ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 4 ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 4 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 6/5/2017

Χαρακτηριστικά του προβλήματος Μελέτη αντικειμενικών συναρτήσεων και συναρτήσεων περιορισμών: Απλούστευση προβλήματος Εξερεύνηση λάθος διατύπωσης του προβλήματος Επιλογ΄κατάλληλων αλγορίθμων βελτιστοποίησης Ιδιότητες: Οριακή συμπεριφορά Γραμμικότητα Κυρτότητα Μονοτονικότητα

Οριακή συμπεριφορά Ο ορισμός κατάλληλων ορίων είναι απαραίτητος για την αποφυγή μη ρεαλιστικών λύσεων: Π.χ.: σχεδιασμός χαπιού ασπιρίνης Στόχος: ελαχιστοποίηση χρόνου διάλυσης = μεγιστοποίηση επιφάνειας (σταθερός όγκος) r h

Οριακή συμπεριφορά (2) f r Ο περιορισμός ισότητας όγκου μπορεί να αντικατασταθεί, δίνοντας: r f Απαιτούνται περιορισμοί σε σχέσχη με το r. Παρατηρήστε ότι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης είναι καλά ορισμένο.

Γραμμικότητα “Μια συνάρτηση f είναι γραμμική αν ικανοποιεί το f(x1+ x2) = f(x1)+ f(x2) και f(a x1) = a f(x1) για κάθε δύο σημεία x1, x2 iστο χώρο, και όλα τα a”

Γραμμικότητα (2) f x2 f x2 x1 x1 x Μη γραμμικές αντικειμενικές συναρτήσεις μπορεί να έχουν πολλά τοπικά ακρότατα: f x1 x2 x1 x2 f x Πρόκληση: η εύρεση του ολικού βέλτιστου.

Οριακή συμπεριφορά Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιφάνειας του χαπιού ασπιρίνης δεν είναι καλά ορισμένο: r f

Κυρτότητα Κυρτή συνάρτηση: κάθε γραμμή που ενώνει οποιαδήποτε 2 σημεία στη γρ. παρ. υπερκείται αυτής (ή κείται πάνω σ’ αυτή) Παρατηρήστε τη διαφορά ανάμεσα στο αυστηρώς κυρτό και στο απλά κυρτό. Η γραμμικότητα συνεπάγεται κυρτότητα (αλλά όχι με τον αυστηρό ορισμό αυτής)

Κυρτότητα (2) Κυρτό σύνολο : “Ένα σύνολο S είναι κυρτό αν για κάθε δύο σημεία x1, x2 στο S, η γραμμή που τα ενώνει επίσης βρίσκεται εξ΄ολοκλήρου εντός του.”

Κυρτότητα (3) Οι μη γραμμικές συναρτήσεις περιορισμών μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα μη κυρτά εφικτά χωρία: x2 x1 Τα μη κυρτά εφικτά χωρία μπορούν να έχουν πολλαπλά τοπικά βέλτιστα, ακόμα και με γραμμικές αντικειμενικές συναρτήσεις.

Μονοτονία Συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα αν: f(x2) > f(x1) για x2 > x1 ασθενώς αύξουσα αν: f(x2)  f(x1) για x2 > x1 Ομοίως για Φθίνουσα f2 f1 x1 x2 Ομοίως: Σημ.: μονοτονία  κυρτότητα! Η γραμμικότητα συνεπάγεται μονοτονία

Παράδειγμα: σχεδιασμός σωληνωτού στύλου R t P l R g3 g1 f g2 t

Ανάλυση προβλήματος βελτιστοποίησης Κίνητρο: Απλούστευση Προσδιορισμός λαθών στη διατύπωση έγκαιρα Προσδιορισμός υπό-/ υπέρ-δεσμευμένων προβλημάτων Διορατικότητα Αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη βέλτιστης λύσης Βάση: οριακή συμπεριφορά και ενεργοί περιορισμοί

Καλά ορισμένες συναρτήσεις – μερικές έννοιες Κάτω όριο: Μέγιστο άνω όριο: g f x Ελάχιστο: Ελαχιστοποιητής: x*

Έλεγχος οριακής συμπεριφοράς Υπόθεση: σε προβλήματα βελτιστοποίησης μηχανικού, οι μεταβλητές σχεδιασμού είναι θετικές and πεπερασμένες Ορισμός Έλεγχος οριακής συμπεριφοράς: Προσδιορισμός g+ για Προσδιορισμός ελαχιστοποιητών Καλώς ορισμένη αν Ν = σύνολο μη αρνητικών αριθμών, P = σύνολο θετικών πεπερασμένων αριθμών F(x*) = ελάχιστο, x* = ελαχιστοποιητής

Παραδείγματα Φραγμένη στο μηδέν Ασυμπτωτικά φραγμένη

Σχεδιασμός τρόμπας αέρα Στόχος: ελαχιστοποίηση μάζας t r h l Όχι καλά ορισμένη: απαιτούνται περιορισμοί

Περιορισμοί σχεδιασμού τρόμπας Minimum volume: Min. head/radius ratio (ASME code): Min. thickness/radius ratio (ASME code): Room for nozzles: min. length Space limitations: max. outside radius

Μερική ελαχιστοποίηση κ΄ περιορισμοί Μερική ελαχιστοποίηση: κράτα σταθερές όλες τις μεταβλητές εκτός από μια. Π.χ. πάχος τοιχώματος τρόμπας t: Η f δεν είναι καλά ορισμένη από κάτω, με βάση τη διαφάνεια 15, αφού το σύνολο X={0}. Ο περιορισμός g3 αίρει αυτή τη δυσχέρεια. Συμπέρασμα: Η f δεν είναι καλά ορισμένη από κάτω Το g3 φράσσει το t από κάτω

