Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος – Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Remember the five simple rules to be happy:
Advertisements

Instructions: •Look at the map and identify all the places. •Maria is staying at the hotel and she is just going out of the door … but where to ??? •Double.
Factoring and Testing Primes in Small Space Viliam Geffert P.J.Šafárik University, Košice, Slovakia Dana Pardubská Comenius University, Bratislava, Slovakia.
Click here to start Important !: You have to enable macros for this game (Tools ->Macros -> Security -> «medium»).
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Σχεδιαση Αλγοριθμων - Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο1 Άπληστοι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης Προβλήματα βελτιστοποίησης λύνονται με μια σειρά επιλογών.
Probabilistically Checkable Proofs Theorem (PCP THEOREM) Ομιλητής Ασημακόπουλος (Ευ)Άγγελος.
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 7.4 – 7.6 NP ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ.
Το Πρόβλημα Routing and Path Coloring και οι εφαρμογές του σε πλήρως οπτικά δίκτυα Ευχαριστίες: οι διαφάνειες αυτές βασίστηκαν εν μέρει στην παρουσίαση.
Bin Packing Problem
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 8 Τ ΕΛΕΙΑ Γ ΡΑΦΗΜΑΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1.
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό.
By Joanna P. CAN OR CAN’T.
Τα ανθρώπινα δικαιώματα 30 είναι τα άρθρα της Οικουμενικής Διακήρυξης των Ανθρωπίνων Δικαιωμάτων που έχουν εκδοθεί ειδικά για τους νέους.
AFFIRMATIVE NEGATIVE QUESTIONS CAN ( = M ΠΟΡΩ ΝΑ...) CANNOT ( =ΔΕΝ M ΠΟΡΩ ΝΑ...) ΠΩΣ ΕΚΦΡΑΖΟΥΜΕ IKANOTHTA/ANIKANOTHTA ΣΤΑ ΑΓΓΛΙΚΑ.
AMORE Patra, Combined Bus and Driver Scheduling C. Valouxis, E. Housos Computers and Operation Research Journal Vol 29/3, pp , March 2002.
6/26/2015HY220: Ιάκωβος Μαυροειδής1 HY220 Asynchronous Circuits.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εξόρυξη Δεδομένων Απορροφητικοί τυχαίοι περίπατοι. Προβλήματα κάλυψης Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Παναγιώτης.
Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων 1. Συνήθης Δ.Ε. 1 ανεξάρτητη μεταβλητή x 1 εξαρτημένη μεταβλητή y Καθώς και παράγωγοι της y μέχρι n τάξης, στη.
Η ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΡΙΑ ΠΗΓΗ Δ2’. ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΕΡΕΧΘΕΙΟ ΝΑΟΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΝΙΚΗΣ ΠΡΟΠΥΛΑΙΑ ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ ΧΑΛΚΟΘΗΚΗ ΝΑΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑ.
Ψηφιακά Παιχνίδια και μάθηση Δρ. Νικολέτα Γιαννούτσου Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας.
Αντισταθμιστική ανάλυση
Relations Chapter 9.
10η Διάλεξη Ταξινόμηση E. Μαρκάκης
MAGIC BOOK UNIT 2 CAPTAIN COOK.
Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα 9 Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων
Μετασχηματισμός Laplace συνέχεια
Ανάλυση κατηγορικών δεδομένων
Δένδρο-σωρός Ένα δένδρο-σωρός ή απλώς σωρός είναι ένα πλήρες δυαδικό δένδρο με διατεταγμένους τους κόμβους του έτσι, ώστε η τιμή του στοιχείου κάθε κόμβου.
Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Κεφάλαιο 9ο
Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Δένδρα
ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗΣ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΡΟΠΟΝΗΤΩΝ ΣΤΙΒΟΥ ΒΟΡΕΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ
ΑΛΚΗ ΖΕΗ.
We are the world Τραγούδι με μήνυμα για την ισότητα των παιδιών και όλων των ανθρώπων 13/12/2016 Παναγιώτης Γαλατσίδας.
Πράκτορες βασισμένοι στη γνώση
11η Διάλεξη Ταξινόμηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων Ε. Μαρκάκης
Απ’ το ΚΕΔΔΥ στο ΚΕΔΔΥ Ξάνθη 21/3/2017.
Ποιος: ταυτότητα του ομιλητή Τι: φύση της γλώσσας (γνώση/ χρήση)
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον ΑΕΠΠ
Αξιολόγηση επενδύσεων
Σχολικός εκφοβισμός στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Καραβόλτσου Α
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ
Solving Trig Equations
Find: φ σ3 = 400 [lb/ft2] CD test Δσ = 1,000 [lb/ft2] Sand 34˚ 36˚ 38˚
Κεφάλαιο 1ο Το άτομο Το άτομο είναι το πιο μικρό κομμάτι ενός στοιχείου. Στο κέντρο βρίσκεται ο πυρήνας με τα πρωτόνια p+, που είναι θετικά φορτισμένα.
aka Mathematical Models and Applications
Find: angle of failure, α
ΚΑΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ ΕΙΛΩΤΕΣ-ΠΕΡΙΟΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΧΡΟΝΙΑ
Find: minimum B [ft] γcon=150 [lb/ft3] γT=120 [lb/ft3] Q φ=36˚
THIẾT KẾ VÀ ĐÁNH GIÁ THUẬT TOÁN
«Προώθηση οίνων σε αγορές τρίτων χωρών»
Find: ρc [in] from load γT=110 [lb/ft3] γT=100 [lb/ft3]
Find: ρc [in] from load γT=106 [lb/ft3] γT=112 [lb/ft3]
Find: σ1 [kPa] for CD test at failure
ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ ΕρΓΑΣΤΗΡΙΟ 2018
Επανάληψη σε όλους τους χρόνους
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ‘ABC of Selling’. ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΑΡΙ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ
3Ω 17 V A3 V3.
Complicated Circuit Ten Resistors Finding the Values.
24/2/2019 Αλγοριθμική Σκέψη, Προγραμματισμός και Σύγχρονες Εφαρμογές Πληροφορικής(Δύο Περίοδοι) Ενότητα Α7.2.Μ1-Μ2 (Πώς Δημιουργούμε Ένα Πρόγραμμα για.
JSIS E 111: Elementary Modern Greek
Δοκοί Διαγράμματα Τεμνουσών Δυνάμεων και Καμπτικών Ροπών
Find: ρc [in] from load (4 layers)
Εθνικό Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης Faceforward … into my home!
Erasmus + An experience with and for refugees Fay Pliagou.
ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ
ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΠΟΙΗΣΗΣ
Ο Γαλιλαίος και οι παρατηρήσεις του
Μεταγράφημα παρουσίασης:

Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος – Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων που απαιτείται για την έρευση του μεγαλύτερου στοιχείου σε ένα σύνολο n αριθμών. Αριθμός συγκρίσεων που απαιτείται για την ταξινόμηση ενός πίνακα μεγέθους n. Αριθμός συγκρίσεων που απαιτείται για την έρευση ενός στοιχείου σε ένα ταξινομημένα πίνακα. Αριθμός πράξεων πολλαπλασιασμού για τον πολλαπλασιασμό δύο n Χ n πινάκων.

Τύποι κατώτερων φραγμάτων Τα κατώτερα φράγματα μπορεί να είναι Ακριβής καταμέτρηση Κλάση αποδοτικότητας () Σφικτά (Tight) κατώτερα φράγματα: είναι γνωστός ένας αλγόριθμος με την ίδια αποδοτικότητα όσο το κατώτερο φράγμα. Πρόβλημα Κατώτερο φράγμα Σφικτό ταξινόμηση (nlog n) ναι αναζήτηση σε ταξινομημένο πίνακα (log n) ναι μοναδικότητα στοιχείου (nlog n) ναι πολ/μός ακεραίων με n ψηφία (n) άγνωστο πολ/μός n Χ n πινάκων (n2) άγνωστο

Μέθοδοι καθορισμού κατωτέρων φραγμάτων Τετριμμένα κατώτερα φράγματα. Επιχειρηματολογία θεωρίας πληροφοριών (δένδρα απόφασης). Μέθοδος αντιπαλότητας. Αναγωγή (reduction) προβλήματος.

Τετριμμένα Κατώτερα Φράγματα Βασίζονται στην καταμέτρηση του αριθμού των αντικειμένων εισόδου που πρέπει να επεξεργασθούν και του αριθμού που πρέπει να παραχθούν στην έξοδο. Παραδείγματα Εύρεση μεγαλύτερου στοιχείου Υπολογισμός πολυωνύμου Μοναδικότητα στοιχείου Ύπαρξη Χαμιλτονιανού κυκλώματος Συμπεράσματα Μπορεί να είναι ή να μην είναι χρήσιμα Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στον καθορισμό του αριθμού σττοιχείων που οπωσδήποτε πρέπει να επεξεργασθούν.

