Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου Σήματα και Συστήματα Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου January 23, 2018 Module Title

Εισαγωγή Γραμμική Συνέλιξη για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου Κρουστική απόκριση φίλτρου Εξίσωση Διαφοράς Απόκριση Συχνότητας Φίλτρου Έξοδος φίλτρου Module Title

Εξίσωση Διαφοράς y(n)=0.5y(n-1)+x(n) Από την εξίσωση διαφοράς του φίλτρου στο χρονικό πεδίο μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο συχνοτήτων. y(n)=0.5y(n-1)+x(n) δ(n) h(n) = … δ(n)

Κρουστική απόκριση φίλτρου Από τη συνάρτηση μεταφοράς Η(z) μπορούμε να βρούμε την κρουστική απόκριση h(n) χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Ζ στην H(z).

Εξίσωση διαφοράς για φίλτρα IIR Η γενική εξίσωση διαφοράς στο χρονικό πεδίο για φίλτρα άπειρου μήκους (infinite impulse response, IIR) είναι

Απόκριση συχνότητας (Frequency response) Από τη συνάρτηση μεταφοράς Η(z) μπορούμε: να βρούμε την κρουστική απόκριση h(n) με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Ζ (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων) να βρούμε την απόκριση συχνότητας Η(ejω), θέτοντας z= ejω με ω την ψηφιακή συχνότητα από 0 μέχρι π.

Απόκριση συχνότητας (Frequency response) freqz(A, B), όπου Α είναι ο vector: A=[α(0), α(1), ..., α(Μ)] των συντελεστών του πολυωνύμου του αριθμητή (που συνδέονται με προηγούμενες τιμές εισόδου x(n-m)), και Β είναι ο vector: Β=[b(0), b(1), ..., b(K)] των συντελεστών του πολυωνύμου του παρονομαστή (που συνδέονται με προηγούμενες τιμές εξόδου y(n-k)). Επομένως η εντολή  [Η, w] = freqz(A, B) δίνει τις (μιγαδικές) τιμές της απόκρισης συχνότητας Η(ejω) στο vector Η για τιμές ω που δίνονται στον vector w.

Απόκριση πλάτους και φάσης Αφού οι τιμές Η είναι μιγαδικές, μπορούν να εκφραστούν ως |Η(ejω)|ejφ(ω). Για αυτό συνήθως σχεδιάζουμε την απόκριση συνάρτησης με την εντολή: plot(ω, abs(H)) , όπου abs(H) δίνει το μέτρο |Η|. Επίσης η συνάρτηση της φάσης συναρτήσει της συχνότητας δίνεται με την εντολή: plot(ω, angle(H)) Συνήθως προτιμάμε τον άξονα συχνοτήτων να έχει τιμές μέχρι 1 και όχι π=3.16..., οπότε γράφουμε plot(ω/pi, abs(H))

Παράδειγμα γραμμικού συστήματος Για ένα αιτιατό σύστημα με εξίσωση διαφοράς: y(n) = 0.9 y(n-1) + x(n) (1) σχεδιάστε α) βρείτε το H(z) και σχεδιάστε το zero-pole plot β) σχεδιάστε το και c) Βρείτε την κρουστική απόκριση του φίλτρου Λύση

Zero-Pole plot >> a=[1]; >> b=[1, -0.9]; >> zplane(a,b) που δίνει καμία (μηδέν) ρίζα για τον παρονομαστή (zero of H(z)) και μία ρίζα για τον παρονομαστή στο z = 0.9 (pole of H(z)).

Frequency response (geometric view) Μπορούμε εμπειρικά να δούμε το μέτρο της απόκριση συχνότητας του φίλτρου με το να ξεκινήσουμε από το ω=0 με κατεύθυνση το ω=π (με φορά αντίθετη του ρολογιού) και κάθε φορά να υπολογίσουμε την Ευκλείδεια απόσταση της συχνότητας από κάθε zero και κάθε πόλο της συνάρτησης μεταφοράς. Για την παραπάνω απλή συνάρτηση μεταφοράς Η(z) έχουμε , p1=0.9 Παρατηρούμε ότι η απόσταση του πόλου από κάθε σημείο του κύκλου (συχνότητα ω) καθορίζει τη τιμή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα ω.

Frequency response >> [H,w]=freqz(a,b,100); >> magH=abs(H); >> plot(w/pi, magH) >> xlabel('frequency in pi units') >> ylabel('Magnitude') >> title('Magnitude Response')

Frequency response >> [H,w]=freqz(a,b, 200, 'whole'); >> magH=abs(H); >> plot(w/pi, magH) >> xlabel('frequency in pi units') >> ylabel('Magnitude') >> title('Magnitude Response')

Frequency response >> a=1; >> b=[1, -0.9]; >> w=[-pi:pi/200:pi]; % equivalently w=[-200:1:200]*pi/200; >> H=freqz(a,b,w); >> plot(w/pi, abs(H)) >> ylabel('Magnitude') >> xlabel('frequency in pi units') >> title('Magnitude Response')

Frequency response Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας ενός συστήματος με κρουστική απόκριση Η είσοδος μίας συχνότητας ω σε ένα γραμμικό σύστημα δίνει έξοδο την ίδια συχνότητα με διαφορετικό πλάτος και φάση. Το νέο πλάτος και φάση καθορίζονται από την απόκριση συχνότητας του γραμμικού συστήματος στη συγκεκριμένη συχνότητα ω ( ).

