Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ Διάλεξη: Καμπύλοι φορείς. H συμμετρία και η αντισυμμετρία στη στατική. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Καμπύλοι φορείς Μέχρι τώρα οι μελετώμενοι φορείς ήταν κατά τμήματα ευθύγραμμοι. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν οι καμπύλοι φορείς. Από τον καμπύλο φορέα του σχήματος κόβεται ένα στοιχειώδες τμήμα dx κάθετα στον άξονα του φορέα. Αρχικά, τοποθετούνται τα φορτία διατομής στο απειροστό τμήμα.

Μελέτη στοιχειώδους τμήματος καμπύλου φορέα 𝑑𝑠=𝑅𝑑𝜑⇒ 𝑑𝜑 𝑑𝑠 = 1 𝑅 Από τη γεωμετρία του σχήματος ισχύει: Όπου 1/R η καμπυλότητα και R η ακτίνα καμπυλότητας. Επίσης ισχύει: dφ πολύ μικρή, άρα cosφ≈1 και sinφ≈φ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: το κατανεμημένο φορτίο, στην περίπτωση των καμπύλων φορέων, έχει δύο συνιστώσες: την εφαπτομενική qt που θεωρείται ότι ασκείται στον κενροβαρικό άξονα και την qr που έχει κατεύθυνση ίδια με την ακτίνα καμπυλότητας. Ακολούθως, θα εφαρμοστούν οι εξισώσεις ισορροπίας στο υπό μελέτη στοιχειώδες τμήμα, για τον υπολογισμό των Μ, Q, N.

Υπολογισμός Μ, Q, N καμπύλου φορέα 𝑀 Ο =0⇒𝑀−𝛭−𝑑𝑀+𝑄 𝑑𝑠 2 + 𝑄+𝑑𝑄 𝑑𝑠 2 =0⇒−𝑑𝛭+𝑄𝑑𝑠=0⇒ ⇒ 𝑑𝑀 𝑑𝑠 =𝑄 Άρα η σχέση μεταξύ Q και M δεν αλλάζει, έιτε ο φορέας είναι εύθύγραμμός, είτε καμπύλος. F x =0⇒−𝑁+𝑁+𝑑𝑁+ 𝑞 𝑡 𝑑𝑠−𝑄 𝑑𝜑 2 − 𝑄+𝑑𝑄 𝑑𝜑 2 =0⇒ ⇒𝑑𝑁+ 𝑞 𝑡 𝑑𝑠−𝑄𝑑𝜑=0⇒ 𝑑𝑁 𝑑𝑠 − 𝑄 𝑅 =− 𝑞 𝑡 Πρώτη διαφορική σχέση που συνδέει τα Q και Ν. F y =0⇒𝑄−𝑄−𝑑𝑄− 𝑞 𝑟 𝑑𝑠−𝑁 𝑑𝜑 2 − 𝑁+𝑑𝑁 𝑑𝜑 2 =0⇒ Δεύτερη διαφορική σχέση που συνδέει τα Q και Ν. ⇒𝑑𝑄+ 𝑞 𝑟 𝑑𝑠+𝑁𝑑𝜑=0⇒ 𝑑𝑄 𝑑𝑠 + 𝑁 𝑅 =− 𝑞 𝑟

Παρατηρήσεις για Q και Ν καμπύλων φορέων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1η: Μέχρι τώρα, στους ευθύγραμμους φορείς, η εύρεση του Q και του Ν ήταν δύο ανεξάρτητες μεταξύ τους διαδικασίες. Στην περίπτωση των καμπύλων φορέων, όμως, παρατηρείται ότι Q και N συνδέονται μέσω κάποιας σχέσης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2η: Εάν στις δύο σχέσεις που συνδέουν τα Q και Ν θεωρηθεί ότι R≈άπειρο (δηλαδή ο φορέας είναι ευθύγραμμος), τότε οι δύο αυτές σχέσεις γίνονται: Μετατρέπονται δηλαδή, στις σχέσεις των ευθύγραμμων φορέων. 𝑑𝑁 𝑑𝑠 =− 𝑞 𝑡 𝑑𝑄 𝑑𝑠 =− 𝑞 𝑟 Επομένως, οι σχέσεις που προέκυψαν για τους καμπύλους φορείς, αποτελούν ουσιαστικά μια γενίκευση των σχέσεων που ισχύουν για τους ευθύγραμμους φορείς.

