροφές) παράμετροι (κριτήρια ολοκλήρωσης) δίκτυο (φόρτοι, χρόνοι, πρόσθετοι φόρτοι) μητρώα (χρόνοι)

Εξισώσεις χρόνου διαδρομής (1 από 2) Θετική φορά ομοιόμορφη αύξηση κόστος διαδρομής = άθροισμα κόστους επιμέρους τμημάτων και κόμβων διαχωρισμός στοιχείων τμημάτων (μη εξάρτηση χαρακτηριστικών τμημάτων από αυτά των άλλων τμημάτων) …. ναι όχι

Εξισώσεις χρόνου διαδρομής (2 από 2) χρόνος f BPR = to (1 + τ (v/c)a) περιορισμός «επίπεδου» τμήματος f B = to (1 + βν + τ (v/c)a), όπου (β~0.001) περιορισμός «απότομου» τμήματος f γ = to (1 + βν + τ (v/c)a) (v/c < 1.2) + (δ + γν) (v/c > 1.2) (όπου γ = κλίση του «απότομου» τμήματος 1 1,2 v/c

Κωνικές εξισώσεις χρόνου διαδρομής f BPR = to (1 + τ (v/c)a) = to + (to 1/a τ 1/a v/c)a f CON = 2 + a2 (1 - τ1/a v/c)2 + β2 - a (1 - τ1/a v/c) - β θα πρέπει: f BPR (0) = f CON (0) f BPR (1) = f CON (1) όμοιες κλίσεις όταν v/c = 1

Μεταβλητές τμήματα στροφές volau φόρτος volad πρόσθετος φόρτος lanes αριθμός λωρίδων length μήκος uln στοιχεία χρήστη eln επιπλέον στοιχεία χρήστη στροφές pvolau φόρτος pvolad πρόσθετος φόρτος upn στοιχεία χρήστη epn επιπλέον στοιχεία χρήστη

Αλγόριθμος εξισορρόπησης Αρχές Wardrop (1952): “Ο χρόνος διαδρομής σε όλες τις διαδρομές που χρησιμοποιούνται είναι ίσος και μικρότερος από εκείνον που ισχύει σε διαδρομές που δε χρησιμοποιούνται» Κάθε χρήστης ελαχιστοποιεί το χρόνο του, αν υπάρχει συντομότερη διαδρομή από την υφιστάμενη τότε θα επιλεγεί, κανένας χρήστης δεν μπορεί να βελτιώσει το χρόνο διαδρομής Γίνεται ελαχιστοποίηση των επιμέρους χρόνων και όχι των συνολικών ή των μέσων χρόνων

Το παράδοξο του BRAESS 10 v12 v24 +50 6==> ==>6 10 v34 V13+50

Μαθηματική έκφραση (1 από 3) Δείκτες και σύνολα p Ε P ζώνες προέλευσης q E Q ζώνες προορισμού i E I κόμβοι α E A τμήματα α E Ai(-) τμήματα που καταλήγουν στο i α E Ai(+) τμήματα που αρχίζουν από i k E Kpq διαδρομή από p προς q k E K σύνολο διαδρομών

Μαθηματική έκφραση (2 από 3) σταθερές δ αk 1 αν το τμήμα α ανήκει στη διαδρομή k g pq ζήτηση για μετακινήσεις από p προς q η pq πληρότητα οχημάτων από p προς q γ pq πρόσθετη ζήτηση x α πρόσθετος φόρτος σε τμήμα volad x α1α2 πρόσθετος φόρτος σε κόμβο pvolad

Μαθηματική έκφραση (3 από 3) τύποι s a (va) χρόνος ή κόστος τμήματος fdn p α1 α2 (ν α1 α2) χρόνος σε στροφή fpn μεταβλητές va φόρτος τμήματος volau ν α1 α2 φόρτος σε στροφή pvolau hk ροή σε διαδρομή

