Μη Γραμμική Θεωρία Ελαστικής Ευστάθειας: Θεμελιώδες Υλικό Προχωρημένη Μη Γραμμική Στατική και Δυναμική Ευστάθεια Κατασκευών Μη Γραμμική Θεωρία Ελαστικής Ευστάθειας: Θεμελιώδες Υλικό Σε πολλές κατασκευές της επιστήμης του Μηχανικού (με την ευρύτερη έννοια του όρου) οι αστοχίες εμπίπτουν σε μια από τις ακόλουθες δύο απλές κατηγορίες. αστοχία υλικού και απώλεια ευστάθειας Ο πρώτος τύπος αστοχίας, που αποτελεί αντικείμενο προπτυχιακών μαθημάτων Τεχνικής Μηχανικής και Αντοχής των Υλικών, συνήθως μπορεί να προβλεφθεί με βάση συνθήκες ισορροπίας ή εξισώσεις κίνησης, που καταστρώνονται για την αρχική, απαραμόρφωτη κατάσταση (διαμόρφωση) της κατασκευής. Αντίθετα, η πρόβλεψη πιθανών αστοχιών λόγω αστάθειας απαιτεί εξισώσεις ισορροπίας (ή κίνησης) με βάση την παραμορφωμένη κατάσταση του δομήματος. Καθόσον αυτή δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή, αλλά εξαρτάται από τις προς υπολογισμό παραμορφώσεις, το όλο πρόβλημα είναι κατ’ αρχήν μη γραμμικό, παρόλο που συχνά γραμματικοποιείται για ευκολία της όλης ανάλυσης.

Οι δομικές αστοχίες που οφείλονται σε αστοχία υλικού, διέπονται στην απλούστερη προσέγγιση, από την τιμή της οριακής αντοχής ή του ορίου διαρροής αυτού, που είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος, τη γεωμετρία και την συνδεσμολογία μιας κατασκευής. Αντίθετα, το φορτίο για το οποίο επέρχεται αστάθεια μπορεί απλουστευτικά να θεωρηθεί ως ανεξάρτητο των μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού. Εξαρτάται όμως από τη γεωμετρία και το μέγεθος του δομήματος, ιδιαίτερα από την λυγηρότητα, και κύρια διέπεται από την δυσκαμψία του υλικού, π.χ. από το μέτρο ελαστικότητας αυτού. Οι αστοχίες ελαστικών κατασκευών λόγω απώλειας της ευστάθειας οφείλονται κατά κύριο λόγο σε γεωμετρικές επιδράσεις: η παραμορφωμένη γεωμετρία εισάγει μη γραμμικότητες, οι οποίες ενισχύουν τις τάσεις που έχουν υπολογιστεί με βάση την αρχική απαραμόρφωτη γεωμετρία της κατασκευής. Πλην όμως, το διάγραμμα τάσεων – ανηγμένων παραμορφώσεων των συνήθων δομικών υλικών (και δη του χάλυβα) δεν είναι μια γραμμική συνάρτηση (γνώση από την αντοχή των υλικών), οπότε η μη γραμμικότητα γεωμετρίας μπορεί κάλλιστα να συζευχθεί με την μη γραμμικότητα του υλικού. Αποτέλεσμα αυτής της σύζευξης μπορεί να είναι μια συνδυασμένη μορφή αστοχίας, που συνηθέστατα απαντάται σε πραγματικές κατασκευές. Κλασικό παράδειγμα συνδυασμένης ή όχι μη γραμμικής συμπεριφοράς είναι αυτό του θλιβόμενου κυλίνδρου, που ακολουθεί .

Παράδειγμα Θλιβόμενου Κυλίνδρου Θεωρούμε θλιβόμενο μέλος μήκους L με διατομή κυκλικού δακτυλίου εξωτερικής ακτίνας R και πάχους t. Υποθέτουμε επίσης ότι το υλικό του μέλους είναι όλκιμο (όπως ο χάλυβας), το διάγραμμα τάσεων – ανηγμένων παραμορφώσεων (σ – ε, καταστατικός νόμος) είναι Στη συνέχεια περιγράφεται ποιοτικά η πιθανή συμπεριφορά του κυλίνδρου για σταδιακή αύξηση του θλιπτικού φορτίου, για τρείς διαφορετικούς συνδυασμούς των χαρακτηριστικών γεωμετρικών μεγεθών L, R και t. Η εν λόγω συμπεριφορά θα μπορούσε να προκύψει είτε από πειράματα είτε από (οποιουδήποτε είδους) μη γραμμικές αναλύσεις.

