Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ Θ. Κοσμάνης ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Θέμα:Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου Ιακωβίδου Ιλόνα – Δήμου Δήμητρα Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ Θ. Κοσμάνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD). Απορροφητικές συνθήκες (PML στρώμα). Μετασχηματισμός κοντινού σε μακρινό πεδίο (Near to far transformation). Εφαρμογή κεραίας στο χώρο. Τελικά Συμπεράσματα

Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου (FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD – FDTD) Η βασική αρχή της είναι ότι ο χώρος χωρίζεται σε διακριτά κελιά και ο χρόνος σε διακριτά χρονικά βήματα.

Με αφετηρία τις εξισώσεις στροφής του Maxwell και δουλεύοντας σε τρεις διαστάσεις θα αποδείξουμε πως συνδέονται οι εξισώσεις αυτές με την μέθοδο FDTD.

Διακριτοποίηση πεδίων στον χρόνο και στον χώρο Οι σχέσεις αυτές δείχνουν ποια είναι η τιμή των πεδίων στα σημεία του χώρου και ισχύουν για μέσο ομογενές, γραμμικό και ισοτροπικό.

Αλγόριθμος του Yee Ο αλγόριθμος του Yee βασίζεται στις εξισώσεις του Maxwell, για την περίπτωση όμως υλικού χωρίς απώλειες. Βασικές ιδέες του αλγορίθμου: Προσδιορίζει και τις δύο πεδιακές εντάσεις (ηλεκτρική και μαγνητική) στο χώρο και το χρόνο, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του Maxwell. Τοποθετεί τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο χώρο. Τοποθετεί τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο χρόνο.

Παράμετροι της FDTD Μέγεθος κελιού Χρονικό βήμα Διέγερση Απορροφητικές συνθήκες

Μέγεθος κελιού Κριτήριο για την επιλογή του μεγέθους των κελιών είναι το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist ( fs2fmax). Οι διαστάσεις Δx, Δy και Δz των κελιών καθορίζουν : - τον αριθμό των κελιών -το υπολογιστικό κόστος

Χρονικό βήμα Το χρονικό βήμα είναι σημαντικό για την ευστάθεια του προγράμματος. Το μέγιστο χρονικό βήμα που εξασφαλίζει ευστάθεια, παρέχεται από την συνθήκη ευστάθειας του Courant, η οποία για πλέγμα τριών διαστάσεων με διαστάσεις κελιού Δx, Δy και Δz γράφεται ως εξής:

Διέγερση Η διέγερση μπορεί να είναι ημιτονοειδούς μορφής, τετραγωνικός παλμός ή παλμός Gauss. Ημιτονοειδή μορφή : Τετραγωνική μορφή : Παλμός Gauss :

Απορροφητικές συνθήκες Τέλεια προσαρμοσμένο στρώμα (Perfectly Matched Layer – PML) Με τη μέθοδο FDTD προσομοιώνουμε τον άπειρο χώρο με πεπερασμένο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός κελιών και ότι κάπου συγκεκριμένα υπάρχει κάποιο όριο. Στο όριο λοιπόν αυτό υπάρχει απορρόφηση χωρίς ανάκλαση. Βασική αρχή :

Μετασχηματισμό κοντινού σε μακρινό πεδίο (θεώρημα ισοδύναμης επιφάνειας)

Ικανοποίηση οριακών συνθηκών επάνω στην επιφάνεια S: Έχοντας γνωστά τα παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό διανυσματικό δυναμικό F και το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό Α, από τις σχέσεις: Γνωρίζοντας τις τιμές των παραπάνω μεγεθών μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ ως εξής:

Εφαρμογή του αλγορίθμου FDTD σε διατάξεις κεραιών Ορισμός κεραίας Κεραία είναι μια μεταλλική συσκευή για μετάδοση ή λήψη ραδιοκυμάτων Βασικές παράμετροι κεραιών Συχνότητα Εύρος ζώνης Πεδιακές ζώνες (Ζώνη Fresnel, Ζώνη Fraunhofer) Διάγραμμα ακτινοβολίας Κατευθυντικότητα Κέρδος Είδη κεραιών Μονόπολο Δίπολο Στοιχειοκεραία Κεραία Yagi-Uda

Μονόπολο λ/4 (N=5) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Ez σε διαφορετικά επίπεδα στο τελευταίο χρονικό βήμα

Μονόπολο λ/4 (N=15) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Συμπεράσματα μονόπολου λ/4 με Ν=5 και Ν=15 Μονόπολο λ/4, Ν=5 Ακτινική διάδοση κύματος Απορρόφηση από το PML Μονόπολο λ/4, Ν=15 Ακριβή αποτελέσματα

Διαγράμματα ακτινοβολίας μονόπολου λ/4 για Ν=3, Ν=5 και Ν=15 Παρατηρούμε ότι με την αύξηση των αριθμών των κελιών από τα οποία αποτελείται η κεραία πλησιάζουμε περισσότερο το πραγματικό διάγραμμα ακτινοβολίας του μονόπολου .

Δίπολο λ/2 (N=30) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Σύγκριση διαφόρων μηκών κύματος διπόλων Όπως παρατηρούμε όσο αυξάνεται το μήκος κύματος, η κεραία γίνεται πιο κατευθυντική, δηλαδή εκπέμπει σε μικρότερο εύρος ζώνης.

Στοιχειοκεραία λ/4 (Ν=15, θ=0) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Στοιχειοκεραία λ/4 (Ν=15,θ=π/2) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Στοιχειοκεραία λ/4 (Ν=15,θ=-π/2) Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Yagi-Uda Ez σε διαφορετικά χρονικά βήματα

Τελικά Συμπεράσματα Η μέθοδος FDTD είναι μία άμεση μέθοδος Χρησιμοποιείται για επιλύσει προβλήματα με υψηλές συχνότητες Παρέχει δυνατότητα απεικόνισης του πεδίου σε όλα τα σημεία του χώρου Εφαρμόζεται και στο πεδίο του χρόνου Προσομοιώνει τον συνεχές χώρο Κάνει χρήση οποιασδήποτε πηγής Ύπαρξη υπολογιστικού κόστους Ανοχή σφαλμάτων

Ευχαριστούμε τον κ.Κοσμάνη Ευχαριστίες Ευχαριστούμε τον κ.Κοσμάνη για την ενθάρρυνση, την καθοδήγηση και την άψογη συνεργασία.