Αλγόριθμος επίλυσης Γραμμική προσέγγιση (Frank & Wolfe - 1956) Εκκίνηση (επανάληψη 0) 1 εύρεση ελάχιστης διαδρομής για κάθε ζεύγος με χρόνους διαδρομής ελεύθερης ροής 2 καταμερισμός των μετακινήσεων στις ελάχιστες διαδρομές Επανάληψη i 1 εύρεση ελάχιστης διαδρομής για κάθε ζεύγος με χρόνους διαδρομής timei (volaui-1) 2 καταμερισμός των μετακινήσεων στις ελάχιστες διαδρομές yvolaui 3 υπολογισμός λi του υποσυνόλου των μετακινήσεων που χρησιμοποιεί τις νέες ελάχιστες διαδρομές 4 ενημέρωση των φόρτων volaui = (1-λi) volaui-1 + λi yvolaui

Παράδειγμα (1 από 2) Για την μετακίνηση από τη ζώνη 101 στη ζώνη 102 του παρακάτω δικτύου, υπάρχουν τρεις εναλλακτικές διαδρομές (δ1,δ2 και δ3) ενώ ο συνολικός κυκλοφοριακός φόρτος που πρέπει να κατανεμηθεί στις διαδρομές αυτές είναι 100 οχήματα.

volaui = (1 – λi)* volaui-1 + λi* yvolauiI Παράδειγμα (2 από 2) Ο χρόνος μετακίνησης που αντιστοιχεί σε κάθε διαδρομή δίνεται από τις παρακάτω συναρτήσεις: Χρόνοι διαδρομής tδ1 = 10{ 1 + 0.15(V1/20)4} tδ2 = 20{ 1 + 0.15(V2/40)4} tδ3 = 25{ 1 + 0.15(V3/30)4} όπου: V1, V2, V3 ο κυκλοφοριακός φόρτος στην αντίστοιχη διαδρομή. Ο υπολογισμός του φόρτου κάθε διαδρομής δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: volaui = (1 – λi)* volaui-1 + λi* yvolauiI volaui : ο αριθμός των οχημάτων στο τμήμα, κατά το βήμα i, όπως προκύπτει από τη διαδικασία εξισορρόπησης. yvolaui : ο συνολικός αριθμός των οχημάτων στη συντομότερη διαδρομή (σύμφωνα με την κατανομή all or nothing)

Βέλτιστο βήμα (ΕΜΜΕ/2) Προσδιορίζεται σύνολο τιμών λ για τις οποίες υπολογίζεται η κλίση f’ (λ) εντοπίζονται οι τιμές του λ μεταξύ των οποίων αλλάζει πρόσημο η κλίση προσδιορίζεται το λ για το οποίο είναι f’ (λ) = 0 με παρεμβολή οι τιμές του λ είναι 6 και στην επανάληψη 0 κυμαίνονται μεταξύ του 0 και του 1 (ισοκατανεμημένες) στις επόμενες επαναλήψεις υπολογίζονται οι 5 ενδιάμεσες τιμές μεταξύ του 0 και του λ της προηγούμενης επανάληψης

ΣΧΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ

Μεθοδολογία (1 από 4) Βήμα 1ο Ξεκινώντας με μηδενικό φόρτο οι χρόνοι διαδρομής για κάθε εναλλακτική πορεία δίδονται στο παρακάτω σχήμα. Χρόνοι διαδρομής σε λεπτά Προκύπτει ότι η συντομότερη διαδρομή είναι η πρώτη με συνολικό χρόνο 10 λεπτών. Σύμφωνα με την κατανομή all or nothing η διαδρομή αυτή θα παραλάβει όλο τον κυκλοφοριακό φόρτο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Φόρτος κάθε διαδρομής (κατανομή all or nothing)

Μεθοδολογία (2 από 4) Βήμα 2ο Η αρχική τιμή της παραμέτρου λ είναι μονάδα. Η πρώτη κατανομή των φόρτων volau, στο δίκτυο παρουσιάζεται παρακάτω Φόρτος vοlau κάθε διαδρομής (κατανομή εξισορρόπησης) Με τους νέους φόρτους υπολογίζονται οι νέοι χρόνοι διαδρομής όπως παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. Η δεύτερη διαδρομή είναι όπως προκύπτει η συντομότερη με συνολικό χρόνο 20 λεπτών. Χρόνοι κάθε διαδρομής σε λεπτά

