ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Σκέδαση – Περιοδικότητα Διδάσκων: Καθηγητής Γεώργιος Α. Ευαγγελάκης

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Σκέδαση-Ατομική Δομή

Περιοδικότητα και κρυσταλλική δομή Περιοδικότητα και κρυσταλλική δομή

Περιοδικότητα: Μια συνάρτηση V(r) ορισμένη στον τρισδιάστατο χώρο είναι περιοδική εάν και μόνο αν παραμένει αναλλοίωτη στο μετασχηματισμό r r’=r+R, όπου Rn=n1a1+n2a2+n3a3, a1, a2, a3 είναι τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα και n1, n2, n3 είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθμοί (θετικοί, αρνητικοί ή μηδενικοί). Η V(r) δηλαδή είναι περιοδική τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε r και Rn ισχύει η σχέση : V(r) = V(r+Rn) Πλέγμα Bravais : Είναι το σύνολο των σημείων του χώρου που ορίζουν τα άκρα των διανυσμάτων Rn καθώς οι ακέραιοι n1, n2, n3 παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές τους.

Θεμελιώδης κυψελίδα : Είναι μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, η οποία εάν μετατοπισθεί κατά Rn (όπου τα n1, n2, n3 παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές τους), γεμίζει ακριβώς όλο το χώρο (χωρίς επικαλύψεις ή κενά). Ο όγκος της, VΘΚ, είναι δεδομένος και ίσος με το αντίστροφο της συγκέντρωσης nB, των πλεγματικών σημείων Bravais: VΘΚ= 1/nB = |(a1xa2) a3| Κυψελίδα Wigner-Seitz : Είναι μια θεμελιώδης κυψελίδα, όπου η απόσταση των σημείων της από το σημείο 0 (αρχή των αξόνων) είναι μικρότερη ή ίση με την απόστασή τους από οποιοδήποτε άλλο σημείο του πλέγματος Bravais. H κυψελίδα WS είναι ένα πολύεδρο που ορίζεται από τα μεσοκάθετα επίπεδα στα διανύσματα που ενώνουν την αρχή των αξόνων με τα γειτονικά σημεία του πλέγματος Bravais.

Τέσσερα ειδικά δισδιάστατα πλέγματα Bravais και οι αντίστοιχες κυψελίδες Wigner-Seitz: φ φ φ a1 a1 |α1|=|α2|, φ=90ο |α1||α2|, φ=90ο |α1|=|α2|, φ=120ο a2 φ a1 |α1||α2|, φ

Μοναδιαία κυψελίδα : Είναι μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, η οποία εάν μετατοπισθεί κατά ένα υποσύνολο άπειρων διανυσμάτων Bravais γεμίζει ακριβώς όλο το χώρο (χωρίς επικαλύψεις ή κενά). Η μοναδιαία κυψελίδα επιλέγεται έτσι ώστε να έχει εφ’ ενός μεν τον ελάχιστο όγκο, αφ’ ετέρου δε τη πλήρη συμμετρία του πλέγματος. Ο όγκος της μοναδιαίας κυψελίδας είναι μεγαλύτερος (ή ίσος) από τον όγκο της θεμελιώδους κυψελίδας. ws Μοναδιαία κυψελίδα

Περιοδική κρυσταλλική δομή = πλέγμα Bravais + βάση Η ομάδα των ατόμων για την οποία κανένα από τα διανύσματα που συνδέουν δύο άτομα της ομάδας δεν έχει την ιδιότητα να αφήνει την κρυσταλλική δομή μετατοπιστικά αναλλοίωτη ονομάζεται βάση. Περιοδική κρυσταλλική δομή = πλέγμα Bravais + βάση

Ένας κρύσταλλος μπορεί να οριστεί από το πλέγμα Bravais και τη βάση Θεμελιώδη κυψελίδα με διανύσματα SC (α,0,0) (0,α,0) (0,0,α) BCC (α/2, -α/2, -α/2) (α/2,α/2,-α/2) (α/2,α/2,α/2) FCC (α/2, α/2, 0) (α/2, 0, α/2) (0, α/2, α.2) Diamond (α/2, α/2, 0) (α/2, 0, α/2) (0, α/2, α.2)