Frequency response Στο Matlab η απόκριση συχνότητας υπολογίζεται ως εξής w=[0:1:500]*pi/500; % 501 συχνότητες στο διάστημα 0 – π a=1; % vector of coefficients for numerator of H(z) b=[1, -2/3]; % vector of coefficients for denominator of H(z) H=freqz(a,b,w); %calculates frequency response for frequencies in vector w plot(w/pi, abs(H)) % abs returns the magnitude (μέτρο) of complex value xlabel('w/pi for 0<w<pi') ylabel('magnitude |H(exp(jw)|') title('Frequency response of H(exp(jw))')

Frequency response Παρατηρήστε ότι

Frequency response Αν θέλατε να σχεδιάσετε την απόκριση συχνότητας από 0 ≤ ω ≤ 2π θα κάνατε μόνο την αλλαγή w=[0:1:500]*2*pi/500; % w from 0 to 2*pi

Frequency response with Matlab code a=1; % vector of coefficients for numerator of H(z) b=[1, -2/3]; % vector of coefficients for denominator of H(z) m=0:length(a)-1; r=0:length(b)-1; K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; % frequencies from 0 - pi num=a*exp(-j*m'*w); den=b*exp(-j*r'*w); H=num./den;

Frequency response with Matlab code plot(w/pi, abs(H)) plot(w/pi, angle(H)/pi) xlabel('frequency in pi units') xlabel('frequency in pi units') ylabel('|H|‘) ylabel('Phase in pi radians')

Frequency response Έστω ένα 3ης – τάξης φίλτρο το οποίο περιγράφεται με την εξίσωση διαφοράς: Σχεδιάστε στο Matlab την απόκριση συχνότητας του παραπάνω φίλτρου, δηλαδή το πλάτος και φάση της συνάρτησης μεταφοράς συναρτήσει της ψηφιακής συχνότητας 0≤ ω ≤ π. Από την εξίσωση διαφοράς εύκολα προκύπτει:

Frequency response Επομένως: a=[0.0181, 0.0543, 0.0543, 0.0181]; b=[1, -1.76, 1.1829, -0.2781]; [H,w]=freqz(a,b,200); figure(1) plot(w/pi,abs(H)) xlabel('w/pi') ylabel('magnitude of H(w)')

Frequency response plot(w/pi,abs(H))

Frequency response figure(2) plot(w/pi,angle(H)) xlabel('w/pi') ylabel('angle of H(w) in rad')

Filter output Έξοδος φίλτρου h(n)

Filter output Έξοδος φίλτρου h(n)

Filter output Έξοδος φίλτρου Επίσης για η έξοδος είναι Για η έξοδος είναι h(n)

Έξοδος φίλτρου Σχεδιάστε το σήμα με συχνότητα ω0=0.3π για n = 0,1,2,…100 (στο Matlab: n=[0:100]; x=cos(0.3*pi*n)) Σχεδιάστε στο ίδιο διάγραμμα ( plot(n,x,'o-', n,y,'x-') ) την έξοδο του φίλτρου και την είσοδο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter(a, b, x), όπου a και b είναι τα ίδια vectors με το ερώτημα 1 και x είναι ο vector εισόδου) n=[0:100]; x=cos(0.3*pi*n); y=filter(a,b,x); figure(3) plot(n, x, 'o-', n, y, 'x-') xlabel('sample number n') ylabel('amplitude')

Έξοδος φίλτρου Input signal in blue and filter output signal in green

Έξοδος φίλτρου Με βάση την απόκριση συχνότητας εξηγήστε την αλλαγή πλάτους και φάσης (προσδιορίστε τη χρονική καθυστέρηση του y(n) σε σχέση με το x(n)) του σήματος εξόδου σε σχέση με το σήμα εισόδου.  Όπως παρατηρούμε από το παραπάνω σχήμα, η επίδραση του φίλτρου στο εισερχόμενο σήμα x(n) είναι η μείωση του πλάτους του από 1 σε περίπου 0.25 και η καθυστέρησή του κατά περίπου μισή περίοδο (παρατηρήστε ότι όταν το x(n) έχει μέγιστο πλάτος το y(n) έχει ελάχιστο, δηλαδή διαφορά φάσης 180o ή π (σε rad) ).

