Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου

Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου
Σήματα και Συστήματα Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου February 16, 2019 Module Title

Outline DFT/IDFT application
Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) Transmitter based on orthogonal sub-carriers Cyclic Prefix Examples Module Title

OFDM using N orthogonal subcarriers

Carriers with duration T sec (1/10)
Example: BW = Fs = 20MHz and N=128 In the 20MHz spectrum, there are 128 narrowband sub-carriers. The duration of each subcarrier is The frequency separation between them is fixed at The 128 subcarrier frequencies are

Assume a complex sinusoid with duration T=100 μsec Its spectrum is given in the next slide and is obtained by The shape of the function sinc(f T) has zeros at frequencies: = 0, 10, 20, 190, 210, 220 … KHz, that is at multiplies of Therefore, if we have a BW=Fs=1MHz, we can have frequency spacing between subcarriers Δf = 10KHz, that is, we can have

Observe that frequency nulls exist at all frequencies given by

Spectrum of a single subcarrier with time duration Tu

Example: BW=Fs=20MHz and Δf = KHz The duration of each subcarrier is The number of subcarriers are given by The 128 subcarrier frequencies are

The N subcarrier frequencies can be written as The discrete time signal is given by Theory: Two sinusoids that occupy time T will be orthogonal iff their frequency separation Δf is a multiple of !! Result:All N subcarriers sk with duration N samples are orthogonal

For example, assume Fs = 16 and N=16 (T=N/Fs=1sec) The subcarrier frequencies are The spectrum of subcarrier f10 is Sinc centered around f10 Notice that sidelobes have nulls at the frequencies

Spectrum of 16 samples of frequency 10 Hz with sampling freq. 16Hz Matlab code for previous plot: clear Fs=16; f0=10; N=16; x1T = exp(j*2*pi*f0*[0:N-1]/Fs); % exp(j 2 π f0 t) with t = n Ts x1F = fft(x1T, N*16); % 16 x resolution in frequency domain figure (1) plot([0:N*16-1]/16, x1F) xlabel('frequency bin') ylabel('amplitude') title('spectrum of 1 subcarrier with N samples')

When two sinusoids occupy time T=NTs, then if their frequency separation is then the sinusoids will be orthogonal (peak of 1 carrier happens at a null frequency of the other).

Carriers of limited duration (10/10)
Consider 16 samples of 2 frequencies 5 and 10 Hz with sampling freq. 16Hz. Their frequency separation is 5 Hz = k*Fs/N = k*16/16 for k=5; clear Fs=16; f0=10; f1 = 5; N=16; x1T = exp(j*2*pi*f0*[0:N-1]/Fs) + exp(j*2*pi*f1*[0:N-1]/Fs) ; x1F = fft(x1T, N*16); % 16 x resolution in frequency domain figure (1) plot([0:N*16-1]/16, x1F) xlabel('frequency bin') ylabel('amplitude') title('spectrum of 2 subcarriers with N samples')

Spectrum of OFDM – orthogonal carriers
If we take an FFT of the OFDM signal we see that when each carrier has a peak, all others are zero. This is expected, since the spectrum of each sub-carrier of length T has a zero at multiples of 1/T (peaks of other subcarriers)

Spectrum of OFDM – orthogonal carriers
Bandwidth of multi-carrier signal Data carried by each subcarriers (Sampling Point on Frequency Domain) Sub carriers Carrying data Summation of all sub carriers Sampling Point on Frequency Domain

Generation of OFDM sub-carriers using IDFT (1/7)
All complex sinusoids transmitted for duration N*Ts=T will be orthogonal, since they differ in frequency between them by integer multiple of (1/T). Therefore, we can use each frequency signal to transmit one symbol X(k) (symbol is BPSK or QPSK or 16-QAM, etc). Then we can add them in parallel for duration T (N samples) and transmit them (A) However, eq. (A) is the IDFT of vector X (symbol vector)

We can use each frequency fk=k*Fs/N, k=0,1,…,N-1 to transmit one symbol X(k) (symbol is BPSK or QPSK or 16-QAM, etc). Then we can add them in parallel for duration TOFDM =N*Ts (N samples) and transmit N symbols as a block. All this happens with 1 IFFT DSP: Channel Serial To Parallel IFFT Parallel To Cyclic Prefix Symbol Source (BPSK, QPSK, 16-QAM, 64-QAM)

