ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Μπαραζιάν Μαρία Ζουμπουνέλλη Ειρήνη

Σχολείο: 4ο Γενικό Λύκειο Χαλανδρίου Τάξη-Τμήμα: Β’ Λυκείου – Β3 Ημερομηνία: 25/02/2014 Μάθημα-Θέμα: Γεωμετρία - Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου Διδακτική ώρα: 3η Υπεύθυνη καθηγήτρια: κα Αμαλία Μπαμπίλη

Σχεδιασμός μαθήματος Πραγματοποιήθηκε μια διδακτική παρέμβαση σε μια ομάδα 3 μαθητών. Μοιράστηκε ένα φύλλο εργασίας με δυο δραστηριότητες στους μαθητές και τους ζητήθηκε να επεξεργαστούν μόνοι τους την πρώτη δραστηριότητα για λίγα λεπτά. Η δεύτερη δραστηριότητα δε διεκπεραιώθηκε λόγω έλλειψης χρόνου. Η παρέμβαση είχε σκοπό να εισάγει τρεις καινούργιους τύπους για το εμβαδόν τριγώνου. Οι τύποι αυτοί θα εισάγονταν μέσα από τη διερεύνηση της απόδειξής τους.

Δραστηριότητα (πλαίσιο - ανάλυση) Μαθηματικό πλαίσιο δραστηριότητας. Η πρώτη δραστηριότητα που δόθηκε στους μαθητές ήταν η εξής: Α.Α1) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι,ρ). Ποιος κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος; Ποιο είναι το κέντρο του και ποιες ιδιότητες έχει; Αφού σχεδιάσετε το σχήμα, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του ρ.  Α2) Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με εμβαδόν 9 τετραγωνικές μονάδες και ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ρ=1,5. Να υπολογίσετε την πλευρά του. Β) Ένας άλλος τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνου είναι: Ε=αβγ/4R, όπου α, β, γ οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Στο παραπάνω τρίγωνο του ερωτήματος Α2),αφού σχεδιάσετε τον περιγεγραμμένο κύκλο του, να υπολογίσετε την ακτίνα του.

Στόχοι δραστηριότητας Η δραστηριότητα είχε τους παρακάτω στόχους: Να διερευνήσει το βαθμό εμβάθυνσης των μαθητών στις προαπαιτούμενες γνώσεις και την εξοικείωσή τους με τα γεωμετρικά σχήματα. Να κατανοήσουν οι μαθητές πως δεν είναι πάντοτε δυνατό να γνωρίζουν το ύψος ενός τριγώνου κι έτσι συχνά γεννάται η ανάγκη εύρεσης του εμβαδού με εναλλακτικούς τρόπους. Να ‘‘μυήσει’’ τους μαθητές στον χώρο της απόδειξης αναδεικνύοντας τη σημασία της.

Προαπαιτούμενες γνώσεις Οι γνώσεις που χρειαζόταν να επαναφέρουν στη μνήμη τους οι μαθητές ήταν: Ποιος κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε τρίγωνο, ποιος περιγεγραμμένος και με τη βοήθεια ποιων στοιχείων του τριγώνου σχεδιάζονται. Οι ιδιότητες του κέντρο ενός εγγεγραμμένου κύκλου. Ο τύπος εμβαδού ενός τριγώνου. Το γεγονός ότι η εφαπτομένη ενός κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα που φέρεται από το κέντρο του κύκλου προς το σημείο επαφής.

Δυσκολίες των μαθητών Οι μαθητές αρχικά δυσκολεύτηκαν να διακρίνουν τον εγγεγραμμένο από τον περιγεγραμμένο κύκλο. Παρά το γεγονός ότι οι δυο αυτές έννοιες είχαν διδαχθεί στο παρελθόν, οι μαθητές δεν κατάφεραν να σχεδιάσουν το ζητούμενο σχήμα, δηλαδή ένα τρίγωνο με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Αυτό έγινε εφικτό μόνο ύστερα από δική μας παρέμβαση. Έπειτα, τους ζητήθηκε να εκφραστεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της ακτίνας του εγγεγραμμένου κυκλου. Αυτό που έπρεπε να κάνουν τα παιδιά ήταν να αντιληφθούν πως δεν γνωρίζουν το ύψος του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ κι έτσι έπρεπε να το σπάσουν σε 3 μικρότερα των οποίων τα εμβαδά θα μπορούσαν να υπολογίσουν από τον κλασικό τύπο του εμβαδού τριγώνου. Αντίθετα, προσπαθούσαν πάση θυσία να εκφράσουν το ύψος του ΑΒΓ με κάποια σχέση.

Δυσκολίες μαθητών (συνέχεια) Στην πορεία της δραστηριότητας φάνηκε η αδυναμία των μαθητών να μεταβούν από τη λεκτική αναπαράσταση των όσων περιέγραφαν στη συμβολική γραφή των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε πως για το ισόπλευρο τρίγωνο που τους είχε δοθεί στο δεύτερο ερώτημα όλοι οι μαθητές ισχυρίζονταν ότι οι πλευρές είναι ίσες, αλλά οι δύο από αυτούς αδυνατούσαν να το εκφράσουν με μια μαθηματική σχέση, την οποία θα χρησιμοποιούσαν στην επίλυση του ζητήματος. Τέλος, στο τελευταίο ερώτημα της δραστηριότητας, ενώ γινόταν διαρκώς υπενθύμιση πως χρησιμοποιούμε το ίδιο τρίγωνο που συναντήσαμε στο παραπάνω ερώτημα, οι μαθητές ισχυρίζονταν πως δεν ήξεραν όλα τα μεγέθη του καινούργιου τύπου που τους είχε δοθεί και πως θα παρέμεναν μέσα στον τύπο άγνωστες παράμετροι.

Κρίσιμο συμβάν Οι μαθητές δεν μπορούσαν να αντιληφθούν πως το ύψος του δοσμένου τριγώνου ΑΒΓ είναι άγνωστο και ότι δεν είναι εφικτό να εκφραστεί με τη βοήθεια των δεδομένων. Ως συνέπεια,αδυνατούσαν να σκεφτούν να σπάσουν το τρίγωνο σε μικρότερα για να διευκολυνθούν στον υπολογισμό του εμβαδού του κι έκαναν διάφορες εικασίες στηριζόμενοι στο σχήμα τους.

Απόσπασμα διαλόγου (1) (7:20-17:30) Φοιτήτρια: Θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού του τριγώνου που να έχει μέσα το ρ...δηλαδή να είναι συναρτήσει του ρ. Έχετε κάποια ιδέα για το τι να κάνουμε; Ει (μαθήτρια 1): Λοιπόν, το εμβαδόν του τριγώνου είναι βάση επί ύψος δεύτερα.. Οπότε, το ρ στην προκειμένη περίπτωση θα είναι..εεε....θα είναι το μισό της απόστασης από την κορυφή. Οπότε θα είναι βάση επί ύψος δια ρ/2...Όχι...βάση επί ρ/2 δια 2. Φ: Δηλαδή μας λες ότι το ύψος θα είναι ρ/2; Ει: Ναι, ναι. Φ: Μια άποψη λοιπόν είναι ότι το ύψος θα είναι ρ/2. Εσείς τι λέτε; Ελ (μαθήτρια 2): Δεν ισχύει ότι η ακτίνα πάντα θα περνάει από την κορυφή..δηλαδή σ’εμένα,στο σχήμα δεν περνάει από την κορυφή, άρα για τι ύψος να μιλήσω..καταλάβατε τι θέλω να πω; Απλώς στην Ειρήνη τυχαίνει να περνάει το ύψος από την κορυφή. Α: Όχι, όχι.. το σχήμα το φτιάχνεις εσύ.. είναι τυχαίο.

Συνέχεια διαλόγου (2) Ει: Όχι , είναι λάθος αυτό που είπα.. Αυτή είναι η ακτίνα του κύκλου (δείχνει στο σχήμα) οπότε είναι κάτι παραπάνω από ρ. Φ: Λοιπόν, σιγά σιγά..Πάμε κατ’αρχήν να σημειώσουμε όλοι τις πλευρές του τριγώνου για να είναι σε όλους κοινές. Τι μπορούμε να πούμε για το ύψος του τριγώνου; Α: Ααααα .... Αυτό δεν έχει να κάνει με το 2/3; Ή η διάμεσος είναι αυτή; Φ: Τι 2/3 μου λες; Δηλαδή τι εννοείς; Α: Στη διάμεσο είναι ή στη μεσοκάθετο...Που είναι τα 2/3 του τμήματος. Φ: Ναι ναι..το βαρύκεντρο είναι αυτό που λες. Το σημείο τομής των διαμέσων είναι το βαρύκεντρο. Α: Ναι, των διαμέσων. .Είμαι και γκαντέμης σήμερα. Φ: Να σκεφτώ λίγο έξυπνα..να βάλω στο παιχνίδι την ακτίνα ρ; Αφού θέλω να βρω το εμβαδόν συναρτήσει του ρ, μπορώ να πω κάτι για το ύψος; Ει: Το ρ είναι τμήμα του ύψους, δεν είναι; Φ: Ναι, αλλά τι σχέση έχει; Έχουν σχέση ή δεν έχουν καμία σχέση; Ει: Μεγαλύτερο δεν είναι;

Συνέχεια διαλόγου (3) Α: Το ύψος είναι μεγαλύτερο από το ρ! Φ: Πού το βασίζεις αυτό; Α: Να το... το βλέπω από το σχήμα. Θέλει κάτι άλλο; Φ: Μπορείς να το υπολογίσεις; Να μου πεις πόσο θα είναι. Ει: Αααα , μήπως έιναι ρ δια ύψος; Δηλαδή βάση επί ρ δια ύψος δια δυο; Εννοώ ότι αφού το ρ είναι τμήμα του ύψους, άρα θα εκφράζεται ως κλάσμα του ύψους.. Φ: Έχουμε ξαναδεί ότι μπορούμε να σπάσουμε ένα σχήμα σε επιμέρους σχήματα, έτσι δεν είναι; Αυτό θα μας βοηθούσε εδώ; Φ: Θα μας διευκόλυνε αυτό από το να μαντεύουμε στην τύχη το ρ και το υ; Ελ: Να σπάσουμε το τρίγωνο με τις διαμέσους του.. (Σχεδιάζει) Φ: Για να δω πώς το κάνεις.. Ελ: Να από εδώ.. από τη διάμεσο του κύκλου.. Φ: Διάμετρο όχι διάμεσο του κύκλου.. Ελ: Ναι, τη διάμετρο..

Συνέχεια διαλόγου (4) Φ: (Απευθυνόμενη στην Ελπίδα για το σχήμα της) Να σου κάνω μια ερώτηση; Αυτή εδώ η γραμμή που έχεις φέρει πού ακουμπάει; Ακουμπάει και στον κύκλο και στο τρίγωνο; Ελ: Όχι. μόνο στον κύκλο. Α: Μισό λεπτό, κάτι κατάλαβα τώρα. Αυτό εδώ το κομμάτι είναι ρ, ωραία; Η ακτίνα ακουμπάει μέχρι κάτω στο τρίγωνο, έτσι δεν είναι; Φ: Ποια ακτίνα ακουμπάει μέχρι κάτω; όλες οι ακτίνες του κύκλου, απ’ όπου κι αν τις φέρω; Παραδείγματος χάρη, αυτή η ακτίνα δεν ακουμπάει μέχρι κάτω στην πλευρά του τριγώνου. Α: Κοίτα να δεις η ακτίνα τι μου κάνει τώρα .. (Γέλια) Φ: Λοιπόν, συμφωνήσαμε σε κάτι προηγουμένως. Είπαμε να σπάσουμε το τρίγωνο , αλλά δεν είπαμε πώς. Α: Α, να έχουν κοινή κορυφή.. Φ: Ωραία! Ποια θα είναι η κοινή κορυφή; Α: Το Ι.. το κέντρο.. (Το σχεδιάζει) Φ: Πολύ ωραία! (Τον βοηθούμε με το σχεδιασμό του σχήματος). Οπότε, πόσα τρίγωνα σχηματίστηκαν τώρα; Α: Τρία. Ένα, δύο, τρία.. (τα δείχνει στο σχήμα)