Έξοδος φίλτρου Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι διότι Επομένως σύμφωνα με το σχήμα του y(n) πρέπει να επαληθεύσουμε ότι το πλάτος του σήματος εξόδου είναι περίπου 0.25 και είναι περίπου 180ο. Αν εξετάσουμε το vector w βλέπουμε ότι w(1) = 0, w(2) = pi/200, …, w(200)=pi – (pi/200)= 3.1259. Το στοιχείο που αντιστοιχεί σε w=0.3*pi=0.9425 είναι το i = 200*(0.9425/3.1259)+1 = 61. w(61) ans = 0.9425

Έξοδος φίλτρου Επομένως =abs(H(61)) = 0.2511 και =angle(H(61)) = 2.96 (περίπου pi) Η θεωρία

Προδιαγραφές φίλτρου στο ψηφιακό πεδίο συχνοτήτων Τι σημαίνει λοιπόν ότι περνάνε συχνότητες μέχρι π/8 ??? Η σχέση της ψηφιακής συχνότητας ω με την αναλογική f εξαρτάται αποκλειστικά από τη ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ fs, μέσω της σχέσης: Επομένως: σημαίνει ότι θα «περνάνε» συχνότητες 0 – 1 ΚΗz

Έξοδος φίλτρου Υπολογίστε την έξοδο y(n) ενός συστήματος με κρουστική απόκριση όταν είσοδος είναι: α) η μιγαδική εκθετική ακολουθία: β) η μιγαδική εκθετική ακολουθία: γ)

Έξοδος φίλτρου Είναι γνωστό ότι ένα σήμα διακριτού χρονου με συχνότητα ω0 σε ένα γραμμικό σύστημα δίνει έξοδο την ίδια συχνότητα ω0 αλλά με διαφορετικό πλάτος και φάση. Το νέο πλάτος και φάση καθορίζονται από την απόκριση συχνότητας του γραμμικού συστήματος στη συγκεκριμένη συχνότητα ω0. είναι της μορφής με συχνότητα ω0 = π/2 επομένως: y(n) = όπου : (e-jπ/2 = -j)

Έξοδος φίλτρου Για συχνότητα ω0 = π/2

Έξοδος φίλτρου Για συχνότητα ω0 = π

Έξοδος φίλτρου Τό τρίτο σήμα έχει τις συχνότητες 0 (σταθερός όρος) και πάλι τις π/2 (ως ημίτονο) και π (ως συνημίτονο). Την απόκριση στις δύο τελευταίες συχνότητες την έχουμε ήδη υπολογίσει, άρα μένει μόνο η ω=0:

Επαλήθευση εξόδου από την εξίσωση διαφοράς Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η h(n) προκύπτει από την εξίσωση διαφοράς: y(n) = (2/3) y(n-1) + x(n) Επομένως αν θεωρήσουμε μία σταθερή είσοδο x(n) = 10, n=0,1,2,… η οποία έχει βέβαια ω=0, η έξοδος που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση διαφοράς είναι:

Επαλήθευση εξόδου από την εξίσωση διαφοράς n=0 y(0) = 10 n=1 y(1) = (2/3)*10 + 10 = 16.667 n=2 y(2) = (2/3)*16.67 + 10 = 11.11 + 10 = 21.11 n=3 y(3) = (2/3)*21.11 + 10 = 14.07 + 10 = 24.07 n=4 y(4) = (2/3)*24.07 + 10 = 16.05 + 10 = 26.05 n=5 y(5) = (2/3)*26.05 + 10 = 17.36 + 10 = 27.36 n=6 y(6) = (2/3)*27.36 + 10 = 18.24 + 10 = 28.24 n=7 y(7) = (2/3)*28.24 + 10 = 18.82 + 10 = 28.82 n=8 y(6) = (2/3)*28.82 + 10 = 19.22 + 10 = 29.22 n=9 y(6) = (2/3)*29.22 + 10 = 19.47 + 10 = 29.47 n=10 y(10) = (2/3)*29.47 + 10 = 19.65 + 10 = 29.65 n=11 y(11) = (2/3)*29.65 + 10 = 19.77 + 10 = 29.77 … Όπου μετά από κάποιο αρχικό χρόνο (transient) η έξοδος στην τελική τιμή (steady state) είναι 30, όπως ακριβώς υπολογίσαμε και προηγουμένως χρησιμοποιώντας την απόκριση συχνότητας της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου.

Έξοδος φίλτρου Έστω ένα γραμμικό σύστημα που περιγράφεται από την εξίσωση διαφοράς Βρείτε την απόκριση συχνότητας Βρείτε και σχεδιάστε την εξοδο για σήμα εισόδου

Έξοδος φίλτρου Η απόκριση συχνότητας στη συχνότητα ω0 = 0.05 π είναι Η έξοδος (steady state) δίνεται από

Έξοδος φίλτρου >> b=1; >> a=[1,-0.8]; >> n=[0:100]; >> x=cos(0.05*pi*n); >> y=filter(b,a,x); >> subplot(2,1,1); stem(n,x); >> xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('Input sequence') >> subplot(2,1,2); stem(n,y); >> xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('Output sequence')

Έξοδος φίλτρου