Αντίστροφο πλέγμα Η ανάγκη ορισμού του αντίστροφου πλέγματος προκύπτει από το θεώρημα Bloch, σύμφωνα με το οποίο μετατόπιση κατά οποιοδήποτε πλεγματικό διάνυσμα Rn πολλαπλασιάζει τη λύση (που περιγράφει την ηλεκτρονιακή ή την ιοντική κίνηση) με το παράγοντα exp(iqRn). O παράγοντας αυτός μένει αμετάβλητος εάν η κρυσταλλική ορμή (διηρημένη με το ħ), q, αλλάξει από q σε q’ όπου q’ = q + Gm και το Gm ικανοποιεί τη σχέση: Gm Rn = 2π p, p ακέραιος για κάθε Rn Το σύνολο των διανυσμάτων Gm που ικανοποιούν τη παραπάνω σχέση για κάθε διάνυσμα του πλέγματος Bravais, Rn=n1a1+n2a2+n3a3, ονομάζεται αντίστροφο πλέγμα (του {Rn}). To αρχικό πλέγμα {Rn}, το ονομάζουμε ευθύ.

Αντίστροφο πλέγμα 0, ij 1, i=j δij= Το αντίστροφο πλέγμα ενός πλέγματος Bravais {Rn} είναι επίσης ένα πλέγμα Bravais, τα διανύσματα του οποίου έχουν τη μορφή Gm=m1b1+m2b2+m3b3, όπου m1, m2, m3 οποιοιδήποτε ακέραιοι . Τα διανύσματα του αντίστροφου πλέγματος bj σχετίζονται με τα διανύσματα αi του ευθέως πλέγματος μέσω της σχέσης: Συνάρτηση δέλτα 0, ij 1, i=j δij=

Υπολογισμός του b1 - χρήσιμες μαθηματικές σχέσεις Εύρεση των διανυσμάτων του αντίστροφου πλέγματος b1, b2, b3 μέσω των διανυσμάτων του ευθέως πλέγματος α1, α2, α3 Υπολογισμός του b1 - χρήσιμες μαθηματικές σχέσεις Πρώτα υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο :

Υπολογισμός του b1 - χρήσιμες μαθηματικές σχέσεις -2 Μετά βρίσκω τον όγκο (εσωτερικό γινόμενο στο παρονομαστή) : όμως και Τελικά : Αντίστοιχα υπολογίζουμε τα b2 και b3

Δίδονται τα θεμελιώδη διανύσματα του απλού κυβικού πλέγματος: Παράδειγμα : Δίδονται τα θεμελιώδη διανύσματα του απλού κυβικού πλέγματος: Να βρεθούν τα διανύσματα του αντίστροφου πλέγματος b1,b2,b3 : α Τα α1, α2 και α3 γράφονται: Οι σχέσεις για τα διανύσματα του αντίστροφου πλέγματος είναι : Λύση:

Α1) Πρώτα υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο α2xα3 : Λύση: Α. Υπολογισμός b1 : α Α1) Πρώτα υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο α2xα3 : Α2) Μετά βρίσκω τον όγκο (εσωτερικό γινόμενο στο παρονομαστή) : όμως Α3) Αρα το b1 ισούται με :

Λύση: Β. Υπολογισμός b2 : Β1) Πρώτα υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο α3xα1: α Β2) Ο όγκος βρέθηκε στη προηγούμενη διαφάνεια ίσος με α3: Β3) Αρα το b2 ισούται με : Γ. Υπολογισμός b3 : Γ1) Πρώτα υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο α1xα2: Γ2) Ο όγκος ισούται με α3: Γ3) Αρα το b3 ισούται με :

Νόμος του Bragg: nλ=2dsinθ Προσδιορισμός κρυσταλλικής δομής - Περίθλαση - 1 Σε κρυσταλλικά υλικά, για καθορισμένα μήκη κύματος και διευθύνσεις προσπτώσεως, παρατηρήθηκαν μέγιστες εντάσεις σκεδαζόμενης ακτινοβολίας. Ο Bragg εξήγησε τις παρατηρήσεις αυτές με τη θεωρία ότι ο κρύσταλλος αποτελείται από παράλληλα επίπεδα ιόντων που απέχουν απόσταση d. Οι συνθήκες για τη παραγωγή μεγίστων εντάσεων από τη σκεδαζόμενη ακτινοβολία είναι: α) η γωνία πρόσπτωσης θ να είναι ίση με τη γωνία σκέδασης θ’. β) Η διαφορά δρόμου των ακτίνων που συμβάλλουν εποικοδομητικά από διαδοχικά επίπεδα είναι ακέραιο πολ/σιο του μήκους κύματος λ: Δ= nλ, n=1,2,3... Όμως Δ=ΒΑ+ΑΓ=dsinθ+dsinθ=2dsinθ θ θ’ d Β Γ A Νόμος του Bragg: nλ=2dsinθ λ μήκος κύματος, n ακέραιος, θ γωνία προσπίπτουσας δέσμης και d ενδοατομική απόσταση.