Δένδρα απόφασης Αποτελούν ένα βολικό μοντέλο για αλγορίθμους που περιλαμβάνουν συγκρίσεις. Στα δένδρα απόφασης: Οι εσωτερικοί κόμβοι αναπαριστούν συγκρίσεις, και τα φύλλα αποτελέσματα. Παράδειγμα: Δένδρο απόφασης για ταξινόμηση επιλογής 3 στοιχείων

Δένδρα αποφάσεων και Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Κάθε αλγόριθμος ταξινόμησης βασισμένος σε συγκρίσεις μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα δένδρο απόφασης. Ο αριθμός των φύλλων είναι τουλάχιστον όσος και ο αριθμός των πιθανών εξόδων, δηλ.  n! Το ύψος ενός δυαδικού δένδρου με n! φύλλα είναι  log2n! Άρα ο ελάχιστος αριθμός συγκρίσεων στην χειρότερη περίπτωση είναι  log2n! για κάθε αλγόριθμο ταξινόμησης βασισμένο σε συγκρίσεις. log2n!  n log2n Αυτό το κατώτερο φράγμα είναι σφικτό, π.χ. (mergesort)

Επιχειρήματα Αντιπαλότητας Αποτελεί μία μέθοδο απόδειξης κατωτέρων φραγμάτων παίζοντας το ρόλο ενός αντιπάλου που αναγκάζει τον αλγόριθμο να εκτελέσει τα περισσότερα βήματα, ρυθμίζοντας την είσοδο. Παράδειγμα 1: “Μάντεψε” ένα αριθμό από το 1 ως n με ερωτήσεις ναι/όχι. Αντίπαλος: Θέτει τον αριθμό στο μεγαλύτερο από τα δύο υποσύνολα που παράγονται από την τελευταία ερώτηση. Παράδειγμα 2: Συγχώνευση δύο ταξινομημένων λιστών μεγέθους n a1 < a2 < … < an και b1 < b2 < … < bn Aντίπαλος: ai < bj αν i < j Αποτέλεσμα: b1 < a1 < b2 < a2 < … < bn < an που απαιτεί 2n-1 συγκρίσεις.

Κατώτερα φράματα με αναγωγή προβλήματος Ιδέα: Αν ένα πρόβλημα P είναι τουλάχιστον όσο δύσκολο όσο το πρόβλημα Q , τότε ένα κατώτερο φράγμα του Q είναι κατώτερο φράγμα και για το P. Οπότε βρίσκουμε ένα πρόβλημα Q με γνωστό κατώτερο φράγμα που μπορεί να αναχθεί στο P . Παράδειγμα: P  εύρεση MST σε n σημεία του Ευκλείδιου χώρου Q  μοναδικότητα στοιχείου ((nlogn))

A X Αποδείξεις με Αναγωγή B Y ανάγεται σε σημαίνει ότι το B μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι το B για να λύσει το A Άρα, το A δεν είναι πιο δύσκολο πρόβλημα από το B. Ο όρος “ανάγεται” είναι λίγο περίεργος: λειτουργεί προς την αντίστροφη φορά από την λύση.

Κατηγοριοποίηση πολυπλοκότητας προβλήματος Υπάρχει κάποιος πολυωνυμικός αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος? Πιθανές απαντήσεις: ΝΑΙ ΟΧΙ επειδή μπορεί να αποδειχθεί ότι όλοι οι αλγόριθμοι θέλουν εκθετικό χρόνο επειδή μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος να επιλύσει αυτό το πρόβλημα ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΩ ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΩ, αλλά αν εφευρισκόταν ένας τέτοιος αλγόριθμος, τότε θα δινόταν λύση και σε πολλά άλλα προβλήματα σε πολυωνυμικό χρόνο

Παραδείγματα απαιτητικών προβλημάτων Διαμερισμός: Δεδομένων n θετικών ακεραίων, να βρεθεί αν είναι δυνατό να τους διαμερίσουμε σε δυο ανεξάρτητα υποσύνολα με το ίδιο άθροισμα Bin packing: Δεδομένων n αντικειμένων με μέγεθος που είναι θετικός πραγματικός αριθμός όχι μεγαλύτερος του 1, να τοποθετηθούν στο μικρότερο αριθμό bins μεγέθους 1 Χρωματισμός γράφου: Να βρεθεί ο χρωματικός του αριθμός δεδομένου γράφου, δηλαδή ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να αποδοθούν στις κορυφές του γράφου ώστε να μην υπάρχουν δυο γειτονικές κορυφές με το ίδιο χρώμα Ικανοποιησιμότητα CNF: Δεδομένης λογικής πρότασης σε συζευκτική κανονική μορφή (σύζευξη διαζεύξεων εκφράσεων), υπάρχει μια απόδοση τιμών στις μεταβλητές που να καθιστά την έκφραση αληθή?