Μεθοδολογία (3 από 4) Σύμφωνα με την κατανομή all or nothing η δεύτερη διαδρομή θα παραλάβει τώρα όλο τον κυκλοφοριακό φόρτο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Φόρτος κάθε διαδρομής (κατανομή all or nothing) του βήματος 2 Η νέα τιμή της παραμέτρου λ είναι 0,5576. Η νέα κατανομή των φόρτων εξισορρόπησης στο δίκτυο παρουσιάζεται παρακάτω Φόρτος κάθε διαδρομής (κατανομή εξισορρόπησης)

Μεθοδολογία (4 από 4) Η διαδικασία συνεχίζεται έως την επίτευξη ίσων χρόνων διαδρομής σε όλες τις εναλλακτικές πορείες όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Γίνεται φανερό ότι όσο οι διαφορές στους χρόνους διαδρομής μειώνονται, τόσο η τιμή του λ πλησιάζει το μηδέν Βήμα tδ1 tδ2 tδ3 λ V1 V2 V3 10.00 20.00 25.00 1. 100 1 947.5 0.5576 44.24 55.76 2 45.90 31.33 0.1794 36.30 45.76 17.94 3 26.28 25.14 25.48 0.01286 35.83 46.46 17.71 4 25.46 0.00003

Κριτήρια διακοπής διαδικασίας Μετά από n επαναλήψεις Best relative gap: Η διαφορά (%) μεταξύ της κατανομής που έχει επιτευχθεί από το χρήστη και της τέλειας κατανομής εξισορρόπησης του δικτύου όπου όλες οι εναλλακτικές διαδρομές θα έχουν τον ίδιο χρόνο (ή κόστος). Το ποσοστό αυτό ορίζεται από το Emme/2 ως 0.5% Normalized gap: Η διαφορά (σε λεπτά) μεταξύ του μέσου και του ελάχιστου χρόνου ταξιδιού της συγκεκριμένης κατανομής στο δίκτυο. Το νούμερο που ορίζει το Emme/2 είναι 0.5 min.

τέλειος καταμερισμός: Αποτέλεσμα τέλειος καταμερισμός: όταν ο συνολικός χρόνος στις χρησιμοποιούμενες διαδρομές = συνολικό χρόνο στις ελάχιστες διαδρομές

Οι διαθέσιμες επιλογές στους αλγορίθμους καταμερισμού του Emme/2 Fixed demand και variable demand auto assignment Η επιλογή αυτή αφορά τον τρόπο με τον οποίο θα δοθεί ο αριθμός των μετακινήσεων από ζώνη σε ζώνη. Ο αριθμός αυτός μπορεί να δοθεί με κάποιες συγκεκριμένες τιμές που ορίζουν ένα μητρώο Π –Π ή να καθορίζεται από τη χρήση συναρτήσεων. 2. Single class και multiclass assignment Η επιλογή αυτή αφορά την διάκριση των χρηστών σε κατηγορίες (classes) και αφορά το κατά πόσο η χρήση όλου του δικτύου θα γίνεται για κάθε κατηγορία χρηστών ή θα μπορούν συγκεκριμένες κατηγορίες χρηστών να χρησιμοποιούν κομμάτια του δικτύου. Κάτι τέτοιο θα ήταν χρήσιμο για μελλοντική εξέταση π.χ. αποκλεισμού του κέντρου από κίνηση Ι.Χ. αυτοκινήτων ή εφαρμογή δακτυλίου σε κάποιες περιοχές κτλ. Generalised cost assignment Η επιλογή αυτή εισάγει την έννοια του γενικευμένου κόστους έτσι ώστε η επιλογή της διαδρομής να εξαρτάται εκτός από το χρόνο διαδρομής και από άλλους παράγοντες κόστους όπως απόσταση, διόδια κτλ.