Εφαρμογές καμπύλων φορέων Οι καμπύλοι φορείς βρίσκουν ευρύτατη εφαρμογή από την αρχαιότητα. Καμπύλους φορείς αποτελούν τα πέτρινα τοξωτά γεφύρια, οι τρούλοι και οι θόλοι που καλύπτουν μεγάλα ανοίγματα, αλλά και οι πιο σύγχρονες αναρτημένες (ή καλωδιωτές) γέφυρες.

Άσκηση Έστω η γέφυρα του πρώτου σχήματος, που μετατρέπεται στο στατικό πρόβλημα του δεύτερου σχήματος. Πρόκειται για τριαρθρωτο τόξο που αποτελείται από δίσκους παραβολικής μορφής με εξίσωση y=a*x2, όπου a η παράμετρος της παραβολής που ορίζει το ύψος του τόξου. Όταν το a μικραίνει, μικραίνει και το ύψος της κατασκευής. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το κατανεμημένο φορτίο δίνεται σε μονάδες KN/m οριζόντιας προβολής.

Υπολογισμός αντιδράσεων τριαρθρωτού 𝑀 𝐵 𝐼+𝐼𝐼 =0⇒ 𝐴 𝑦 ∗2𝑙−𝑞∗2𝑙∗𝑙=0 ⇒ 𝐴 𝑦 =𝑞∗𝑙 Ομοίως: 𝐵 𝑦 =𝑞∗𝑙 𝑀 Γ 𝐼 =0⇒ 𝐴 𝑦 ∗𝑙− 𝐴 𝑥 ∗𝑎 𝑙 2 −𝑞∗𝑙∗ 𝑙 2 =0⇒𝑞∗ 𝑙 2 − 𝐴 𝑥 ∗𝑎 𝑙 2 − 𝑞∗ 𝑙 2 2 =0 ⇒ 𝐴 𝑥 = 𝑞 2𝑎 = Β 𝑥 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το μέγεθος Αx ονομάζεται οριζόντια ώθηση του τόξου και συνδέεται με την παράμετρο της παραβολής a. Όταν το a είναι μικρό (δηλαδή το τόξο είναι χαμηλό) το Αx είναι μεγάλο, ενώ όταν το a είναι μεγάλο (δηλαδη το τόξο ψηλό) η οριζόντια ώθηση του τόξου θα είναι μικρή, για το ίδιο πάντα φορτίο q. Ομοίως για το Βx.

Υπολογισμός Μ, Q τριαρθρωτού Για τον υπολογισμό των Μ και Q γίνεται τομή σε κάποιο σημείο x του τριαρθρωτού. Από την ισορροπία προκύπτει κατ’ αρχήν ότι Γx=Ax. Επίσης: 𝑀 𝑥 =0⇒𝑀− 𝑞 2𝑎 𝑎 𝑥 2 +𝑞𝑥 𝑥 2 =0⇒𝑀=0 Όμως ισχύει: Q= 𝑑𝑀 𝑑𝑠 ⇒𝑄=0 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Το τόξο δεν καταπονείται από τέμνουσα και ροπή, αλλά μόνο από αξονική. Μάλιστα, όταν η φόρτιση έχει φορά προς τα κάτω (όπως στο συγκεκριμένο παράδειγμα) η Ν είναι αρνητική, άρα το τόξο υπόκειται σε καθαρή θλίψη. Η περίπτωση αυτή εκμεταλλεύεται τη λειτουργία των υλικών, όπως η πέτρα που έχουν πολύ μεγάλη θλιπτική αντοχή αλλά μικρή εφελκυστική (περίπτωση πέτρινων γεφυριών). Έαν το φορτίο έχει φορά προς τα πάνω (περίπτωση αναρτημένης γέφυρας) η Ν είναι θετική, όποτε το σύστημα συλλογής των φορτίων της γέφυρας υπόκειται σε καθαρό εφελκυσμό (καλώδια της ανάρτησης).