Example: generate the 5th (k=5) subcarrier with frequency 5* MHz and amplitude 0.5 (BW = Fs = 20 MHz and N = 128) Input signal X(k) is sampled with Fs and goes through a serial to parallel conversion. Input vector X = [zeros(1,5), 0.5, zeros(1,128-6)]T at input of IDFT of length 128. IFFT(X,N)

fsMHz = 20; % sampling frequency fcMHz = 5* ; % signal frequency N = 128; % fft size % generating the time domain signal x1T = exp(j*2*pi*fcMHz*[0:N-1]/fsMHz); % amplitude only on the 6-th input, the rest are all zeros… x2F = [0 zeros(1,4) 0.5 zeros(1,N-5-1)]; x2T = N*ifft(x2F); % time domain signal using ifft() % comparing the signals diff = x2T - x1T; err = diff* diff'/length(diff) % this will give 0

Implementation of eq. (A) using IFFT Channel Serial To Parallel IFFT Parallel To Cyclic Prefix Symbol Source (BPSK, QPSK, 16-QAM, 64-QAM)

OFDM transmission based on matrix multiplication: Each column of NxN matrix is a subcarrier. Transmit signal:

OFDM transmission based on N x N Fourier matrix (F = WNH ) where H is Hermitian transpose. Transmit signal: Received signal:

Plotting the OFDM Spectrum (1/6)
fsMHz = 20; % sampling frequency fcMHz = ; % signal frequency N = 128; % fft size % generating the time domain signal x1T = exp(j*2*pi*fcMHz*[0:N-1]/fsMHz); x1F = fft(x1T,N); % 128 point FFT figure; plot([-N/2:N/2-1]*fsMHz/N, fftshift(abs(x1F))) ; % sub-carriers from [-64:63] xlabel('frequency, MHz') ylabel('amplitude') title('frequency response of complex sinusoidal signal'); To fftshift μετατοπίζει τις τιμές από το αριστερό μισό στο δεξιό μισό, ώστε η μηδενική συχνότητα να είναι στο μέσο του φάσματος.

With an N =128 point fft() and sampling frequency of fs, the observable spectrum from is split to sub-carriers. However, the signal at the output of fft( ) is from As the frequencies from get aliased to the operator fftshift() is used when plotting the spectrum.

Για ένα σύστημα OFDM με Ν=128 και συχνότητα δειγματοληψίας Fs βρείτε με ποια συχνότητα βασικής ζώνης είναι ισοδύναμη η συχνότητα f70 = 70∙(Fs /128), η οποία είναι μεγαλύτερη από την Fs / 2. Αποδείξτε το με τη χρήση του λογισμικού Matlab. Λύση Η παραπάνω συχνότητα, όταν δειγματοληπτηθεί με συχνότητα δειγματοληψίας θα εμφανιστεί στη βασική ζώνη, διάστημα [-Fs /2, Fs /2)↔[-64:63), ως η f-58 = -58∙(Fs /128), όπως αποδεικνύει η παρακάτω μαθηματική σχέση:

clear; N=128; k1=70; k2=-58; n = [0:N-1]; x1 = exp(j*2*pi*k1*n/N); x2 = exp(j*2*pi*k2*n/N); plot(n, real(x1), 'bo-') hold on plot(n, real(x2), 'rx-') xlabel('sample number, n') ylabel('amplitude')

In the example above, with a sampling frequency of 20MHz, the spectrum from [-10MHz, +10MHz) is divided into 128 sub-carriers with spaced apart by 20MHz/128 = kHz. The generated signal x1T of frequency MHz corresponds to the information on the 10th sub-carrier (starting from 0), which can also be generated from the IFFT as follows: Note the position of 1 in the input to the IDFT: x2F = [0 zeros(1,9) 1 zeros(1,N-10-1)]; x2T = N*ifft(x2F); % time domain signal using ifft() Ή ισοδύναμα x2F = [zeros(1,N/2) 0 zeros(1,9) 1 zeros(1,N/2-10-1)]; x2T = N*ifft(fftshift(x2F)); % time domain signal using ifft() To fftshift μετατοπίζει τις τιμές από το αριστερό μισό στο δεξιό μισό.

