Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Απλή Αρμονική Κίνηση (Ανακεφαλαίωση) Δυναμική της Ταλάντωσης με Απόσβεση Λύση της Δ.Ε. της Ταλάντωσης με Απόσβεση Διερεύνηση της Εξίσωσης Κίνησης του Ταλαντωτή με Απόσβεση Ενέργεια Ταλαντωτή με Απόσβεση Παράμετροι Ταλάντωσης με Απόσβεσης

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ανακεφαλαίωση) ΤΑΛΑΝΤΟΥΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ 𝝎 𝟎 𝟐 Ελατήριο – Μάζα 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝒙 𝒕 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝒌 𝒎 Απλό Εκκρεμές 𝒅 𝟐 𝜽 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝜽=𝟎 𝜽 𝒕 = 𝜽 𝒎𝒂𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝒈 𝒍 Φυσικό Εκκρεμές 𝒎𝒈𝑳 𝑰 Στροφικό Εκκρεμές Πλωτήρας 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒚=𝟎 𝒚 𝒕 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒎 𝜿 𝑰

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Η Συνισταμένη των δυνάμεων που προκαλούν την ταλάντωση προκύπτει από τη δύναμη επαναφοράς Fsp του ταλαντούμενου συστήματος και από τις δυνάμεις απόσβεσης Fd (π.χ. η αντίσταση σε ένα ρευστό) οι οποίες θεωρούνται ανάλογες με την ταχύτητα. x = 0     Fsp   υ Fd Όπου:    

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Ανακεφαλαίωση:     Δεύτερος Νόμος Newton:   𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 Διαφορική Εξίσωση Ταλάντωσης με Απόσβεση:   Όπου:    

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ         Βήμα 1ο: Θέτουμε:   οπότε:   Βήμα 2ο: Χαρακτηριστικό τριώνυμο ομογενούς Δ.Ε. 2ης τάξης:   Διακρίνουσα:   Ρίζες:  

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 1η Περίπτωση: Διακρίνουσα θετική: 𝒃 𝟐 𝒎 𝟐 −𝟒 𝒌 𝒎 >𝟎 ⇒ 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 >𝟎 𝚫=𝟒 𝜸 𝟐 −𝟒 𝝎 𝟎 𝟐 >𝟎 ⇒ 𝝆 𝟏 =−𝜸+ 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝝆 𝟐 =−𝜸− 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 Το χαρακτηριστικό Τριώνυμο της Δ.Ε. έχει δυο ρίζες πραγματικές: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 𝒆 𝝆 𝟏 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 𝝆 𝟐 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 𝒆 −𝜸+ 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 −𝜸− 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 >𝟎 1η Περίπτωση: Διακρίνουσα θετική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 𝒆 −𝜸+ 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 −𝜸− 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 𝒆 −𝜸𝒕 𝒆 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 −𝜸𝒕 𝒆 − 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒄 𝟏 𝒆 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 − 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 >𝟎 1η Περίπτωση: Διακρίνουσα θετική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒄 𝟏 𝒆 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 + 𝒄 𝟐 𝒆 − 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 𝒕 t x Γραφική Παράσταση της Λύσης της Δ.Ε.: Κατάσταση Υπεραπόσβεσης

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 =𝟎 2η Περίπτωση: Διακρίνουσα Ίση με Μηδέν: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝚨+𝚩𝒕 t x Γραφική Παράσταση της Λύσης της Δ.Ε.: Κρίσιμη Απόσβεση

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: 𝒃 𝟐 𝒎 𝟐 −𝟒 𝒌 𝒎 <𝟎 ⇒ 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 𝚫=𝟒 𝜸 𝟐 −𝟒 𝝎 𝟎 𝟐 <𝟎 ⇒ Θέτουμε: 𝝎 𝟐 = 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝜸 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 Το χαρακτηριστικό Τριώνυμο της Δ.Ε. έχει δυο ρίζες μιγαδικές: 𝝆 𝟏,𝟐 =−𝜸± 𝜸 𝟐 − 𝝎 𝟎 𝟐 = −𝜸± (−𝟏) 𝝎 𝟎 𝟐 −𝜸 𝟐 = −𝜸±𝒊 𝝎 𝟐 𝝆 𝟏 =−𝜸+𝒊𝝎 𝝆 𝟐 =−𝜸−𝒊𝝎