Τύποι προβλημάτων Προβλήματα βελτιστοποίησης: κατασκευάζουμε μια λύση που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί μια αντικειμενική συνάρτηση. Προβλήματα απόφασης: απάντηση με ΝΑΙ/ΌΧΙ σε μια ερώτηση. Πολλά προβλήματα έχουν εκδοχές και βελτιστοποίησης και απόφασης. Π.χ. το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή: βελτιστοποίηση: βρες ένα hamiltonian κύκλο ελάχιστου βάρους. απόφαση: βρες ένα hamiltonian κύκλο βάρους < k.

Η κλάση P P: η κλάση των προβλημάτων απόφασης, τα οποία επιλύονται σε χρόνο O(p(n)), όπου p(n) είναι ένα πολυώνυμο ως προς n Γιατί πολυώνυμο ? Αν ΟΧΙ, πολύ αναποτελεσματικό. Κομψές ιδιότητες κλεισίματος. Ανεξάρτητες από μηχανές.

Η κλάση NP NP: η κλάση των προβλημάτων απόφασης, τα οποία επιλύονται σε πολυωνυμικό χρόνο σε μια μη-αιτιοκρα-τική μηχανή. Ένας μη-αιτιοκρατικός υπολογιστής μπορεί να μαντέψει τη σωστή απάντηση ή λύση (τυχαιότητα) και να ελέγξει την ορθότητα της λύσης σε πολυωνυμικό χρόνο. Τα ΝΡ είναι μια κλάση προβλημάτων με λύσεις που είναι επιβεβαιώσιμες σε πολυωνυμικό χρόνο. Σημείωση: η έκφραση NP σημαίνει “Nondeterministic Polynomial-time”

Παράδειγμα: ικανοποιησιμότητα CNF Το πρόβλημα είναι NP. Ο μη-αιτιοκρατικός αλγόριθμος: μαντεύει τη σωστή απόδοση τιμών ελέγχει αν οι αποδόσεις ικανοποιούν τον τύπο CNF Παράδειγμα:(A⋁¬B⋁¬C)⋀(¬A⋁B)⋀(¬B⋁D⋁F)⋀(F⋁¬D) Αληθείς αποδόσεις: A B C D E F 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 ... (πόσες είναι συνολικά ?) Φάση ελέγχου: Θ(n)

Που βρισκόμαστε τώρα ? Έχει επιδειχθεί μη-αιτιοκρατικός πολυωνυμικός αλγόριθμος για την ικανοποιησιμότητα CNF Το CNF-sat είναι σε NP. Παρόμοιοι αλγόριθμοι μπορούν να βρεθούν για τα προβλήματα TSP (ως πρόβλημα απόφασης), HC, Partition, κλπ αποδεικνύοντας ότι αυτά τα προβλήματα είναι επίσης σε NP Όλα τα προβλήματα σε P μπορούν επίσης να επιλυ-θούν με αυτόν τον τρόπο (αλλά χωρίς μαντεψιά), και συνεπώς ισχύει: P ⊆ NP Η μεγάλη ερώτηση: P = NP ?

Προβλήματα NP-complete Ένα πρόβλημα απόφασης D είναι NP-complete αν και μόνο αν D ∈ NP Κάθε πρόβλημα σε NP είναι μειώσιμο/μπορεί να αναχθεί (reducible) σε πολυωνυμικό χρόνο στο D Θεώρημα του Cook (1971): το CNF-sat είναι NP-complete. Άλλα NP-complete προβλήματα είναι αυτά που λαμβάνονται μέσω πολύωνυμικών μειώσεων γνωστών NP-complete προβλημάτων. Η κλάση των NP-complete προβλημάτων δηλώνεται με NPC

Προβλήματα NP-complete

P = NP ? Αν ισχύει P = NP τότε κάθε NP πρόβλημα, συμπεριλαμβανομένων και των NP-complete, θα μπορούσε να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. Αρκεί να ανακαλυφθεί ένας πολυωνυμικός αλγόριθμος για ένα μόλις NP-complete πρόβλημα, και τότε κάθε πρόβλημα στην κατηγορία NP θα μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. Αλλά οι περισσότεροι ερευνητές πιστεύουν πως P  NP , δηλ. η κατηγορία P είναι υποσύνολο του NP.

I can’t find an efficient algorithm, I guess I am just too dumb NP-Πληρότητα I can’t find an efficient algorithm, because no such algorithm is possible I can’t find an efficient algorithm, but neither can all these famous people