ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 6 ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 6 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 3/6/2017

Περιεχόμενα Προβλήματα χωρίς περιορισμούς Μέθοδοι μετασχηματισμού Ύπαρξη λύσεων, συνθήκες (μονοτονία, οριακές συνθήκες) Φύση σημείων στασιμότητας Ολικά βέλτιστα

Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Λόγοι: Εξάλειψη ενεργών περιορισμών  πρόβλημα χωρίς περιορισμούς Βοηθά στην κατανόηση του προβλήματος με περιορισμούς Μετασχηματισμός προβλήματος με περιορισμούς σε πρόβλημα χωρίς Επίλυση ρεαλιστικών προβλημάτων μηχανικού Unconstrained problems are rare in practice, most practical optimum design problems involve restrictions of some sort.

Μετασχηματισμός δεσμευμένου προβλήματος Επαναδιατύπωση μέσω συναρτήσεων εμποδίων g Αυτή είναι μία από τις πιθανές περιπτώσεις. Πλέον βρίσκουμε το βέλτιστο της αδέσμευτης f~. Μετασχηματισμός x f

Μετασχηματισμένο πρόβλημα g f

Μετασχηματισμένο πρόβλημα Οι συναρτήσεις εμποδίων μας οδηγούν σε ένα εφικτό βέλτιστο: r = 100 Μια επαναληπτική διαδικασία χρησιμοποιείται, όπου το r αυξάνεται προοδευτικά. Σημ. ότι πρόσφατη έρευνα έχει παράξει ακριβέίς συναρτήσεις εμποδίων (barrier functions). r = 200 r = 400 r = 800

Επιβολή ποινών Εναλλακτική επαναδιατύπωση: συναρτήσεις ποινών g Μετασχηματισμός: f

Επιβολή ποινών (2) Οι συναρτήσεις ποινών μας οδηγούν σε ένα ανέφικτο βέλτιστο: p = 40 p = 20 p = 10 p = 4

Ανακεφαλαίωση Συναρτήσεις εμποδίων Συναρτήσεις ποινών Συναρτήσεις εμποδίων Συναρτήσεις ποινών Εφικτό σημείο έναρξης Ναι ‘Οχι Βέλτιστο Εσωτερικό εξωτερικό (εφικτό) (Ανέφικτο) Τύπος περιορισμών g g, h

Αδέσμευτο πρόβλημα μηχανικής Π.χ.: μετατόπιση κατασκευής υπό φόρτιση Fx = 5N Fy = 5N k1 = 8N/cm k2 = 1N/cm 10 cm x1 x2 Ισορροπία: ελάχιστο δυναμικό ενέργειας

Αδέσμευτο πρόβλημα μηχανικής Δυναμικό ενέργειας: x1 x2 k1 Fy Fx k2 Ισορροπία:

Αδέσμευτο πρόβλημα μηχανικού x1 x2 P x2 x1

Περιεχόμενα Προβλήματα χωρίς περιορισμούς Μέθοδοι μετασχηματισμού Ύπαρξη λύσεων, συνθήκες βελτιστότητας (μονοτονία, οριακές συνθήκες) Φύση σημείων στασιμότητας Ολικά βέλτιστα

Θεωρία επίλυσης αδέσμευτων προβλημάτων Παραδοχές: Αντ. Συνάρτηση συνεχής και διαφορίσιμη (C1) Χωρίο κλειστό και φραγμένο (συμπαγές) ]a, b[ f

Ύπαρξη ελαχίστων Θεώρημα Weierstrass: Ικανή συνθήκη ύπαρξης! “Μια συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγές χωρίο έχει μέγιστο και ελάχιστο εντός του χωρίου” Ικανή συνθήκη ύπαρξης! Εσωτερικά βέλτιστα υπάρχουν μόνο για μη μονοτονικές συναρτήσεις

Μονοδιάστατη περίπτωση Μαθ. Ανάλυση: συνθήκες για ελάχιστο της f Μηδενική παράγωγος: Δεύτερη παράγωγος θετική: (αναγκαία) (ικανή) Ερμηνεία μέσω σειράς Taylor: f x +h Σημ. ότι η σειρά Τειλορ δίνει μια τοπική προσέγγιση. Οι συνθήκες ισχύουν για τοπικά βέλτιστα. Θετική δεύτερη παράγωγος συνεπάγεται αύξηση της κλίσης. Σημεία όπου f’=0 ονομάζονται στάσιμα σημεία. Όταν f”>0 είναι τοπικά ελάχιστα. -h

Μονοδιάστατη περίπτωση (2) Συνθήκη για ελάχιστο: f”(x) > 0 Άλλες περιπτώσεις: f”(x) < 0 μέγιστο f”(x) = 0 ? Έλεγχος παραγώγων ανωτέρας τάξεως

Γεωμετρική ερμηνεία θετικό αύξηση τοπικά f x

Μονοδιάστατη περίπτωση (3) Πιθανές περιπτώσεις στάσιμων σημείων (f’ = 0): f x

Παράδειγμα Περιορισμός ισότητας ενεργός εξάλειψη h Χάπι ασπιρίνης h r Μεγιστοποίηση χρόνου διάλυσης ελαχιστοποίηση επιφάνειας r h Ρεαλιστικά προβλήματα ελαχιστοποίησης κυλινδρικής επιφάνειας με ένα δεδομένο όγκο μπορεί να είναι πχ δεξαμενή ψύξης (η επιφάνεια είναι ανάλογη της απώλειας θερμότητας) ή η κατασκευή της φτηνότερης δεξαμενής πχ λαδιού. Περιορισμός ισότητας ενεργός εξάλειψη h

Παράδειγμα (2)