Σχολιασμός κρίσιμου συμβάντος Το παραπάνω συμβάν θεωρείται κρίσιμο, καθώς προωθεί μια σημαντική αλλαγή στον τρόπο που σκέφτονται οι μαθητές και αποτελεί ένα γνωστικό άλμα σε σχέση με την προηγούμενη κατανόησή τους. Επίσης, φανερώνει το διαισθητικό λάθος στο οποίο περιέπεσαν οι μαθητές, το ‘‘αξιοσημείωτο λάθος άλμα’’. (Σημειώσεις Δ.Πόταρη). Είναι άμεσα συνδεδεμένο με τις στρατηγικές που ακολούθησαν οι μαθητές προκειμένου να φτάσουν στο ζητούμενο. Οι στρατηγικές των μαθητών γίνονται αντιληπτές αν παρατηρήσουμε τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν, αλλά και τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν ώστε να βρουν τον ζητούμενο τύπο του εμβαδού τριγώνου: Το πρόβλημα δημιουργήθηκε επειδή οι μαθητές αντιμετώπισαν το σχήμα το οποίο οι ίδιοι έφτιαξαν ως πιστό αντίγραφο της πραγματικότητας. Εάν δηλαδή στο σχήμα τους δυο μεγέθη ήταν σχεδιασμένα ως ίσα, τότε τα θεωρούσαν και ίσα. Έτσι το σχήμα στη συγκεκριμένη περίπτωση, αντί να τους βοηθήσει έδρασε περισσότερο ανασταλτικά. Η εμμονή τους με το σχήμα, τους οδήγησε σε πολλές λάθος απαντήσεις. Ψάχνοντας να βρουν το ύψος του τριγώνου, αναφέρθηκαν στο βαρύκεντρο και τις ιδιότητές του, παρά το γεγονός ότι προηγουμένως πουθενά δεν είχαν χρησιμοποιηθεί οι διάμεσοι του τριγώνου.

Σχολιασμός κρίσιμου συμβάντος (συνέχεια) Το πρόβλημα συνεχίστηκε επειδή οι μαθητές δεν κατάφεραν να στρέψουν τη σκέψη τους προς έναν άλλο δρόμο εξετάζοντας την πιθανότητα να μην μπορεί να υπολογιστεί το ύψος του τριγώνου που τους είχε δοθεί. Τότε θα συνειδητοποιούσαν πως θα έπρεπε να δουλέψουν με έναν άλλο τρόπο. Βέβαια, η ικανότητα να αντιληφθεί ένας μαθητής ότι ο τρόπος που έχει διαλέξει για να λύσει την άσκηση είναι λανθασμένος απαιτεί εμπειρία που θα του προσδώσει την απαραίτητη ευελιξία στην αντιμετώπιση των ασκήσεων. Ενώ οι μαθητές έχουν μάθει να διαμερίζουν ένα σχήμα σε απλούστερα σχήματα προκειμένου να υπολογίσουν το εμβαδόν (π.χ.το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχουν μάθει να το χωρίζουν σε δυο τρίγωνα κι έπειτα να υπολογίζουν το εμβαδόν), στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν το σκέφτηκαν.

Ερμηνεία Η συγκεκριμένη αντίδραση και των τριών μαθητών και η φανατική προσήλωσή τους στην με κάθε τρόπο εύρεση του ύψους του δοσμένου τριγώνου αποκαλύπτει τον τρόπο με τον οποίο έχουν μάθει να σκέφτονται οι μαθητές. Ο τρόπος αυτός είναι συχνά τυπολατρικός και εγκλωβίζει τη γεωμετρική σκέψη. Η γεωμετρική προσέγγιση των πραγμάτων θα έπρεπε να προάγει τη φαντασία των παιδιών και να τους ωθεί σε μια πιο σφαιρική θεώρηση των αντικειμένων. Αντ’αυτού, οι μαθητές εγκλωβίζονται στην χρήση έτοιμων μαθηματικών τύπων και ψάχνουν πάση θυσία να εκφράσουν τα άγνωστα μεγέθη με κάποια σχέση, ακόμα κι αν η σχέση αυτή είναι λάθος.

