ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1ο παράδειγμα: Να απλοποιηθεί το παρακάτω δομικό διάγραμμα 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Το συγκεκριμένο δομικό διάγραμμα έχει δύο εισόσους x(s) και u(s). Γι’ αυτό μπορεί να απλοποιηθεί αν οι ανατροφοδοτήσεις F2(s) και F3(s) επιστρέφουν και αθροίζονται πριν το G1(s), οπότε θα έχουμε το επόμενο διάγραμμα: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρατηρούμε ότι η G1(s) και η G2(s) βρίσκονται σε σειρά, οπότε στη θέση τους βάζουμε το γινόμενό τους. Τότε, η ανατροφοδότηση F3(s)/G1(s) , μαζί με το G1(s)G2(s) αποτελούν ένα τοπικό κλειστό βρόχο, οπότε στη θέση τους βάζουμε: Ενώ οι άλλες ανατροφοδοτήσεις προσθέτονται και έχουμε: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Θέτοντας: Όταν u(s)=0, τότε Όταν x(s)=0, τότε Τελικά, εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας, έχουμε για το σύστημα: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 2ο παράδειγμα: Να απλοποιηθεί το παρακάτω δομικό διάγραμμα 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Από το δομικό διάγραμμα παρατηρούμε ότι υπάρχει ένας τοπικός κλειστός βρόχος με απευθείας κλάδο το G2(s) και ανάδραση το F2(s) που θα θέλαμε να απλοποιήσουμε. Για το λόγο αυτό θα μετακινήσουμε το σημείο λήψης της F1(s) και της G4(s) μετά το G2(s). Έτσι έχουμε: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρατηρούμε ότι το σύστημα βρίσκεται με το G1(s) και έστω .Οπότε το διάγραμμα θα γίνει: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα είναι: Παρατηρούμε ότι η Q1(s) βρίσκεται σε σειρά με το G1(s), οπότε μπορώ να θεωρήσω: Και το δομικό διάγραμμα απλοποιείται ως εξής: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τα Q2(s) και το G(5) βρίσκονται σε παράλληλη σύνδεση, οπότε αν θεωρήσω τότε προκύπτει ότι το Q3(s) και το G3(s) βρίσκονται σε σειρά, οπότε θα ισχύει και το δομικό διάγραμμα θα έχει την παρακάτω μορφή: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Έχοντας σημείο λήψης πριν το Q4(s) για τη μοναδιαία ανάδραση, προκύπτει: Από το παραπάνω διάγραμμα παρατηρούμε ότι έχουμε δυο μονάδες σε σειρά, το γινόμενο των οποίων μας δίνει την τελική συνάρτηση μεταφοράς. Είναι: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 3ο παράδειγμα: Δίνεται ανοικτό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς Ζητείται η κατασκευή του κλειστού συστήματος που να ικανοποιεί τις δύο ακόλουθες προδιαγραφές: Το κλειστό σύστημα να είναι τρεις φορές τουλάχιστον ταχύτερο του αρχικού ανοικτού συστήματος Η έξοδος να πλησιάζει τουλάχιστον στο 90% της εισόδου, όταν η είσοδος είναι η βηματική συνάρτηση στη μόνιμη κατάσταση. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για το κλειστό σύστημα που πρέπει να κατασκευαστεί δεν δίνεται καμία πληροφορία για το αν είναι μοναδιαίας ή μη μοναδιαίας ανάδρασης και για το αν υπάρχει ενίσχυση στον απευθείας κλάδο ή όχι. Για το λόγο αυτό θα εξετάσουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Κλειστό σύστημα με μοναδιαία ανάδραση Από τη συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού βρόχου προκύπτει: Άρα η επικρατούσα σταθερά χρόνου θα είναι τ1=1/2. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Από τη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού βρόχου προκύπτει: Η επικρατούσα σταθερά χρόνου για το κλειστό είναι τ2=1/3<τ1. Άρα δεν ικανοποιείται η πρώτη προδιαγραφή και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μη μοναδιαία ανάδραση. Κλειστό σύστημα με μη μοναδιαία ανάδραση Θεωρώ ανάδραση f οπότε η συνάρτηση κλειστού βρόχου θα είναι 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για να είναι το κλειστό σύστημα τρεις τουλάχιστον φορές ταχύτερο από το ανοικτό, θα πρέπει: Για να πληρείται και η δεύτερη προδιαγραφή θα πρέπει: Είναι: Και με βάση το θεώρημα τελικής τιμής έχω: Προφανώς οι δύο ανισότητες δεν συναληθεύουν, οπότε το κλειστό σύστημα δεν μπορεί να έχει μη μοναδιαία ανάδραση και όχι ενίσχυση. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Κλειστό σύστημα με ενίσχυση στον απευθείας κλάδο Το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: Εξετάζοντας την πρώτη προδιαγραφή, έχουμε: Για τη δεύτερη προδιαγραφή, έχουμε: Οι δύο απαιτήσεις ικανοποιούνται για και 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 4ο παράδειγμα: Δίνεται το δομικό διάγραμμα πλεύσης ενός πλοίου (σταθεροποίηση με πτερύγια) Ζητείται η επίδραση της διαταραχής d(s) στην απόκλιση (σφαλμα) e(s) για το σύστημα, όταν .Τι συμπεράσματα προκύπτουν; Ζητείται το k1 όταν για να έχουμε απόκλιση 0.10 όταν υπάρχει διαταραχή 200, πόσο το σφάλμα για διαταραχή 130; 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Αφού μας ενδιαφέρει μόνο η διαταραχή d(s) έχουμε θ1(s)=0, οπότε: . Όμως οπότε Συνεπώς αύξηση του k1 συνεπάγεται μείωση της επίδρασης της διαταραχής στο σφάλμα κατά μέτρο. Είναι: ,οπότε: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 5ο παράδειγμα: Ένας σερβομηχανισμός έχει συνάρτηση μεταφοράς την Να υπολογιστούν τα k, β, γ έτσι ώστε: Η συχνότητα στην οποία η καθυστέρηση φάσης είναι 900,στην ω=10 rad/sec Ημιτονική είσοδος πλάτους 1 rad και συχνότητας 10rad/sec δίνει μόνιμη ημιτονική έξοδο πλάτους 0.4 rad για το κλειστό σύστημα με F(s)=1 Συνεχής είσοδος 1 rad προκαλεί μόνιμη έξοδο 0.2 rad. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Είναι: 1. 2. 3. Στη μόνιμη κατάσταση για συνεχή είσοδο έχουμε ότι ω=0. Άρα θα είναι: οπότε 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 6ο παράδειγμα: Δίνεται κλειστό σύστημα με μοναδιαία ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου: Να υπολογιστεί η μόνιμη απόκλιση της εξόδου από την είσοδο: Θα εξετάσουμε πρώτα αν το σύστημα είναι ευσταθές, χρησιμοποιώντας το κριτήριο Routh-Hurwitz. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου συστήματος είναι: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Ο πίνακας Routh είναι: Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά, άρα το σύστημα είναι ευσταθές. Οπότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην αναζήτηση του μόνιμου σφάλματος. Το σύστημα είναι τύπου 2, άρα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης και ταχύτητας ενώ παρουσιάζει πεπερασμένο σφάλμα επιτάχυνσης. Η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης είναι: Οπότε το σφάλμα θα είναι: Τελικά είναι: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7ο παράδειγμα: Δίνεται κλειστό σύστημα με μοναδιαία ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου: Να υπολογιστεί: το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για K=1.5sec-1 η απολαβή Κ ώστε για είσοδο ράμπας να έχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης μικρότερο του 10%. Θα πρέπει να εξετάσουμε κάτω από ποιες συνθήκες το σύστημα είναι ευσταθές. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε το κριτήριο Routh. Η χαρακτηρηστική του συστήματος θα είναι: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Ο πίνακας Routh είναι: Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά, άρα το σύστημα θα είναι ευσταθές για Κ>3 1. Το σύστημα είναι τύπου 1 οπότε θα έχει μόνο σφάλμα ταχύτητας, το οποίο δίνεται από την σχέση: 2. Για να επιτύχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης ess<10% πρέπει να έχουμε Κ>10, πράγμα αδύνατο γιατί ξεπερνάει την κρίσιμη τιμή του Κ(Κc=3). 12η Διάλεξη