fsMHz = 20; % sampling frequency fcMHz = ; % signal frequency N = 128; % fft size % generating the time domain signal x1T = exp(j*2*pi*fcMHz*[0:N-1]/fsMHz); x2F = [zeros(1,N/2) 0 zeros(1,9) 1 zeros(1,N/2-10-1)]; % valid frequency on 10th subcarrier, rest all zeros x2T = N*ifft(fftshift(x2F)); % time domain signal using ifft() % comparing the signals diff = x2T - x1T; err = diff* diff'/length(diff) % this will give 0

Generation of OFDM symbol for WiFi
Example: BW = Fs = 20MHz and N=64 In the 20MHz spectrum, there are 64 narrowband sub-carriers. The duration of each subcarrier for subcarrier orthogonality is The frequency separation between them is fixed at The 64 subcarrier frequencies are

Spectrum representation of OFDM symbol -1 -2 -32 -31 -30 -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 2 1 FFT Size(=64) 26 sub carriers carrying Bits 23 24 25 26 27 28 29 30 31 7 sub carries Guard band 6 sub carries DC No Subcarrier

Assume BPSK symbols to be sent. -1 -2 -32 -31 -30 -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 23 26 31 2 1 [1,-1,-1,1,…,-1,1,1,-1,…,1,1,1,-1] (52 bits) subcarrierIndex_Data = [-26:-1 1:26];

IFFT transforms signal to time domain. IFFT frequency time Shift Rotate ModSequenceForSubCarriers = fftshift(ModSequenceForSubCarriers); ModSequenceInTimeDomain = ifft(ModSequenceForSubCarriers,TotalNumberOfSubCarrier); 0 frequency

OFDM spectrum Φάσμα εκπομπής για σήμα OFDM με Ν=64, Fs = 20MHz

OFDM Transmitter (1/5) Now, if we have input vector X = [1, zeros(1,9), 1, zeros(1, )] The transmitted signal (N=128 samples in the time domain) will be Of course, if input X has data symbols to be transmitted, that is X = [X(0), zeros(1,9), X(10), zeros(1, )], the transmitted signal will be

OFDM Transmitter (2/5) Therefore, instead of transmitting X(k) k=0,1,…,N-1 symbols serially, each one with time Ts (for total time NTs=T), in OFDM, we transmit for time T all of them in parallel (signal given by eq. A) The OFDM transmitter-receiver in block diagram is given below

OFDM Transmitter (3/5) Για παράδειγμα, για QPSK θα έχουμε
τα εισερχόμενα high-speed δεδομένα διαμορφώνονται με κάποια ψηφιακή διαμόρφωση (M-PSK, M-QAM), από τα οποία προκύπτουν Ν μιγαδικοί αριθμοί (σε βασική ζώνη) . Για παράδειγμα, για QPSK θα έχουμε (συνολικά 4 πιθανά σύμβολα εκπομπής). Αυτά τα Ν σύμβολα που προκύπτουν από το serial-to-parallel (S/P) converter θεωρούμε, σύμφωνα με τη θεωρία σημάτων, ότι ισοδυναμούν με την έξοδο ενός DFT, δηλαδή τα QPSK σύμβολα ισοδυναμούν με την απόκριση συχνότητας ενός άγνωστου σήματος. Επομένως για να δημιουργήσουμε το σήμα εκπομπής αυτά τα ισοδύναμα frequency domain samples μετατρέπονται σε time samples με την βοήθεια ενός IDFT αλγορίθμου πάνω σε αυτά τα Ν σύμβολα ψηφιακής διαμόρφωσης.