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: 𝝆 𝟏 =−𝜸+𝒊𝝎 𝝆 𝟐 =−𝜸−𝒊𝝎 Το χαρακτηριστικό Τριώνυμο της Δ.Ε. έχει δυο ρίζες μιγαδικές: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 =𝜶 𝒆 𝝆 𝟏 𝒕 +𝜷 𝒆 𝝆 𝟐 𝒕 = 𝜶 𝒆 −𝜸+𝒊𝝎)𝒕 +𝜷 𝒆 −𝜸−𝒊𝝎)𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 =𝒂 𝒆 −𝜸𝒕 𝒆 𝒊𝝎𝒕 +𝜷 𝒆 −𝜸𝒕 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂 𝒆 𝒊𝝎𝒕 +𝜷 𝒆 −𝒊𝝎𝒕

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂 𝒆 𝒊𝝎𝒕 +𝜷 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 Θεώρημα Euler: 𝒆 ±𝒊𝝎𝒕 = cos 𝝎𝒕 ±𝒊 sin 𝝎𝒕 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂 cos 𝝎𝒕 +𝒊 sin 𝝎𝒕 +𝜷 cos 𝝎𝒕 −𝒊 sin 𝝎𝒕 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂 cos 𝝎𝒕 +𝒊𝜶 sin 𝝎𝒕 +𝜷 cos 𝝎𝒕 −𝒊𝜷 sin 𝝎𝒕 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂+𝜷 cos 𝝎𝒕 +𝒊(𝜶−𝜷) sin 𝝎𝒕 𝒂+𝜷=𝟐𝑨 𝜶−𝜷=𝟐𝒊𝑩 𝒂=𝑨+𝒊𝑩 𝜷=𝑨−𝒊𝑩 Θέτουμε:

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝒂+𝜷 cos 𝝎𝒕 +𝒊(𝜶−𝜷) sin 𝝎𝒕 𝒂=𝑨+𝒊𝑩 𝒂+𝜷=𝟐𝑨 Θέτουμε: 𝜷=𝑨−𝒊𝑩 𝜶−𝜷=𝟐𝒊𝑩 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 𝟐𝑨 cos 𝝎𝒕 −𝟐𝑩 sin 𝝎𝒕 𝒙 𝒕 =𝟐𝑨 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕 − 𝑩 𝑨 sin 𝝎𝒕

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 =𝟐𝑨 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕 − 𝑩 𝑨 sin 𝝎𝒕 tan 𝝋 = 𝑩 𝑨 = sin 𝝋 cos 𝝋 Θέτουμε: 𝒙 𝒕 =𝟐𝑨 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕 − sin 𝝋 cos 𝝋 sin 𝝎𝒕

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 =𝟐𝑨 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕 − sin 𝝋 cos 𝝋 sin 𝝎𝒕 𝒙 𝒕 = 𝟐𝑨 cos 𝝋 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝋 cos 𝝎𝒕 − sin 𝝋 sin 𝝎𝒕 cos 𝝋 = 𝟏 𝟏+ tan 𝟐 𝝋 = Όπου: 𝟏 𝟏+ 𝜝 𝟐 𝜜 𝟐 = 𝟏 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐 𝜜 𝟐 = 𝑨 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝟐𝑨 cos 𝝋 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝋 cos 𝝎𝒕 − sin 𝝋 sin 𝝎𝒕 cos 𝝋 = 𝑨 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐 𝒙 𝒕 = 𝟐𝑨 𝑨 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕+𝝋 = 𝑨 𝟎 =𝟐 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐 𝟐 𝜜 𝟐 + 𝜝 𝟐 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕+𝝋

ΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝟐𝜸 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝟐𝜸= 𝒃 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Βήμα 3ο: Διερεύνηση 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 >𝟎 3η Περίπτωση: Διακρίνουσα Αρνητική: Γενική Λύση της Δ.Ε.: 𝑨 𝒕 =𝑨 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 𝑨 𝒕 =𝑨 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 cos 𝝎𝒕+𝝋

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Αποδείξαμε ότι : 𝒙=𝑨 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+𝝋 όπου : 𝑨 𝒕 = 𝜜 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝟐𝒎 𝒕 𝑨 𝒕 = 𝜜 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 ή : Μέγιστη ενέργεια ταλαντωτή (π.χ. ελατηρίου) με απόσβεση συναρτήσει του χρόνου, σε μια τυχαία περίοδο : 𝟏 𝟐 𝒌 𝜜 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝟐𝒎 𝒕 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟎 𝟐 𝒆 − 𝒃 𝟐𝒎 𝒕 𝟐 ⇒ 𝑬 𝒕 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨(𝒕) 𝟐 = 𝑬 𝒕 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝒎 𝒕 Ε t Ε0 όπου : 𝑬 𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟎 𝟐