Βραχύς Κύλινδρος με Παχιά Τοιχώματα (μη λυγηρό μέλος) Η απόκριση του μέλους περιγράφεται μέσω του διαγράμματος (Ρ-δ), που ονομάζεται δρόμος ισορροπίας και αποκτάται μόνο μέσω μη γραμμικής ανάλυσης ευσταθείας. Ο εν λόγω δρόμος, είναι παρόμοιος με τον καταστατικό νόμο του υλικού, καθόσον η λυγηρότητα του μέλους, λόγω της ίδιας τάξης μεγέθους των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του, είναι πολύ μικρή. Τούτο σημαίνει ότι οι ισορροπίες δεν σχετίζονται με αλλαγή της (αρχικά ευθύγραμμης) γεωμετρίας, οπότε η απόκριση του μέλους διέπεται πλήρως από τη γραμμικότητα του υλικού κατασκευής και μόνο.

Μακρύς Κύλινδρος με Παχιά Τοιχώματα (λυγηρό μέλος)

Λεπτότοιχος Κύλινδρος

Παραδοχές της Μη Γραμμικής Θεωρίας Ευστάθειας Οι βασικές παραδοχές της μη γραμμικής θεωρίας ευστάθειας (οι πρώτες τέσσερις των οποίων ισχύουν και στη γραμμική θεωρία) για ελαστικά συστήματα, που αποτελούνται από ράβδους με πρισματική (σταθερή) διατομή, είναι οι ακόλουθες (για πλάκες και κελύφη ισχύουν ανάλογες παραδοχές): α) Το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένο το ελαστικό σύστημα είναι ομογενές, ισότροπο και γραμμικά ελαστικό, δηλαδή διέπεται από τον νόμο του Hooke. β) Επίπεδες διατομές κάθετες στον απαραμόρφωτο άξονα μιας ράβδου πριν την κάμψη, παραμένουν επίπεδες και μετά την κάμψη, αλλά και κάθετες στον παραμορφωμένο άξονα (Bernoulli). γ) Το διάγραμμα τάσης – ανηγμένης παραμόρφωσης ταυτίζεται για θλίψη και εφελκυσμό. δ) Τα γενικευμένα φορτία (δυνάμεις και ροπές κάμψης) ενεργούν σε επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο διάτμησης της διατομής και είναι παράλληλο προς τον κύριο άξονα αδρανείας αυτής.

Σε αντίθεση με τη γραμμική θεωρία ευστάθειας, όπου η κινηματική σχέση μεταξύ ανηγμένης παραμόρφωσης ε και αξονικής μετακίνησης u αλλά και η έκφραση της καμπυλότητας κ έχουν ως εξής, 𝜀= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 , 𝜅=− 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 η μη γραμμική θεωρία ευστάθειας συνδέεται με ακριβέστερες σχέσεις για την καμπυλότητα, και διακρίνεται στη θεωρία μετρίως μεγάλων μετατοπίσεων και στη θεωρία μεγάλων μετατοπίσεων. Η πρώτη από αυτές, αναφέρεται σε μια ενδιάμεση κατηγορία παραμόρφωσης, γνωστή και ως θεωρία ευστάθειας μετρίως μεγάλων στροφών. 𝜀= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 1 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 , 𝜅=− 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 𝜀= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 1 2 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 , 𝜅=− 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 Στην ως άνω έκφραση, η ανηγμένη παραμόρφωση ε είναι μικρή σε σχέση με τη μονάδα, όπως και στη γραμμική θεωρία. Πλην όμως, το χαρακτηριστικό αυτής της κατηγορίας παραμόρφωσης είναι ότι η κλίση 𝑑𝑤 𝑑𝑥 είναι μετρίου μεγέθους, η δε ποσότητα 0.5 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 είναι ακόμη μικρότερη, αλλά σίγουρα όχι αμελητέα σε σχέση με τη μονάδα. Αν το ε και το 0.5 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 είναι ποσότητες μικρές σε σχέση με τη μονάδα, τούτο θα ισχύει επίσης και για 𝑑𝑢 𝑑𝑥 , οπότε η ποσότητα 1 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 μπορεί να αμεληθεί. Κατά συνέπεια, μπορούμε να γράψουμε ότι…..

Η μη γραμμική θεωρία ευστάθειας μεγάλων μετατοπίσεων βασίζεται σε ακριβέστερη σχέση της καμπυλότητας, που είναι 𝜅= − 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 1+ 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 3 2 Στατική 3ης τάξης 𝑀 𝐸𝐼 =− 1+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 − 𝑑 2 𝑢 𝑑 𝑥 2 𝑑𝑤 𝑑𝑥 1+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 Κινηματικές Σχέσεις 𝑀=−𝐸𝐼 𝑑 2 𝑤 𝑑 𝑥 2 1− 𝑑𝑤 𝑑𝑥 2 1 2 =−𝐸𝐼 𝜃΄ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 =−𝐸𝐼𝜃΄

Δρόμοι Ισορροπίας, Κρίσιμα Σημεία και Ευστάθεια

Η Έννοια της Ευστάθειας

Θεμελιώδη Θεωρήματα και Βασικές Μέθοδοι Warner T. Koiter Το αρχικό τμήμα του μεταλυγισμικού δρόμου ισορροπίας είναι ευσταθές (ασταθές) εφόσον το κρίσιμο σημείο είναι ευσταθές (ασταθές)

Θεώρημα 1. Ένας αρχικά ευσταθής δρόμος ισορροπίας, ο οποίος αυξάνει μονοτονικά συναρτήσει της φόρτισης, δε μπορεί να καταστεί ασταθής, χωρίς να τμηθεί από έναν άλλο, δευτερεύοντα, δρόμο ισορροπίας. Θεώρημα 2. Ένας αρχικά ευσταθής δρόμος ισορροπίας, που αυξάνει συναρτήσει της φόρτισης, δε μπορεί να φθάσει σε μια ασταθή κατάσταση, που θα οδηγούσε σε ακαριαίο λυγισμό (μέσω οριακού σημείου ή σημείου διακλάδωσης), χωρίς προηγουμένως να φθάσει σε έναν ασταθή δευτερεύοντα δρόμο, που συνδέεται με τιμές του φορτίου μικρότερες από αυτή που αντιστοιχεί στην ως άνω ασταθή κατάσταση ισορροπίας.

Βασικές Μέθοδοι Μελέτης Ελαστικής Ευστάθειας Για την μελέτη των ισορροπιών, τον προσδιορισμό των κρίσιμων σημείων και της ευστάθειας όλων των σχηματισμών ισορροπίας έχουν κατά καιρούς (με μικρότερη ή μεγαλύτερη επιτυχία) προταθεί διάφορες μέθοδοι, που εντάσσονται κύρια στις ακόλουθες τρείς: α) Την κλασική μέθοδο ισορροπίας του Euler, που είναι γνωστή και ως μέθοδος γειτονικών ισορροπιών (adjacent equilibria). Πρόκειται περί καθαρά στατικής μεθόδου. β) Την ενεργειακή μέθοδο ή μέθοδο της δυναμικής ενέργειας (potential energy), η οποία είναι επίσης στατική μέθοδος γ) Την κινηματική ή δυναμική μέθοδο (dynamic, kinetic).

Η Ενεργειακή Μέθοδος 𝑉 𝑇 =𝑈+𝛺 Βασίζεται στη μελέτη της συνάρτησης του συνολικού δυναμικού (συνολικής δυναμικής ενέργειας – total potential energy) VT ενός συντηρητικού συστήματος, από πλευράς μονοτονίας, κλίσεων και ακροτάτων. 𝑉 𝑇 =𝑈+𝛺 𝑈 Ενέργεια παραμόρφωσης του συστήματος (strain energy) 𝛺 Έργο των εξωτερικών δυνάμεων (work of external forces) Η ενεργειακή μέθοδος βασίζεται ενεργειακά κριτήρια και θεωρήματα, που θα διατυπώσουμε παρακάτω.

Κριτήριο ισορροπίας (αρχή της στάσιμης τιμής της δυναμικής ενέργειας) Ένα συντηρητικό σύστημα υπό στατική φόρτιση ισορροπεί σε κάποια θέση, όταν το συνολικό δυναμικό 𝑉 𝑇 έχει στη θέση αυτή στάσιμη τιμή. Πρόκειται, συνεπώς, για ικανή και αναγκαία συνθήκη ισορροπίας, η οποία για διακεκριμένα συστήματα ισοδυναμεί με τον ταυτόχρονο μηδενισμό των πρώτων παραγώγων του συνολικού δυναμικού ως προς όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες, από όπου απορρέουν οι εξισώσεις ισορροπίας generalized coordinates

Generalized Coordinates Generalized coordinates for a system with N degrees of freedom are defined as any set of N independent quantities which completely specify the position of every point within the system. Being completely independent, generalized coordinates must not be related in any way through geometric constraints imposed on the system. In the classical double pendulum shown in this Figure, the position of the two masses 𝑚 1 and 𝑚 2 could be specified using the coordinates 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑥 2 , 𝑦 2 . However, two geometric constraint conditions must be imposed on those coordinates, namely, 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 − 𝐿 1 2 =0 𝑥 2 − 𝑥 1 2 + 𝑦 2 − 𝑦 1 2 − 𝐿 2 2 =0

Κριτήριο ευστάθειας (θεώρημα Lagrange – Dirichlet) Μια κατάσταση ισορροπίας οποιουδήποτε συντηρητικού συστήματος είναι, για μικρού μεγέθους διαταραχή, ευσταθής, αν το συνολικό δυναμικό που αντιστοιχεί στην κατάσταση αυτή έχει σχετικό (τοπικό) ελάχιστο. Μια γενίκευση του κριτηρίου αυτού αποτελεί το θεώρημα του Koiter, σύμφωνα με το οποίο η ύπαρξη του σχετικού (τοπικού) ελάχιστου της συνολικής δυναμικής ενέργειας, που αντιστοιχεί σε κατάσταση ισορροπίας, αποτελεί πρακτικά ικανή και αναγκαία συνθήκη ευστάθειας. Το αντίστροφο του εν λόγω θεωρήματος, δηλαδή όταν μια κατάσταση ισορροπίας είναι ασταθής, το συνολικό δυναμικό έχει τοπικό μέγιστο, δεν έχει μέχρι στιγμής πλήρως αποδειχτεί. Παρά ταύτα, θεωρείται πλέον ως ικανή και αναγκαία συνθήκη ασταθούς ισορροπίας, με ισχυρό αρωγό ορισμένες συνθήκες για ασταθή ισορροπία (που απέδειξε ο Lyapunov), που περιέχονται στα ακόλουθα δύο θεωρήματα. 1ο θεώρημα Lyapunov Αν η συνολική δυναμική ενέργεια ενός συντηρητικού συστήματος, που αντιστοιχεί σε κατάσταση ισορροπίας, δεν έχει σχετικό (τοπικό) ελάχιστο, τότε η εν λόγω κατάσταση ισορροπίας είναι ασταθής. Αν η συνολική δυναμική ενέργεια ενός συντηρητικού συστήματος, που αντιστοιχεί σε κατάσταση ισορροπίας, έχει σχετικό (τοπικό) μέγιστο, τότε η εν λόγω κατάσταση είναι ασταθής. 2ο θεώρημα Lyapunov

Κριτήριο 2ης μεταβολής – γενικευμένες συνθήκες ευστάθειας κρίσιμου σημείου ισορροπίας Η μελέτη της ευστάθειας των σημείων ισορροπίας έγκειται στον προσδιορισμό των ακροτάτων της συνάρτησης του συνολικού δυναμικού 𝑉 𝑇 στην εξεταζόμενη θέση ισορροπίας. Η 𝑉 𝑇 στην περίπτωση διακεκριμένου συστήματος είναι, συνήθως, μια μη γραμμική μονότιμος συνεχής συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων 𝑞 𝑖 και επίσης, συνήθως γραμμική συνάρτηση του εξωτερικού φορτίου λ, δηλαδή είναι μια πεπλεγμένη συνάρτηση των 𝑞 𝑖 και λ. Για τον λόγο αυτό, υφίσταται η πιθανότητα ένα σημείο ισορροπίας είτε να παρουσιάζει είτε Ευστάθεια ως προς όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες είτε Ευστάθεια σε σχέση με μερικές από αυτές και αστάθεια ως προς τις υπόλοιπες.

Επιφάνεια του δυναμικού ενός ευσταθούς σημείου ισορροπίας, ως προς όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες

Ισοϋψείς της συνάρτησης συνολικού δυναμικού περί ευσταθούς σημείου ισορροπίας, για την περίπτωση του προηγούμενου Σχήματος

Ισοϋψείς συνολικού δυναμικού, με διαφορετική συμπεριφορά ευστάθειας/αστάθειας ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες

Επιφάνεια συνολικού δυναμικού με ευστάθεια ως προς u2 και αστάθεια ως προς u1 (σημείο σέλας)

Κριτήριο της 2ης μεταβολής Αν η 2η μεταβολή 𝛿 2 𝑉 𝑇 του συνολικού δυναμικού σε θέση ισορροπίας οποιουδήποτε διακεκριμένου συντηρητικού συστήματος είναι θετικά ορισμένη, 𝛿 2 𝑉 𝑇 >0, τότε η θέση ισορροπίας είναι ευσταθής [καθόσον τότε η VT έχει σχετικό (τοπικό) ελάχιστο]. Το κριτήριο αυτό αποτελεί μια ικανή συνθήκη ευστάθειας, αφού το αντίστροφό του δεν ισχύει κατ’ ανάγκην. Αντίστοιχα, αν η 𝛿 2 𝑉 𝑇 είναι αρνητικά ορισμένη, 𝛿 2 𝑉 𝑇 <0, τότε το συνολικό δυναμικό έχει στατικό (τοπικό) μέγιστο και η αντίστοιχη θέση ισορροπίας είναι ασταθής. Όμοια, αν η 𝛿 2 𝑉 𝑇 είναι μη ορισμένη συνάρτηση, το συνολικό δυναμικό δεν έχει σχετικό ελάχιστο, οπότε, σύμφωνα με το 1ο θεώρημα Lyapunov, η σχετική θέση ισορροπίας είναι ασταθής. Αν, όμως, η 𝛿 2 𝑉 𝑇 είναι θετικά ημιορισμένη (δηλαδή, υπάρχει θέση ισορροπίας για την οποία 𝛿 2 𝑉 𝑇 =0, ή αν ισχύει ότι 𝛿 2 𝑉 𝑇 ≡0), τότε η VT μπορεί να έχει ή να μην έχει ελάχιστο στη θέση αυτή, οπότε απαιτείται περαιτέρω έρευνα, μέσω της μελέτης μεταβολών ανώτερης τάξης.

Όλα τα σημεία ισορροπίας ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας: Σε ό,τι ακολουθεί παρατίθεται η ακριβής, βήμα – βήμα, μεθοδολογία προσδιορισμού της ευστάθειας κρίσιμων (και μη) σημείων ισορροπίας, μέσω γενικευμένων κριτηρίων, για ένα διβάθμιο συντηρητικό σύστημα, η οποία άμεσα δύναται να εφαρμοστεί και για διακεκριμένα συστήματα με περισσότερους των δύο βαθμών ελευθερίας. Έτσι, λοιπόν, σε ένα συντηρητικό σύστημα δύο βαθμών ελευθερίας (γενικευμένων συντεταγμένων) 𝑞 1 , 𝑞 2 , η συνάρτηση συνολικού δυναμικού ισούται με 𝑉 𝑇 𝑞 1 , 𝑞 2 ;𝜆 . Όλα τα σημεία ισορροπίας ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας: 𝜕 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 1 = 𝑉 1 =0 , 𝜕 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 2 = 𝑉 2 =0 Για τον προσδιορισμό της ευστάθειας ενός μη κρίσιμου σημείου Ε, υπολογίζεται το πρόσημο των κυρίων ελασσόνων οριζουσών του μητρώου ευστάθειας 𝑎 𝑖𝑗 , το οποίο δίνεται από την ακόλουθη έκφραση Υπολογίζεται το πρόσημο των 𝑉 11 𝐸 και 𝑉 11 𝑉 22 − 𝑉 12 𝑉 21 | 𝐸 𝑉 11 𝑉 22 − 𝑉 12 𝑉 21 | 𝐸 και κατόπιν εφαρμόζεται ανάλογα το κριτήριο της 2ης μεταβολής. Τα κρίσιμα σημεία προσδιορίζονται μέσω του ταυτόχρονου μηδενισμού των εξισώσεων ισορροπίας και της ορίζουσας ευστάθειας, οπότε για ένα κρίσιμο σημείο ισορροπίας C θα ισχύει: 𝑎 𝑖𝑗 = 𝜕 2 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 1 2 𝜕 2 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 1 𝜕 𝑞 2 𝜕 2 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 2 𝜕 𝑞 1 𝜕 2 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 2 2 = 𝑉 11 𝑉 12 𝑉 21 𝑉 22

𝜕 𝑉 𝑇 𝜕 𝑞 𝑖 =0 , 𝑖=1,2 𝑉 11 𝑉 22 − 𝑉 12 𝑉 21 =0 Για την εύρεση της ευστάθειας του κρίσιμου αυτού σημείου, υπολογίζεται το πρόσημο της τρίτης μεταβολής 𝛿 3 𝑉 𝑇 στο σημείο αυτό, η οποία ισούται με 𝛿 3 𝑉 𝑇 | 𝐶 = 𝑉 111 𝐶 +3 𝑉 112 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 +3 𝑉 122 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 2 + 𝑉 222 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 3 𝛿  𝑞 1 3 , 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 =− 𝑉 11 𝐶 𝑉 12 𝐶 =− 𝑉 12 𝐶 𝑉 22 𝐶 =𝜁 Σε περίπτωση που 𝛿 3 𝑉 𝑇 𝐶 =0, το κρίσιμο σημείο είναι συμμετρικό σημείο διακλάδωσης, ενώ για οριακά σημεία ή ασύμμετρα σημεία διακλάδωσης ισχύει ότι 𝛿 3 𝑉 𝑇 𝐶 ≠0 (ασταθή). Η ευστάθεια του συμμετρικού σημείου διακλάδωσης C θα ευρεθεί μέσω υπολογισμού του προσήμου της μεταβολής 𝛿 4 𝑉 𝑇 𝐶 , σύμφωνα με την παρακάτω έκφραση 𝑑 1111 𝐶 = 𝜕 𝜕 𝑞 1 + 𝜕 𝜕 𝑞 2 𝜁 4 𝑉 𝑇 | 𝐶 − 3 𝑉 22 𝐶 𝜕 𝜕 𝑞 1 + 𝜕 𝜕 𝑞 2 𝜁 2 𝑉 2 2 𝐶 𝛿 4 𝑉 𝑇 𝐶 = 𝑉 1111 𝐶 +4 𝑉 1112 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 +6 𝑉 1122 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 2 + 4 𝑉 1222 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 3 + 𝑉 2222 𝐶 𝛿  𝑞 2 𝛿  𝑞 1 4 𝛿  𝑞 1 4

Αν στο σύστημα υφίστανται μη γραμμικότητες τετραγωνικής μορφής, τότε το πρόσημο της 𝑑 1111 𝐶 και όχι της 𝛿 4 𝑉 𝑇 𝐶 είναι αυτό που καθορίζει την ευστάθεια (+) ή την αστάθεια (-) του κρίσιμου σημείου. Αν δεν υπάρχουν μη γραμμικότητες, ή αυτές είναι κυβικού τύπου, τότε 𝑑 1111 𝐶 ≡𝛿 4 𝑉 𝑇 𝐶 , οπότε το πρόσημο της 𝛿 4 𝑉 𝑇 𝐶 αρκεί για τον προσδιορισμό της ευστάθειας του C. Φυσικά, αν 𝑑 1111 𝐶 =0, τότε εξετάζονται μεταβολές ακόμα μεγαλύτερης τάξης. Δρόμοι ισορροπίας και μορφή της συνάρτησης συνολικού δυναμικού για (α) ασύμμετρο, (β) συμμετρικό ευσταθές και (γ) συμμετρικό ασταθές σημείο διακλάδωσης