OFDM Transmitter (4/5) N=16; % Number of subcarriers a = sign(randn(N,1)); % Generate random BPSK symbols stem(a,'kx') c = sqrt(N)*ifft(a,N); % Do IFFT – energy of c and a will be equal tx_real = real(c); tx_imag = imag(c); hold on plot(tx_real, 'bo-') hold on; plot(tx_imag, 'r*-') legend('initial BPSK', 'real part of OFDM signal', 'imaginary part of OFDM signal') title('tx OFDM signal with N=16 subcarriers and BPSK symbols') xlabel('sample number n') ylabel('x(n)')

OFDM Transmitter (5/5) Transmitted OFDM signal with BPSK data for length N=16

PARP problem Problem: Amplitude of OFDM signal can be larger than the amplitude of the original BPSK signal. This is known as Peak-to-Average Power Ratio (PARP) problem.

OFDM Transmitter/Receiver
Το IDFT δίνει το OFDM symbol που αποτελείται από τη σειρά μήκους Ν, όπου OFDM σύμβολο ονομάζουμε την έξοδο του IFFT: δηλαδή όλα τα Ν δείγματα αποτελούν 1 OFDM symbol. Στο δέκτη, παίρνοντας το DFT του λαμβανομένου σήματος ανακτούμε τα αρχικά σύμβολα της ψηφιακής διαμόρφωσης Χ.

Spectrum of OFDM – orthogonal carriers (1/6)
N=16; % Number of subcarriers a = sign(randn(N,1)); % Generate random BPSK symbols b = diag(a); % This helps to plot overlapping subcarrier spectrum % Do IFFT along each column -- each column is a subcarrier c = sqrt(N)*ifft(b,N); f = (1/sqrt(N))*fft(c, N*16); % Do FFT of 16x resolution figure(2) plot([1:N*16],abs(f)) % Get the spectrum of each sub-carrier axis([1,N*16,0, 1]); title('N=16 Subcarriers of OFDM signal') xlabel('frequency bins with N*16 resolution') ylabel('amplitude')

if we take an FFT of the OFDM signal we see that when each carrier has a peak, all others are zero. This is expected, since the spectrum of each sub-carrier of length T has a zero at multiples of 1/T (peaks of other subcarriers)

figure(3) plot([1:N*16], abs(f)) grid on; hold on plot([1:N*16], abs(sum(f,2)), '-*') axis([1,N*16,0, 2]) title('Spectrum of OFDM signal with N=16 subcarriers') xlabel('frequency bins with N*16 resolution') ylabel('amplitude') % This is the spectrum of all subcarriers superimposed. % Note that this curve matches with the previous plot at every peak % (each peak corresponds to a subcarrier frequency)

Taking 1 value every 16 (value of the peak), we obtain directly the transmitted symbols (here are all 1 because we took abs(f)) Each subcarrier “carries” 1 modulation symbol.

Taking FFT of length N we obtain directly the values of the peaks: f1 = (1/sqrt(N))*fft(c, N); real(sum(f1,2))’ ans = That is we recover the BPSK data…

plot([1:N*16], real(sum(f,2)), '-*') % carrier peaks have the BPSK data

Wireless Multipath Channel
Έστω η είσοδος στο κανάλι είναι η ακολουθία εκπομπής με μήκος Ν και ένα διακριτού χρόνου κανάλι με κρουστική απόκριση με μήκος Μ+1 = Τm/Τs, όπου Τm είναι το channel multipath delay spread και Ts είναι το sampling time των δειγμάτων της ακολουθίας εκπομπής x(n).

Cyclic Prefix Το cyclic prefix του ορίζεται ως δηλαδή αποτελείται από τις τελευταίες Μ τιμές του . Για κάθε ακολουθία εκπομπής μήκους Ν, αυτά τα Μ δείγματα μπαίνουν στην αρχή της ακολουθίας εκπομπής. Αυτό δημιουργεί μία νέα ακολουθία μήκους Ν+Μ: x[N-M] x[N-M+1] … x[N-1] x[0] x[1] x[2] x[N-M-1] x[N-M] x[N-M+1]… x[N-1]

Cyclic Prefix (3/5) Έστω ότι το είναι είσοδος στο κανάλι πολλαπλών διακριτών διαδρομών (ισοδύναμο με ένα FIR φίλτρο). Η έξοδος θα είναι: όπου η τρίτη ισότητα ισχύει για M>L επειδή για

