ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 8: Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής Νίκος Πελεκάσης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Σκοποί ενότητας Η ενότητα αυτή αποσκοπεί: Σκοποί ενότητας Η ενότητα αυτή αποσκοπεί: Ταυτοποίηση των διαφόρων δυνάμεων και ροπών που ασκούνται στον όγκο ελέγχου Χρήση ανάλυσης όγκου ελέγχου για τον υπολογισμό των δυνάμεων Χρήση όγκου ελέγχου για τον υπολογισμό ροπών λόγω της ροής Υπολογισμός δυνάμεων στήριξης σε συστήματα ροής Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Νόμοι του Νεύτωνα Μακροσκοπικό Ισοζύγιο Γραμμικής Ορμής Ειδικές Περιπτώσεις Είδη Δυνάμεων: Σωματικές και Επιφανειακές δυνάμεις Επιλογή Όγκου Ελέγχου Μεταβολή ορμής λόγω αλλαγής στην διεύθυνση της κίνησης Κινηματική

Εισαγωγή Τα προβλήματα ροής μπορούν να αντιμετωπισθούν με τρεις κυρίως προσεγγίσεις: (α) πειραματικά, και (β) θεωρητικά μέσω (β1) διαφορικής και (β2) ολοκληρωτικής ανάλυσης Στην τελευταία περίπτωση χρησιμοποιούνται μακροσκοπικά ισοζύγια εισάγοντας την έννοια του όγκου ελέγχου - Η προσέγγιση αυτή χρησιμεύει για μία πρώτη καταγραφή των βασικών παραμέτρων του προβλήματος και την εξαγωγή προσεγγιστικών αποτελεσμάτων στην βάση απλοποιητικών παραδοχών - Εδώ έρχεται να βοηθήσει η διαστατική ανάλυση του προβλήματος για να αναδείξει τις κυρίαρχες παραμέτρους Για πιο λεπτομερειακή ανάλυση χρησιμοποιούνται διαφορικά ισοζύγια Οι πειραματικές μετρήσεις είναι πάντα απαραίτητες για να επιβεβαιωθεί η ισχύς των απλοποιητικών παραδοχών καθώς και η ακρίβεια των παραγόμενων προβλέψεων των παραπάνω θεωρητικών μεθόδων - Πάλι χρησιμοποιείται η διαστατική ανάλυση του προβλήματος για να παράγει τις σωστές διαστάσεις πιλοτικών διατάξεων Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Στην παρούσα ενότητα χρησιμοποιείται η ανάλυση μέσω όγκων ελέγχου για την παραγωγή μακροσκοπικών ισοζυγίων ορμής και στροφορμής σε συστήματα ροής Νόμοι του Νεύτωνα και αρχές διατήρησης ορμής και στροφορμής για συστήματα Χρήση Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds για την παραγωγή μακροσκοπικών ισοζυγίων ορμής και στροφορμής σε όγκους ελέγχου Χρήση των παραπάνω ισοζυγίων για τον υπολογισμό δυνάμεων και ροπών σε όγκους ελέγχου Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Νόμοι του Νεύτωνα Οι νόμοι του Νεύτωνα συνδέουν την κίνηση σωμάτων με τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά, υπό την προϋπόθεση ότι οι ταχύτητες είναι μη σχετικιστικές (πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός) 1ος Νόμος (Νόμος αδράνειας) Όταν η συνισταμένη δύναμη σε ένα σώμα είμαι μηδενική τότε ένα ακίνητο σώμα παραμένει ακίνητο, ενώ ένα κινούμενο σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα 2ος Νόμος (Θεμελιώδης νόμος της μηχανικής) Η επιτάχυνση ενός κινούμενου σώματος είναι ανάλογη της συνισταμένης δύναμης που του ασκείται και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του - Εναλλακτικά, η συνισταμένη δύναμη σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του (η δύναμη είναι το αίτιο της προκαλούμενης μεταβολής) 3ος Νόμος (Νόμος δράσης-αντίδρασης) Όταν ένα σώμα ασκεί μία δύναμη σε ένα δεύτερο τότε το τελευταίο ασκεί μία ίση και αντίθετη δύναμη στο πρώτο Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Όταν η επιτάχυνση υπολογίζεται ως προς επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς, δηλαδή μη αδρανειακό, τότε στον 2ο νόμο του Νεύτωνα πρέπει να προστεθεί δύναμη ίση με την μάζα του συστήματος επί την επιτάχυνση του συστήματος αναφοράς Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Μακροσκοπικό Ισοζύγιο Γραμμικής Ορμής Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα για σύστημα μάζας m που υφίσταται δύναμη F μετασχηματίζεται για όγκο ελέγχου με την βοήθεια του Θεωρήματος Μεταφοράς του Reynolds θέτοντας b=u και B=mu Για μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς με επιτάχυνση a0 έχουμε Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Αναγωγή στο Διαφορικό Ισοζύγιο Ορμής Διαφορική Μορφή Εξίσωσης Ορμής Navier-Stokes Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Ειδικές Περιπτώσεις Μόνιμη κατάσταση Μέσες ταχύτητες Μέσος ρυθμός μεταφοράς ορμής Για να ληφθούν υπόψη σφάλματα λόγω κατανομής ταχύτητας εισάγουμε τον συντελεστή διόρθωσης , π.χ. για ασυμπίεστη ροή Για πλήρως ανεπτυγμένη (α) στρωτή και (β) τυρβώδη ροή σε κυλινδρικό αγωγό κυκλικής εγκάρσιας διατομής με ακτίνα R και μέγιστη ταχύτητα u0 στο κέντρο του

Σχήμα 1: Είδη δυνάμεων που ασκούνται σε όγκο ελέγχου Είδη Δυνάμεων Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ΟΕ είναι οι σωματικές που δρουν σε κάθε σημείο του ΟΕ (όπως η βαρύτητα, οι ηλεκτρικές και οι μαγνητικές δυνάμεις), οι επιφανειακές που δρουν στις επιφάνειες ελέγχου (όπως η πίεση, οι ιξώδεις τάσεις και οι αντιδράσεις στα σημεία επαφής με γειτονικά τοιχώματα), και οι γραμμικές που δρουν στην γραμμή επαφής μεταξύ δύο φάσεων (όπως η επιφανειακή τάση) Οι σωματικές δυνάμεις δρουν σε κάθε στοιχειώδη όγκο του ΟΕ Οι επιφανειακές δυνάμεις δρουν σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια της ΕΕ Οι γραμμικές δυνάμεις, όπως η επιφανειακή τάση, δρουν στην γραμμή επαφής μεταξύ δύο διαφορετικών φάσεων και εξασθενούν όσο μειώνεται το χαρακτηριστικό μήκος του προβλήματος Στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα που θα συναντήσουμε οι γραμμικές δυνάμεις είναι αμελητέες Σχήμα 1: Είδη δυνάμεων που ασκούνται σε όγκο ελέγχου Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Σωματικές Δυνάμεις Η πιο συνηθισμένη σωματική δύναμη είναι η βαρύτητα η οποία είναι αυτή που ασκεί μία κατακόρυφη δύναμη σε κάθε στοιχείο ρευστού του ΟΕ Στοιχειώδης σωματική δύναμη Κατά σύμβαση η βαρύτητα δρα στην αρνητική z-κατεύθυνση, Συνολική ασκούμενη σωματική δύναμη στον ΟΕ Σχήμα 2: Η βαρύτητα ως στοιχειώδης σωματική δύναμη που ασκείται σε στοιχείο ρευστού Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Επιφανειακές Δυνάμεις Οι επιφανειακές δυνάμεις είναι πιο δύσκολο να αναλυθούν διότι εμπεριέχουν κάθετες και εφαπτομενικές συνιστώσες Οι διαγώνιες συνιστώσες xx, yyzz ονομάζονται κάθετες τάσεις και οφείλονται στην πίεση και το ιξώδες Οι εκτός διαγωνίου συνιστώσες, xy, xz κτλ, ονομάζονται διατμητικές τάσεις και οφείλονται αποκλειστικά στο ιξώδες Συνολική επιφανειακή δύναμη πάνω σε τυχαία επιφάνεια ελέγχου ΕΕ από το περιβάλλον ρευστό: Σχήμα 3: Κάθετες και διατμητικές τάσεις που ασκούνται σε στοιχείο ρευστού

Επιλογή Όγκου Ελέγχου Ο Όγκος Ελέγχου (ΟΕ) (Control Volume (CV)), επιλέγεται έτσι ώστε να διευκολυνθεί η ανάλυση. Σημαντικό είναι: Να ορίζονται ξεκάθαρα τα σύνορα του ΟΕ, δηλαδή οι Επιφάνειες Ελέγχου (ΕΕ) (Control Surfaces (CS)) - Η ανάλυση συνήθως απλουστεύεται όταν οι ΕΕ είναι κάθετες στην διεύθυνση της ροής Να ορισθούν ξεκάθαρα όλες οι ροές διά μέσου των ΕΕ Να ορισθούν ξεκάθαρα όλες οι δυνάμεις και οι ροπές που ασκούνται στον ΟΕ και στις ΕΕ Υπάρχουν σταθεροί, κινούμενοι και παραμορφούμενοι ΟΕ Για κινούμενους ΟΕ συνήθως χρησιμοποιείται στο μακροσκοπικό ισοζύγιο ορμής η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς τον ΟΕ Για παραμορφούμενο ΟΕ, στις κινούμενες επιφάνειες ελέγχου, συνήθως χρησιμοποιείται η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς την κινούμενη επιφάνεια Σχήμα 4: (α) Σταθερός, (β) κινούμενος και (γ) παραμορφούμενος όγκος ελέγχου Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Τα επιφανειακά ολοκληρώματα είναι δύσκολο να υπολογισθούν Επιλογή μεταξύ ΟΕ που τέμνει ή δεν τέμνει τις στερεές επιφάνειες που περικλείουν τα ρευστά Τα επιφανειακά ολοκληρώματα είναι δύσκολο να υπολογισθούν Προσεκτική επιλογή του Όγκου Ελέγχου (ΟΕ) επιτρέπει την επίλυση μέσω πιο εύκολα μετρήσιμων ποσοτήτων, όπως της πίεσης του βάρους και των δυνάμεων στήριξης Ο στόχος είναι να επιλεγεί ο ΟΕ έτσι ώστε να απομείνουν μόνο οι δυνάμεις που πρέπει να υπολογισθούν καθώς και όσες είναι ήδη γνωστές Σχήμα 5: Όγκος ελέγχου που (α) δεν περιλαμβάνει (CV A) και (β) περιλαμβάνει τα τοιχώματά του αγωγού (CV B) Π.χ. Ροή διά μέσου ακροφυσίου - Υπολογισμός δύναμης στις βίδες που στηρίζουν το ακροφύσιο για δεδομένη παροχή και πτώση πίεσης Ο Όγκος Ελέγχου Α δεν διαπερνά τα τοιχώματα του ακροφυσίου Ο Όγκος Ελέγχου Β περιλαμβάνει και το τοίχωμα του ακροφυσίου Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

(α) (β) Σχήμα 6: Ροή διά μέσου ακροφυσίου με τον όγκο ελέγχου (α) να μην εμπεριέχει και (β) να εμπεριέχει τα τοιχώματά του ακροφυσίου 1η Περίπτωση (σχήμα 6α): Ο ΟΕ Α δεν διαπερνά τα στερεά τοιχώματα του αγωγού (γενικευμένη περίπτωση μεταβλητής διατομής) Ισοζύγιο Μάζας για ασυμπίεστο ρευστό στον ακίνητο ΟΕ (Α) και μόνιμη κατάσταση 0 για ΜΚ Ισοζύγιο Ορμής στον ακίνητο ΟΕ (Α) και μόνιμη κατάσταση - Δεν μπορεί να δώσει την δύναμη στήριξης γιατί αυτή δεν ασκείται απ’ ευθείας στο ρευστό 0 για ΜΚ

Το ολοκλήρωμα των ιξωδών τάσεων και της πίεσης πάνω στην παράπλευρη επιφάνεια (3) είναι δύσκολο να υπολογισθεί χωρίς να γνωρίζουμε τις λεπτομέρειες του πεδίου ροής Τα ολοκληρώματα των ιξωδών τάσεων στην είσοδο (1) και έξοδο (2) του αγωγού καθίστανται αμελητέα αν τις θεωρήσουμε ως λεπτές διατομές όπου επικρατεί πλήρως ανεπτυγμένη ροή, οπότε ισχύει ότι: Επίσης, λόγω αξονικής συμμετρίας / θ=0, ενώ λόγω του μονοδιάστατου χαρακτήρα της ροής ur=v=0, uθ=w=0 Συνεπώς έχουμε: C Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Για λεπτές διατομές με περίπου ομοιόμορφη κατανομή πίεσης Τελικά το ισοζύγιο ορμής παίρνει την μορφή, θεωρώντας β1=β2=1 για απλούστευση, Για λεπτές διατομές με περίπου ομοιόμορφη κατανομή πίεσης Δύσκολο να υπολογισθεί Ο Όγκος Ελέγχου (Α) δεν μπορεί να δώσει την δύναμη στήριξης 2η Περίπτωση (σχήμα 6β): Ο ΟΕ Β διαπερνά τα στερεά τοιχώματα του αγωγού (γενικευμένη περίπτωση μεταβλητής διατομής) Ισοζύγιο Ορμής στον ακίνητο ΟΕ (Β) για μόνιμη κατάσταση Δύναμη στήριξης στα τοιχώματα του αγωγού 0 για ΜΚ Ίδια όπως και στον ΟΕ Α Οι διατομές (1) και (2) παραμένουν ίδιες ενώ η (3) πλέον αναφέρεται στο εξωτερικό του ακροφυσίου όπου επικρατεί ατμοσφαιρική πίεση με αμελητέες ιξώδεις τάσεις Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Τελικά το ισοζύγιο ορμής παίρνει την μορφή, θεωρώντας πάλι β1=β2=1 για απλούστευση, p3=pAtm, Επειδή η επιφάνεια Α3 δεν είναι γνωστή ο υπολογισμός των όρων πίεσης μπορεί να απλουστευθεί ως εξής Δύναμη Στήριξης Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Μεταβολή ορμής λόγω αλλαγής στην διεύθυνση της κίνησης Ισοζύγιο γραμμικής ορμής για Μόνιμη κατάσταση Αγωγό που αποτελεί ροϊκό σωλήνα Σταθερό όγκο ελέγχου Επίπεδες διατομές στην διεύθυνση της ταχύτητας Σχήμα 7: Ροή με αλλαγή στην διεύθυνση της κίνησης σε αγωγό Η συνολική δύναμη που ασκείται στο τοίχωμα του αγωγού λόγω αλλαγής κατεύθυνσης της ροής δίνεται από την υποτείνουσα στο τρίγωνο που αναπαριστά την ανυσματική αφαίρεση των ροών στην έξοδο και την είσοδο του αγωγού Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ορμής σε Συστήματα Ροής

Τέλος Ενότητας