Ενεργοί περιορισμοί Διαγραφή περιορισμών = χαλάρωση προβλήματος Το σύνολο των ελαχιστοποιητών χωρίς το gi είναι το Xi 1. 2. 3. A B A και B ενεργά Εδώ, το Σάββατο, λανθασμένα είχα αναφέρει ότι το Χ είναι το σύνολο των εφικτών λύσεων. Στην πραγματικότητα είναι το σύνολο των ελαχιστοποιητών επομένως ισχύουν τα παραπάνω. Έτσι όταν ο περιορισμός είναι ενεργός, κατά τη διαδικασία της μερικής βελτιστοποίησης, θέτουμε την τιμή της μετβλητής ίση με αυτή που ορίζεται από τον περιορισμό που είναι ενεργός. Αντίθετα, όταν ο περιορισμός που επηρεάζεται από τη μεταβλητή που εξετάζουμε είναι ανενεργός, αυτός απομακρύνεται. Πληροφορίες ως προς τους ενεργούς περιορισμούς απλοποιούν το πρόβλημα: Ενεργός: εξάλειψη μεταβλητής Ανενεργός: εξάλειψη περιορισμού

Έλεγχος ενεργών περιορισμών Παράδειγμα: x2 f(1,x2,5) g3 g2 Μερική ελαχιστοποίηση σε σχέση με το x1 δείχνει ότι ο g1 φράσσει το x1. Ομοίως για το ζεύγος x3, g4. Για το x2 μερική ελαχιστοποίηση, αφού εκμεταλλευτούμε τις τιμές x1=1, x3=5 που προέκυψαν από τα δύο παραπάνω βήματα, δείχνει, όπως στο σχήμα, ότι από τους τρεις ελαχιστοποιητές ,1,3 και 4, μόνο οι 3 και 4 είναι εφικτοί. Απομακρύνοντας το g3 δε δημιουργεί κάποιο πρόβλημα (ανενεργός). Απομακρύνοντας το g2 εισάγουμε τον ελαχιστοποιητή 1 που συνεπάγεται ότι ο g2 είναι ημιενεργός. Παρατηρήστε ότι αν θέσουμε x2=2 και ο g2 ενεργοποιηθεί δεν έχουμε βέλτιστη λύση! Συμπέρασμα: g1 ενεργός g2 ημιενεργός g3 και g4 ανενεργοί

Θεώρημα ενεργών περιορισμών και μοντοτονίας f(x) “Ο περιορισμός gi είναι ενεργός αν και μόνο αν το ελάχιστο του χαλαρωμένου-αδέσμευτου προβλήματος είναι χαμηλότερα από το αρχικό” f g(x) x g2 g1 x f g f(x) g(x) “Αν f(x) και gi(x) αυξάνονται ή μειώνονται (ασθενώς) σε σχέση με το x, ο χώρος των λύσεων δεν είναι καλά δεσμευμένος”

Πρώτη αρχή μονοτονίας “Σε ένα καλά-δεσμευμένο πρόβλημα βελτιστοποίησης κάθε μεταβλητή που αυξάνει την f φράσσεται από κάτω από τουλάχιστο έναν μη- αυξούμενο ενεργό περιορισμό” Η αρχή αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ενεργών περιορισμών Ο περιορισμός αυτός ονομάζεται κρίσιμος περιορισμός x f g f(x) g(x)

Σχεδιασμός τρόμπας αέρα Ανάλυση μονοτονίας: Κρίσιμο σε σχέση με το r Κρίσιμο σε σχέση με το h Κρίσιμο σε σχέση με το t Τόσο ο g1 όσο και ο g4 μπορεί να φράσσουν το l από κάτω. Απαιτείται περαιτέρω ανάλυση. Τα πρόσημα πάνω δεξιά των μεταβλητών υποδηλώνουν τη μονοτονία των αντιστοίχων συναρτήσεων σε σχέση με αυτές τις μεταβλητές. Κρίσιμοι σε σχέση με μια μεταβλητή είναι οι περιορισμοί όταν από τη μεταβολή των μεταβλητών αυτών, εντός του Ν, κρίνεται η ικανοποίησή τους. Ασαφές είναι το τι γίνεται με το l…

Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί:

Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί:

Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί:

Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί

Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί:

Πρόβλημα! Το μήκος δεν είναι καλά ορισμένο: Απαιτείται η προσθήκη περιορισμού πλέον των ανωτέρω: Μέγιστο πλάτος πλάκας:

Λύση Ο περιορισμός του μήκους είναι κρίσιμος: πρέπει να είναι ενεργός! Ο περιορισμός του μήκους είναι κρίσιμος: πρέπει να είναι ενεργός! Λύση: t r h l Αποτέλεσμα Ανάλυσης μονοτονίας: Εντοπίστηκε πρόβλημα, το οποίο λύθηκε Η λύση βρέθηκε χωρίς αριθμητική βελτιστοποίηση

Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία Μερικές χρήσιμες ιδιότητες: Αθροίσματα: Αθροίσματα μονοτονικά όμοιων συναρτήσεων έχουν την ίδια μονοτονίας. Γινόμενα: Γινόμενα μονοτονικά όμοιων συναρτήσεων έχουν: Ίδια μονοτονία αν Αντίθετη μονοτονία αν

Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία Περισσότερες ιδιότητες: δυνάμεις: Θετικές δυνάμεις μονοτονικών συναρτήσεων έχουν την ίδια μονοτονία, αρνητικές δυνάμεις έχουν αντίθετη μονοτονία. Σύνθεση:

Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία f1 Ολοκλήρωση: Σε σχέση με όρια ολοκλήρωσης: a b x Σε σχέση με την ποσότητα ολοκλήρωσης f1 x y a b