Cyclic Prefix (5/5) Άρα, γνωρίζοντας τα Υ, Η, το Χ βρίσκεται με απλή διαίρεση

Cyclic Prefix Επομένως με την προσθήκη του cyclic prefix στην αρχή του καναλιού, η γραμμική συνέλιξη y[n] που δίνει την έξοδο για γίνεται κυκλική συνέλιξη. Παίρνοντας επομένως στο δέκτη το DFT του y[n] (χωρίς θόρυβο) έχουμε: και επομένως, αν γνωρίζουμε το , τα σύμβολα εκπομπής μπορούν να βρεθούν στο δέκτη με μία απλή διαίρεση:

Μετάδοση και λήψη OFDM με κυκλικό πρόθεμα
Στο OFDM αντί να στείλουμε κάποια σύμβολα διαμόρφωσης (π.χ. +1 bit 1 και -1 bit 0) στέλνουμε την έξοδο του ifft Ν συμβόλων εκπομπής. Π.χ. ifft([ ], 4) ans = Επίσης, επειδή το σήμα εκπέμπεται σε ένα πολυδιαδρομικό κανάλι, το οποίο ενεργεί σαν φίλτρο, π.χ. h = [0.7, -0.3]. Προσθέτουμε το κυκλικό πρόθεμα στο υπάρχων σήμα εκπομπής. Ο αριθμός αυτών των δειγμάτων πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή τουλάχιστον ίσος με το μήκος του πολυδιαδρομικού καναλιού (φίλτρου). ¨Εστω ότι επιλέγουμε μήκος κυκλικού προθέματος 3.

Μετάδοση και λήψη OFDM με κυκλικό πρόθεμα
Το λαμβανόμενο σήμα στο δέκτη θα είναι: y = conv([ ], [ ]) y = Στο δέκτη, πετάμε τα πρώτα 3 δείγματα (αντιστοιχούν στο κυκλικό πρόθεμα) και τα επόμενα Ν (εδώ Ν=4) τα βάζουμε είσοδο σε ένα DFT (fft in Matlab) και διαιρούμε με την απόκριση συχνότητας του καναλιού υπολογισμένη σε Ν συχνότητες: x = fft([ ],4) ./ fft([ ], 4) x =

OFDM transmitter-receiver
Original N Modulation Symbols enter an N-point IFFT that creates the OFDM signal (N samples long, equal to original length of N samples) Take last M samples from the IFFT output signal and put them in frond of the original OFDM signal, that is, add the cyclic prefix. Transmit the N+M samples over the multipath channel. Receive the output of the convolution of the transmit samples with the impulse response of the multipath channel. Discard the first received M samples, that is, discard the cyclic prefix. Insert the next N samples to an N-point FFT block. The output of the FFT (N samples) is divided with the frequency response of the channel (N samples), obtained by calculating the N-point DFT of the channel impulse response. The N values obtained enter the demodulator to estimate the N original modulation symbols.

Example 1: OFDM transceiver
clear; N = 16; % Number of subcarriers. M = 4; % Length of Cyclic Prefix a = randsrc(1, N); % Generate BPSK symbols. data = ifft(a); % OFDM transmitter % insert cyclic prefix tx=[data(N-M+1:N), data]; h=[(randn(1,1)+i*randn(1,1)), (randn(1,1)+i*randn(1,1)), ... (randn(1,1)+i*randn(1,1))]/sqrt(2); % random channel with 3 paths % channel impulse response with length < M=4 rx = conv(h, tx); % linear convolution with channel impulse response

Example 1: OFDM transceiver
for i=1:N y(i) = rx(i+M); % cyclic prefix removed end y_dft = fft(y, N); % DFT at receiver side h_dft = fft(h, N); % DFT of channel response a_rx = y_dft./h_dft; % Data recovery with Channel estimation % (Frequency equalization) errors = sum(a -real(a_rx)) %Compare tx and rx data symbols

Received OFDM symbol and channel
Παίρνοντας επομένως στο δέκτη το DFT του y[n] (χωρίς θόρυβο) έχουμε: Επομένως, τo k σύμβολo εκπομπής εμφανίζεται στην k έξοδο του DFT πολλαπλασιασμένο με την απόκριση του πολυδιαδρομικού καναλιού στην συχνότητα