Έρευνα (1) (αναφορές και σχετική βιβλιογραφία προς τεκμηρίωση) Έρευνα (1) (αναφορές και σχετική βιβλιογραφία προς τεκμηρίωση) Άρθρο: <<Η ικανότητα αντιληπτικής σύλληψης γεωμετρικών σχημάτων>>, 9ο συνέδριο παιδαγωγικής εταιρίας Κύπρου: Όσον αφορά στο γεωμετρικό συλλογισμό, σύμφωνα με τη θεωρία των σχηματικών εννοιών (figural concepts) του Fischbein οι γεωμετρικές έννοιες έχουν μια διπλή φύση και χαρακτηρίζονται από δυο πτυχές, αυτή των σχημάτων και την εννοιολογική. Η πτυχή των σχημάτων αφορά το γεγονός ότι οι γεωμετρικές έννοιες αναφέρονται στον χώρο, ενώ η εννοιολογική πτυχή αναφέρεται στη θεωρητική φύση που οι γεωμετρικές έννοιες μοιράζονται με όλες τις άλλες έννοιες. Οι Tall και Vinner εξέφρασαν μια ιδέα που καθορίζει τη σχέση μεταξύ της <<αρχής της εικόνας>> και της <<αρχής του ορισμού>>. Η αρχή του ορισμού εφαρμόζεται πάνω στη μαθηματική έννοια σαν να ορίζεται επίσημα, ενώ η αρχή της εικόνας περιγράφει την ολική γνωστική κατασκευή.

Συνέχεια έρευνας (2) Στη Γεωμετρία μια σχηματική ιδέα είναι η αρχή που συνδιαλέγεται με τον ορισμό. Η <<εικόνα >> στην ορολογία τους δε σημαίνει εικόνα ως αισθητική αναπαράσταση αλλά μια νοερή ανακατασκευή μιας επίσημης δοσμένης μαθηματικής οντότητας Σπουδαίο ρόλο παίζει η διαισθητική αντίληψη των μαθητών, η οποία συνήθως είναι διαφορετική από την επιστημονική ερμηνεία. Οι μηχανισμοί των διαισθήσεων είναι φυσικά κρυμμένοι στις νοητικές μας δραστηριότητες. Η διαίσθηση ορίζεται ως η ικανότητα να αντιλαμβανόμαστε ευθέως τα αντικείμενα σε αντίθεση με την κατανόηση που εμπεριέχεται στην εννοιολογική γνώση.

Συνέχεια έρευνας (3) Ο Ken Robinson στο άρθρο του <<η αξία του λάθους στην εκπαίδευση και τη δημιουργικότητα>> αναρωτιέται: <<Γιατί δεν εισπράττουμε το καλύτερο που έχουν να προσφέρουν οι μαθητές;>> Ο ίδιος ισχυρίζεται ότι αυτό συμβαίνει επειδή η μόρφωση που παίρνουμε αποσκοπεί κυρίως στο να μας κάνει σωστούς μαθητές και όχι δημιουργικούς στοχαστές. Οι μαθητές που επιδεικνύουν αεικίνητα μυαλά και σώματα, αντί να υποβοηθούνται να εκδηλώσουν τη διαφορετικότητά τους, συνήθως αγνοούνται. <<Εκπαιδεύουμε τους ανθρώπους να απομακρύνονται από τη δημιουργικότητα>> γράφει χαρακτηριστικά ο ίδιος και συνεχίζει: <<Τα παιδιά όταν προσπαθούν να δώσουν μια απάντηση ρισκάρουν. Εάν δεν ξέρουν, θα κάνουν μια προσπάθεια. Δεν φοβούνται να κάνουν λάθος. Δεν εννοώ ότι το να κάνεις λάθος είναι το ίδιο πράγμα με το να είσαι δημιουργικός. Αυτό που ξέρουμε είναι ότι αν δεν είσαι προετοιμασμένος να κάνεις λάθος, δεν θα σκεφτείς ποτέ κάτι πρωτότυπο. Και μέχρι να φτάσουν στην ενηλικίωση, τα περισσότερα παιδιά έχουν χάσει αυτή την ικανότητα. Φοβούνται να κάνουν λάθος, γιατί τα λάθη είναι το χειρότερο πράγμα που μπορείς να κάνεις. Το αποτέλεσμα είναι ότι εκπαιδεύουμε τους ανθρώπους κάνοντάς τους να ξεχνούν τις δημιουργικές του ικανότητες.>>

Τέλος Παρουσίασης Ευχαριστούμε !! Τέλος Παρουσίασης Ευχαριστούμε !!