Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Ασκήσεις

Άσκηση 6.2 Λύση Έστω ένας MIN κόμβος του οποίου τα παιδιά είναι τερματικοί κόμβοι Εάν ο MIN δεν παίζει βέλτιστα, τότε η τιμή του κόμβου ΜΙΝ θα είναι μεγαλύτερη ή ίση από την τιμή που θα είχε εάν ο MIN έπαιζε βέλτιστα Επομένως, η τιμή του κόμβου MAX, του κόμβου γονέα του κόμβου MIN, θα είναι σίγουρα μεγαλύτερη Αυτό το επιχείρημα μπορεί να επεκταθεί με απλή επαγωγή μέχρι τη ρίζα

Άσκηση 6.2 Λύση Εάν το μη βέλτιστο παίξιμο του ΜΙΝ μπορεί να προβλεφθεί, τότε μπορούμε να επιτύχουμε καλύτερα αποτελέσματα από μια minimax στρατηγική Για παράδειγμα, εάν ο ΜΙΝ πέφτει πάντα σε μια συγκεκριμένη παγίδα και χάνει, τότε η δημιουργία της παγίδας εγγυάται τη νίκη, ανεξάρτητα από την επιλογή του ΜΙΝ

Άσκηση 6.3 Λύση β. Οι τιμές «?» αντιμετωπίζονται θεωρώντας ότι όταν υπάρχει το δίλημμα ανάμεσα σε μια κατάσταση νίκης και μια κατάσταση «?» θα επιλέγεται πάντα η κατάσταση νίκης Επομένως, το min(-1, ?) οδηγεί σε -1 και το max(+1,?) οδηγεί σε +1 Εάν όλοι οι διάδοχοι κόμβοι είναι «?» η τιμή που επιλέγεται είναι η «?»

Άσκηση 6.3 Λύση γ. Ο κλασσικός minimax είναι ένας πρώτα σε βάθος αλγόριθμος και θα οδηγήσει σε ατέρμονο βρόγχο Μπορεί να αντιμετωπιστεί αν συγκρίνουμε κάθε κατάσταση με τις προηγούμενες και σε περίπτωση που βρούμε μια ίδια να επιστρέφεται η τιμή «?» Η αντιμετώπιση του «?» γίνεται όπως στο β.

Άσκηση 6.3 Λύση γ. Αυτό δε θα δούλευε σε όλες τις περιπτώσεις γιατί: Δεν καθορίζεται πως θα συγκρινόταν το «?» με μία κατάσταση ισοπαλίας Δεν καθορίζεται πως θα διαχειριστεί μια κατάσταση με νίκες διαφορετικών βαθμών Επίσης, σε παιχνίδια με κόμβους τύχης δεν είναι ξεκάθαρο πως θα υπολογιστεί ο μέσος όρος ενός αριθμού και του «?»

Άσκηση 6.3 Λύση γ. Εάν το δέντρο του παιχνιδιού δεν έχει κύκλο, τότε ο αλγόριθμος minimax μπορεί να αποτιμήσει κάθε κόμβο ξεκινώντας από τα φύλλα Εάν υπάρχει κύκλος, υπάρχει περίπτωση οι δύο παίκτες να προτιμάνε να παραμένουνε σε αυτόν τον κύκλο επ’ άπειρον Σε αυτή την περίπτωση οι κανόνες του παιχνιδιού πρέπει να καθορίζουν την τιμή των επαναλαμβανόμενων κόμβων, διαφορετικά το παιχνίδι δε θα τελείωνε ποτέ Π.χ. στο σκάκι, μια κατάσταση που επαναλαμβάνεται τρεις φορές (και επομένως θεωρείται ότι είναι επιθυμητή και από τους δύο παίκτες) θεωρείται ισοπαλία

Άσκηση 6.7 Λύση Έστω ότι οι απόγονοι ενός κόμβου είναι οι x1, …, xn και ότι ο μετασχηματισμός είναι ο ax+b, a>0 Ισχύει: min(ax1+b, ax2+b, …, axn+b) = a∙min(x1, …, xn)+b max(ax1+b, ax2+b, …, axn+b) = a∙max(x1, …, xn)+b p1(ax1+b)+p2(ax2+b)+…+pn(axn+b) = a(p1x1+p2x2+…+pnxn)+b Αφού x>y  ax+b>ay+b, a>0, η καλύτερη επιλογή για τη ρίζα θα είναι ίδια με την καλύτερη επιλογή για τη ρίζα του αρχικού δένδρου