PDF of H(k), k=0,1,…,N-1 Παρατηρήστε ότι η απόκριση συχνότητας της κρουστικής απόκρισης ενός πολυδιαδρομικού καναλιού είναι όπου L είναι το μήκος της κρουστικής απόκρισης τmax είναι η μέγιστη καθυστέρηση του καναλιού (maximum delay spread) H δειγματοληψία της Η(ω) για ω=2πk/N, , είναι ο DFT{h(n)} δηλαδή

Multipath channel in the frequency domain
Show that the multipath channel results in selective fading clear; Fs = 10*10^6; % sampling frequency AND signal bandwidth L=3; % multipath fading N=64; % total number of carriers – FFT length p = [0.5, 0.3, 0.2]; % declare power delay profile h(1) = sqrt(p(1))*(randn(1,1)+i*randn(1,1))/sqrt(2); h(2) = sqrt(p(2))*(randn(1,1)+i*randn(1,1))/sqrt(2); h(3) = sqrt(p(3))*(randn(1,1)+i*randn(1,1))/sqrt(2);

h = [h(1), 0, h(2), 0, h(3)]; % consider the multipath delay profile H = fft(h, N); % frequency response of last channel response b = abs(H); % magnitude of frequency response plot(b, ‘-o’) xlabel('subcarrier index') ylabel('frequency response')

Παρατηρήστε ότι η απόκριση συχνότητας της κρουστικής απόκρισης με δειγματοληψία στις ψηφιακές γωνιακές συχνότητες ω = 2πk/N, , (ισοδύναμα αναλογικές συχνότητες f= kFs/N, ) είναι ο DFTN{h(n)}, δηλαδή έχει διαφορετικά πλάτη στα διάφορα k (υποφέροντα)  selective frequency fading !!! Αυτό το συμπέρασμα χρησιμοποιείται για την ανάθεση υποφερόντων σε διαφορετικούς χρήστες στο σύστημα πολλαπλής πρόσβασης χρηστών OFDM Access (OFDMA).

Κάθε χρήστης θα έχει μία απόκριση καναλιού, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: subchannel frequency magnitude carrier channel

Resource (frequency bins) allocation
Ο Σταθμός Βάσης γνωρίζει την απόκριση συχνότητας του καναλιού κάθε χρήστη και προσπαθεί να δώσει υποφέροντα k {0,1,…, N-1} σε κάθε χρήστη στα οποία το πλάτος έχει υψηλές τιμές. User 1 User K frequency magnitude Base Station - has knowledge of each user’s channel state information thru ideal feedback from the users User 2 . . .

Resource (frequency bins) allocation
Ο τρόπος με τον οποίο κάθε χρήστης επιτυγχάνει να στείλει τα σύμβολα του σε συγκεκριμένα υποφέροντα (από τα Ν υποφέροντα σε ένα εύρος φάσματος 0 – Fs (Hz)), είναι να εισάγει τα σύμβολα εκπομπής μόνο στις εισόδους του IDFT που αντιστοιχούν στα υποφέροντα εκπομπής και 0 αλλού. Π.χ. για να στείλει δεδομένα στα πρώτα 8 υποφέροντα (από Ν=64), 8 σύμβολα εκπομπής θα εισέλθουν στις εισόδους 0-7 ενός IDFT με μήκος (αριθμό εισόδων) Ν=64. Με αυτό τον τρόπο, κάθε χρήστης εκπέμπει σε διαφορετικά υποφέροντα. Στο Δέκτη, χρησιμοποιείται ένας DFT με μήκος Ν, ενώ κάθε χρήστης λαμβάνει ΜΟΝΟ τα σύμβολα που του αντιστοιχούν, δηλαδή στο προηγούμενο παράδειγμα, θα “πάρει” μόνο τα πρώτα 8 σύμβολα (από τα Ν=64) της εξόδου του DFT. Ένας δεύτερος χρήστης μπορεί να λάβει τα επόμενα 8, κ.ο.κ.

Example of OFDMA with 2 users
Tx 1 Tx 2 IFFT(X,N) First N/2 symbols belong to #1 Next N/2 symbols belong to #2 FFT(Y,N) IFFT(X,N)

Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια