Probability of Error of Modulation Schemes in Additive White Gaussian Noise

Τί ειναι Es/N0? (1/3) Στον υπολογισμό της επίδοσης ασύρματων συστήματων το Es/N0 είναι η ζητούμενη ποσότητα που καθορίζει την επίδοση...!!! Στην εκπομπή των συμβόλων στο κανάλι, τo Es/N0 είναι το πηλίκο της ενέργειας συμβόλου προς την ισχύ ανά μονάδα φάσματος (noise power spectral density) του θορύβου. Το Es/N0 προκύπτει ότι ισοδυναμεί με το signal-to-noise ratio (SNR) του σήματος εισόδου στο δέκτη, δηλαδή το σηματο-θορυβικό κλάσμα που δείχνει πόσο ισχυρότερο είναι το σήμα λήψης από το θόρυβο του δέκτη.

Signal-to-noise ratio (SNR) Μ: number of symbols transmitted 1 symbol “μεταφέρει” bits Στη προσομοίωση καθορίζουμε το SNR στην είσοδο του δέκτη, το οποίο ισοδυναμεί με το Es/N0 και από το οποίο προκύπτει το Eb/N0, ανάλογα με τη διαμόρφωση που έχουμε.

Απαιτούμενο έναντι Λαμβανόμενου Eb/N0 (Eb/N0)reqd είναι η τιμή που απαιτείται για να δώσει μία συγκεκριμένη bit error probability (Eb/N0)rcvd είναι η λαμβανόμενη τιμή στο δέκτη

Link Margin Θέλουμε πάντα να σχεδιάζουμε συστήματα στα οποία η (Eb/N0)reqd να είναι μικρότερη από την (Eb/N0)rcvd Η διαφορά τους (in dB) είναι το margin του συστήματος, δηλαδή η προστασία του συστήματος σε αστάθμητους παράγοντες

Παράμετροι που καθορίζουν Es/N0 (1/4) Στον υπολογισμό του Es/N0 ή C/N0, κάποιος πρέπει να γνωρίζει διάφορες παραμέτρους, όπως ισχύ, θερμικό θόρυβο και απώλειες Επίπεδα Ισχύος: Area of footprint A=d2

Παράμετροι που καθορίζουν Es/N0 (2/4) Πυκνότητα Ισχύος (Power flux density) σε απόσταση d EIRP (Effective or Equivalent Isotropic Received Power) είναι το γινόμενο του gain GT της transmit antenna και της ισχύος στην είσοδο της κεραίας: PT Λαμβανόμενη Ισχύς- Received Power (επίσης γνωστή ως Carrier power) Η ισχύς που συλλέγεται από την κεραία με gain GR, και ενεργό επιφάνεια Aer

Παράμετροι που καθορίζουν Es/N0 (3/4) Free Space Loss: Η λαμβανόμενη ισχύς είναι: ή σε λογαριθμική κλίμακα (δηλαδή dB), έχουμε:

Παράμετροι που καθορίζουν Es/N0 (4/4) Επομένως λαμβάνοντας υπόψη Δηλαδή για να υπολογίσουμε το πηλίκο σήματος προς θόρυβο πρέπει να υπολογίσω και την ενεργό θερμοκρασία του δέκτη!! Κατόπιν, το Εs/N0 υπολογίζεται από τη σχέση : Τέλος, ανάλογα με τη διαμόρφωση που χρησιμοποιούμε μπορούμε να υπολογίσουμε το BER που θα χαρακτηρίζει το σύστημα.

Probability of Error of Modulation Schemes (1/3) Modulation Ps (coherent) Pb (coherent) Pb (noncoherent) Baseband Systems Antipodal Orthogonal Bandpass Systems BASK (OOK) BFSK BPSK

Probability of Error of Modulation Schemes (2/3) Modulation Ps (coherent) Pb (coherent) Pb (noncoherent) QPSK OQPSK DPSK MFSK MPSK

Probability of Error of Modulation Schemes (3/3) Modulation Ps (coherent) Pb(coherent) MDPSK /4QPSK MQAM MSK GMSK

Παράδειγμα Να υπολογιστεί η πιθανότητα σφάλματος ενός ψηφιακού συστήματος BPSK, για το οποίο έχει βρεθεί ότι το πηλίκο BPSK carrier power προς την ισχύ θορύβου είναι: Η σχέση Eb/N0 με C/N είναι: όπου Ν=Ν0 Β και Για BPSK έχουμε: με Β = Rs = Rb Hz (για M-PSK B≈Rs Hz !!!). Επομένως:

BER of BPSK in Matlab Es_N0_dB = [0:1:10]; theoryBerBPSKAWGN = qfunc(sqrt(2*10.^(Es_N0_dB/10))); semilogy(Es_N0_dB, theoryBerBPSKAWGN, 'k-o'); axis([0 10 10^(-5) 10^0]) xlabel('SNR per symbol, Es/No, in dB') ylabel('Probability of symbol error')

Additive White Gaussian Noise x (Amplitude) μ σ + 3 - μ - σ μ+ 607 . a f x n ( ) = 1 2 πσ G ~ (μ, σ ) Variance 2 = Power

PDF of white Gaussian noise

Generation of Gaussian random variable clear; N=50000; bins=200; rv = randn(1,N); % white Gaussian noise [n xout]=hist (rv,bins); val_max = max(abs(xout)); %find max in order to determine bin width bar(xout, n/(N*2*val_max/bins) ) % ! ! ! ! ! axis ([-3 3 0 0.5] ) xlabel('amplitude') ylabel('probability density function') h = findobj (gca, 'Type' , 'patch' ) ; set (h, 'FaceColor', 'r' , 'LineStyle', ':' , 'EdgeColor', 'w' ) hold on y = pdf('Normal',-3:0.1:3, 0, 1) ; x=-3:0.1:3; plot (x, y, '*' )

Gaussian probability density function Normal pdf is Gaussian pdf with mean=0 and variance=1

Plot Normal pdf in Matlab clear xmax=3.5; step=0.1; x=[-xmax:step:xmax]; sigma=1; mean=0; f=(1./(sigma.*sqrt(2*pi))).*exp(-((x-mean).^2.)/(2.*sigma.^2)); plot(x,f) ylabel('probability density function, f(x)') xlabel('x') hold on y = pdf('Normal',-xmax:step:xmax, 0, 1); plot(x,y,'x')

Noise power for specific SNR % white Gaussian noise, 1 or 0dB variance n = (1/sqrt(2))*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; Για Εs = 1 και SNR in dB given by Es_N0_dB Τα δείγματα του θορύβου θα δίνονται από τη σχέση Δηλαδή κάνουμε scaling noise samples of power =1 to power n1 = 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n;

Simulation of BPSK in AWGN (1/3) clear N = 10^6; % number of bits or symbols  ip = rand(1,N)>0.5; % generating 0,1 with equal probability s = 2*ip-1; % BPSK modulation 0 -> -1; 1 -> 1   Es_N0_dB = [0:1:10]; % multiple Eb/N0 values  for ii = 1:length(Es_N0_dB) % white Gaussian noise, 0dB variance n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; y = s + 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n; % receiver - hard decision decoding ipHat = real(y)>0; nErr(ii) = size(find([ip- ipHat]), 2); % counting the errors end simBer = nErr/N; % simulated ber

Simulation of BPSK in AWGN (2/3) figure(1) semilogy(Es_N0_dB,simBer,'mx','LineWidth',6); axis([0 10 10^-5 0.5]) xlabel('Es/N0 (dB)') ylabel('Symbol error rate') hold on theoryBerBPSKAWGN = qfunc(sqrt(2*10.^(Es_N0_dB/10))); semilogy(Es_N0_dB,theoryBerBPSKAWGN,'k-','LineWidth',2); legend('AWGN-Simulation','AWGN-Theory');

Simulation of BPSK in AWGN (3/3)

Antipodal (BPSK) signal in AWGN x t ( ) A 1 -A Received signal Received signal is a random variable with Gaussian distribution, as follows

Probability of Error (1/2) Region 0 Likelihood of s0 Region 1 Likelihood of s1 Decision Line P[z|s 1 sent] P e (s ) g o

Probability of Error (2/2) Έστω ότι εκπέμπεται το s1(t)= s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλματος ισούται με τη πιθανότητα ότι r < 0, δηλαδή όπου είναι η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος και ορίζεται ως

Q-function Ορισμός Q(x) Ιδιότητες : Q(-x) = 1- Q(x) Q(0) = 1/2 Στο Matlab υπολογίζεται ως: qfunc(x)

Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου σε AWGN (1/2) Η σχέση που δίνει την πιθανότητα σφάλματος για Μ-PSK είναι:

Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου σε AWGN (2/2) clear; M=4; Es_No_dB = [0:1:14]; Es_No = 10.^(Es_No_dB./10); Ps = 2.*qfunc(sqrt(2.*Es_No).*sin(pi/M)); semilogy(Es_No_dB, Ps, '-o') legend('Ps of QPSK') xlabel('SNR per symbol (dB)') ylabel('probability of symbol error') axis([0 14 10^(-4) 1]) title('Symbol error probability for 4-PSK')