Προσδιορισμός κρυσταλλικής δομής - Περίθλαση - 2 Η εποικοδομητική συμβολή θα συμβεί εφόσον η μεταβολή του κυματανύσματος είναι ένα άνυσμα (μετατοπίσεως) του αντίστροφου πλέγματος G: θ θ’ d θ Β Γ Ελαστική σκέδαση λ=λ’ A Όλα τα ανύσματα q των οποίων η προβολή στο G είναι το μισό |G| επίπεδα Bragg Επίπεδα Bragg: είναι τα επίπεδα τα μεσοκάθετα στα διανύσματα Gm του αντίστροφου πλέγματος.

Ζώνες Brillouin Πρώτη ζώνη Brilluoin: είναι η θεμελιώδης κυψελίδα Wigner-Seitz του αντίστροφου πλέγματος. Μπορεί δηλαδή να ορισθεί ως το σύνολο των σημείων στο χώρο k που των οποίων η απόσταση από την αρχή (k=0) είναι μικρότερη (ή ίση) από την απόσταση τους από οποιοδήποτε άλλο σημείο Gm0 (δεν διασχίζουμε κανένα επίπεδο Bragg). Zώνες Brilluoin: η ν-οστή ζώνη Brilluoin ορίζεται ως το σύνολο των σημείων στο χώρο k που μπορούμε να τα φτάσουμε διασχίζοντας κατ’ ελάχιστο ν-1 επίπεδα Bragg. H ν-οστή ΖΒ είναι εν γένει μη-συνεκτική, αποτελείται δηλαδή από περιοχές που χωρίζονται μεταξύ τους από περιοχές άλλων ζωνών Brilluoin. H αξία των ΖΒ προκύπτει από το αναλλοίωτο της λύσης κάτω από το μετασχηματισμό k k’=k+Gm περιορίζοντας δηλαδή το k σε μία μόνο ΖΒ (συνήθως την 1η) βρίσκουμε όλες τις λύσεις.

Ζώνες Brillouin 1 Παράδειγμα : Επίπεδα Bragg: και Γ 2π α π 1n Β Κ 2n 2π α 1 2 3 Tετραγωνικό πλέγμα Γ π α Α 1n 2π/α 1n ζώνη του Brillouin 1η και 2n ζώνη του Brillouin 1n, 2n και 3η ζώνη του Brillouin

Μονοδιάστατη δομή ενεργειακών ζωνών εk εk -2π/α -π/α π/α 2π/α k -π/α π/α k Αρίθμηση καταστάσεων: 1η ζώνη Brillouin (περιλαμβάνει Ν καταστάσεις, όσες και ο αριθμός κυψελίδων) Σε κάθε κατάσταση υπάρχουν δύο ηλεκτρόνια (σπιν) 1 ηλεκτρόνιο/άτομο 1η δέσμη γεμάτη κατά το ήμισυ. 2 ηλεκτρόνιο/άτομο 1η δέσμη πλήρως γεμάτη κ.τ.λ. ενεργειακό χάσμα ημιαγωγοί, μονωτές, μέταλλα.

Ζώνες Brillouin Η πρώτη ζώνη του Brillouin για το απλό κυβικό (sc), το απλό χωροκεντρωμένο (bcc) και το απλό ενδοκεντρωμένο (fcc) στις οποίες φαίνονται τα k-σημεία υψηλής συμμετρίας sc bcc fcc απλό κυβικό απλό χωροκεντρωμένο απλό ενδοκεντρωμένο

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1284 .

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Γεώργιος Α. Ευαγγελάκης. «Φυσική Στερεάς Κατάστασης. Σκέδαση - Περιοδικότητα». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1284 .

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/