Υπολογισμός Ν τριαρθρωτού Για ένα στοιχειώδες τμήμα του τριαρθρωτού, από γεωμετρία ισχύει: tan 𝜑 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 =𝑎𝑑𝑥 𝑑𝐿= 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 1+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥= 1+4 𝑎 2 𝑥 2 𝑑𝑥 cos 𝜑 = 𝑑𝑥 𝑑𝐿 = 1 1+4 𝑎 2 𝑥 2 sin 𝜑 = 𝑑𝑦 𝑑𝐿 = 2𝑎𝑥 1+4 𝑎 2 𝑥 2 Στη συνέχεια, γράφεται η εξίσωση ιρορροπίας στη διεύθυνση της αξονικής (βλ. σχήμα στην προηγούμενη διαφάνεια). Αναλύεται το φορτίο σε δύο συνισταμένες σε σχέση με τον άξονα t του τόξου και από συνθήκη ισορροπίας υπολογίζεται: 𝐹 𝑡 =0⇒𝑁+𝑞𝑥 sin 𝜑 + 𝑞 2𝑎 cos 𝜑 =0⇒𝑁= −𝑞 2𝑎 cos 𝜑 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το διάγραμμα Ν είναι κάθετο στον άξονα του τόξου.

Συμμετρία – αντισυμμετρία ισοστατικών φορέων – ορισμός συμμετρικού φορέα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένας φορέας ονομάζεται συμμετρικός όταν κάθε σημείο του, έχει το αντίστοιχό του ως προς τον άξονα συμμετρίας και όλες οι δεσμικές ράβδοι είναι συμμετρικά τοποθετημένες μεταξύ τους.

Συμμετρία – αντισυμμετρία – ορισμός Ο όρος αντισυμμετρία δεν αφορά το φορέα αλλά τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν: μπορεί να είναι συμμετρικές ή αντισυμμετρικές. Αντισυμμετρική φόρτιση: αποτελείται από φορτία που ασκούνται σε συμμετρικά σημεία πάνω στο φορέα, αλλά είναι αντισυμμετρικά τοποθετημένα.

Συμμετρικά – αντισυμμετρικά τοποθετημένα φορτία

Συμμετρικές και αντισυμμετρικές συναρτήσεις Συμμετρική συνάρτηση: fσ(x)=fσ(-x) Αντισυμμετρική συνάρτηση: fα(x)=-fα(-x) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: οι αντισυμμετρικές συναρτήσεις, πάνω στον άξονα συμμετρίας είτε μηδενίζονται, είτε εμφανίζουν άλμα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η συνάρτηση της παραγώγου μιας συμμετρικής συνάρτησης είναι αντισυμμετρική, ενώ η συνάρτηση της παραγώγου μιας αντισυμμετρικής συνάρτησης είναι συμμετρική. Το ίδιο ισχύει και για την ολοκλήρωση: αντιστρέφει τις συνθήκες συμμετρίας. Η ιδιότητα αυτή της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης μπορεί να διευκολύνει τη χάραξη των διαγραμμάτων Μ, Q, Ν.

Εφαρμογή για συμμετρική φόρτιση Με τη χρήση της ιδιότητας της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης να αντιστρέφουν τις συνθήκες συμμετρίας, για το φορέα του σχήματος θα ισχύει: Εφόσον η φόρτιση q είναι συμμετρική, το διάγραμμα Q θα είναι αντισυμμετρικό ως προς τον άξονα συμμετρίας. Εφόσον το διάγραμμα Q είναι αντισυμμετρικό, το διάγραμμα Μ θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα συμμετρίας. Το διάγραμμα Ν θα είναι επίσης συμμετρικό.

Εφαρμογή για αντισυμμετρική φόρτιση Με τη χρήση και πάλι, της ιδιότητας της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης να αντιστρέφουν τις συνθήκες συμμετρίας, για το φορέα του σχήματος θα ισχύει: Εφόσον η φόρτιση q είναι αντισυμμετρική, το διάγραμμα Q θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα συμμετρίας. Εφόσον το διάγραμμα Q είναι συμμετρικό, το διάγραμμα Μ θα είναι αντισυμμετρικό ως προς τον άξονα συμμετρίας. Το διάγραμμα Ν θα είναι επίσης αντισυμμετρικό.

Περίπτωση τυχούσας φόρτισης Μια συνάρτηση μπορεί να χωριστεί σε ένα συμμετρικό και ένα αντισυμμετρικό μερίδιο: 𝑓 𝜎 (𝑥)= 𝑓 𝑥 +𝑓(−𝑥) 2 𝑓 𝑎 (𝑥)= 𝑓 𝑥 −𝑓(−𝑥) 2 Το ίδιο μπορεί να γίνει και στην περίπτωση τυχούσας φόρτισης σε ένα φορέα: μπορεί να χωριστεί σε φορέα με συμμετρική και σε φορέα με αντισυμμετρική φόρτιση.

Παραδείγματα