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Αποδείξαμε ότι : 𝒙=𝑨 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+𝝋 όπου : 𝑨 𝒕 = 𝜜 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝟐𝒎 𝒕 𝑨 𝒕 = 𝜜 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 ή : Μέγιστη ενέργεια ταλαντωτή (π.χ. ελατηρίου) με απόσβεση συναρτήσει του χρόνου, σε μια τυχαία περίοδο : Σταθερά Χρόνου τ : 𝑬 𝒕 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝒎 𝒕 Ε t Ε0 Είναι το χρονικό διάστημα τ που απαιτείται για να μειωθεί η ενέργεια του ταλαντωτή, από την αρχική του τιμή E0 στην τιμή Ε0/e: 𝑬 𝟎 𝒆 τ 𝑬 𝟎 𝒆 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒃 𝒎 𝝉 ⇒ 𝟏 𝒆 = 𝒆 − 𝒃 𝒎 𝝉 ⇒ 𝒆= 𝒆 𝒃 𝒎 𝝉 ⇒ 𝝉= 𝒎 𝒃 ln 𝒆 = ln 𝒆 𝒃 𝒎 𝝉 ⇒ 𝟏= 𝒃 𝒎 𝝉 ⇒ Σταθερά χρόνου

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΟIΟΤΗΤΑΣ Q ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ t1 t1: 𝑬 𝟏 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 T = t2 – t1 t2 t2: 𝑬 𝟐 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒕 𝟐 𝝉 Ποσοστό ενέργειας που χάνεται ανά περίοδο T : 𝚫𝑬 𝑬 = 𝑬 𝟏 − 𝑬 𝟐 𝑬 𝟏 ⇒ 𝚫𝑬 𝑬 = 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 − 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒕 𝟐 𝝉 𝑬 𝟎 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 = 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 − 𝒆 − 𝒕 𝟐 𝝉 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 = 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 − 𝒆 − 𝒕 𝟏 +𝑻 𝝉 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 = 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 − 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 𝒆 𝑻 𝝉 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 𝚫𝑬 𝑬 = 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 𝟏− 𝒆 𝑻 𝝉 𝒆 − 𝒕 𝟏 𝝉 = 𝟏− 𝒆 − 𝑻 𝝉 𝚫𝑬 𝑬 =𝟏− 𝟏− 𝑻 𝝉 = 𝑻 𝝉 ⇒ 𝚫𝑬 𝑬 = 𝑻 𝝉 𝑻 𝝉 <𝟏

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΟIΟΤΗΤΑΣ Q ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 𝚫𝑬 𝑬 = 𝑻 𝝉 T = t2 – t1 Το ποσοστό ενέργειας που χάνεται ανά περίοδο T είναι σταθερό!!! t1 t2 Συντελεστής Ποιότητας Q: Ορισμός: 𝑸=𝟐𝝅 𝑬 𝚫𝑬 Q = Μεγάλο: Ταλαντωτής με μικρή απόσβεση Q = Μικρό : Ταλαντωτής με μεγάλη απόσβεση Q = 0 : Ταλαντωτής σε υπεραπόσβεση ή κρίσιμη απόσβεση. Q = ∞ : Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση 𝑸=𝟐𝝅 𝝉 𝑻 =𝝎𝝉 𝑸=𝝎𝝉

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΔΥΝΑΜΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΗ Δ.Ε. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 𝑭 𝐬𝐩 =−𝒌𝒙 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+𝝋 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 (𝜶 𝒆 𝝀𝒕 +𝜷 𝒆 −𝝀𝒕 ) 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 >𝟎 x t Υπεραπόσβεση 𝝉= 𝒎 𝒃 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝟏 𝝉 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙=𝟎 𝜸= 𝒃 𝟐𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 𝑭 𝐬𝐩 =−𝒌𝒙 𝑭 𝐝 =−𝒃𝝊 𝑭 𝒅 =−𝒃 𝒅𝒙 𝒙𝒕 𝚺𝑭= 𝑭 𝐬𝐩 + 𝑭 𝒅 x t Κρίσιμη Απόσβεση 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜸𝒕 (𝑨+𝑩𝒕) 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 =𝟎 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝟎 𝒆 −𝜸𝒕 cos (𝝎𝒕+𝝋) 𝒃 𝟐 𝟒 𝒎 𝟐 − 𝒌 𝒎 <𝟎