ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 5 ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 5 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 13/5/2017

Απλοποίηση μοντέλου Βασική ιδέα: Στόχοι: Μοντέλο χαμηλού υπολογ. κόστους Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης Μοντέλο υψηλού υπολογ. κόστους Optimizer Στόχοι: αντικατάσταση κοστοβόρων συναρτήσεων, που καλούνται επαναληπτικά αλληλεπίδραση διαφορετικών αντικειμένων υπολογισμός παραγώγων θόρυβος (εξάλειψη)

Απλοποίηση μοντέλου (2) Μειονέκτημα: απώλεια ακρίβειας Διαφορετικά εύρη: τοπικά, μεσαίας κλίμακας, καθολικά Παρεμφερής ορολογία : Προσεγγιστικά μοντέλα(Approximation models) Μεταμοντέλα (Metamodels) Υποκατάστατα (Surrogate models) Συμπαγή (Compact models) Μεωμένης τάξης (Reduced order models) Διαδικασία κατασκευή προσεγγιστικού προσομοιώματος εξαγωγή πλληροφοριών

Απλοποίηση Μοντέλου (3) Εξαγωγή πληροφοριών: παρόμοια με τεχνικές σε φυσικά πειράματα: “design of experiments” / DoE Διάφορες προσεγγίσεις! Αναπτύγματα σε σειρά Taylor Παρεμβολή (Exact fitting) Ελάχιστα τετράγωνα (Least squares fitting) Kriging Μέθοδοι μειωμένης βάσης (Reduced basis methods) Νευρωνικά δίκτυα, γενετικοί αλγόριθμοι κτλ Κρίσιμο σημείο!: σκοπός, εύρος και επίπεδο λεπτομέρειας

Αναπτύγματα σε σειράTaylor Προσέγγιση με βάση τοπικές πληροφορίες: Λάθη στρογγύλευσης! Χρήση παραγώγων! Ακριβή αποτελέσματα στη γειτονιά του x

Παράδειγμα με ανάπτυγμα σε σειρά Taylor 5th order 20th order 4th order 3rd order 2nd order Συνάρτηση Προσέγγιση (x = 20) 1st order x

Παρεμβολή (Exact fitting) # δεδομένα σημεία = # παράμετροι παρεμβολής Κάθε σημείο παρεμβολής αποδίδεται με ακρίβεια Πχ: f2 f1 x1 x2

Παρεμβολή (2) Εύκολο για εγγενώς γραμμικές συναρτήσεις: Χρησιμοποιούνται συχνά: πολυώνυμα, γενικευμένα πολυώνυμα: χωρίς εξομάλυνση / φιλτράρισμα/ μείωση θορύβου Κίνδυνος ταλαντώσεων για ανωτέρας τάξεως πολυώνυμα

Ταλαντώσεις Αναφέρεται ως “Φαινόμενο Runge” πολυώνυμο 9ου βαθμού Ταλαντώσεις Αναφέρεται ως “Φαινόμενο Runge” 5ου βαθμού 9ου βαθμού Στην πράξη χρησιμοποιούνται πολυώνυμα το πολύ έως 6ου βαθμού

Παρεμβολή με ελάχιστα τετράγωνα Λιγότερες παράμετροι παρεμβολής από τα δεδομένα σημεία Εξομάλυνση/Φιλτράρισμα δεδομένων “Καλύτερη παρεμβολή”;; ελαχιστοποίηση αθροίσματος αποκλίσεων: “Καλύτερη παρεμβολή”;; ελαχιστοποίηση αθρόισματος τετραγώνων αποκλίσεων: f x

Παρεμβολή με ελάχιστα τετράγωνα (2) Επιλογή γραμμικής συνάρτησης παρεμβολής ως προς τις παραμέτρους ai : Μητρωική μορφή:

Παρεμβολή με ελάχιστα τετράγωνα (3) Ελαχιστοποίηση αθροίσματος τετραγώνου σφάλματος: (Πρόβλημα βελτιστοποίησης!)

Πολυωνυμική παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων Πολυώνυμο βαθμού m:

Παράδειγμα παρεμβολής με ΕΤ 1.2 samples quadratic 1 6th degree 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Πολυδιάστατη παρεμβολή με ΕΤ Πολυώνυμο πολλών διαστάσεων: Αριθμός συντελεστών ai για τετραγωνικό πολυώνυμο στο Rn: Η κατάρα των πολλών διαστάσεων!

Latin Hypercube Sampling (LHS) Βασισμένη στην ιδέα του Λατινικού τετραγώνου: Ιδιότητες: Κάλυψη κενών Οποιοσδήποτε αριθμός σημείων σχεδιασμού Σχεδιασμένη για τετραγωνικά σύνολα Matlab: lhsdesign

(LS) Δείκτες ποιότητας προσαρμογής Ακρίβεια: Περισσότεροι/ λιγότεροι όροι; Εξέταση των υπολειμάτων Μικρά Τυχαία! e xi OΚ: >0.6 OΚ : >>1 Δείκτες στατιστικής ποιότητας: Μέτρο συσχέτισης R2: λόγος F (σήμα προς θόρυβο) :

Μη γραμμική Μέθοδος ΕΤ Γραμμική ΜΕΤ: εγγενώς γραμμικές συναρτήσεις (γραμμικές ως προς ai): Μη γραμμική ΜΕΤ: πιο πολύπλοκες συναρτήσεις του ai: Πιο δύσκολη προσαρμογή! (Πρόβλημα μη γραμμικής βελτιστοποίησης) Matlab: lsqnonlin

Παγίδες της ΜΕΤ f Διασκορπισμένα δεδομένα: Λάθος επιλογή συναρτήσεων βάσης: f x f x

Kriging Πήρε το όνομά της από τον D.C. Krige, μεταλλειολόγο μηχ., 1951 Στατιστική προσέγγιση: συσχέτιση γειτονικών σημείων Παρεμβολή με σταθμισμένο άθροισμα: Τα λi εξαρτώνται από την απόσταση Προϋποτίθεται κάποια συνάρτηση χωρικής συσχέτισης (συνήθως Γκαουσιανή)

Ιδιότητες Kriging Η παρεμβολή με Kriging έχει τη μεγαλύτερη πιθανοφάνεια υπό κάποια έννοια (με βάση παραδοχές τις μεθόδου) Παρεμβολή: χωρίς εξομάλυνση / φιλτράρισμα Υπάρχουν διάφορες εκδοχές! Πλεονέκτημα: δε χρειάζεται να γίνει κάποια υπόθεση για τη συνάρτηση παρεμβολής Η διαδικασία παρεμβολής είναι πιο σαφής από της ΜΕΤ.

Παράδειγμα Kriging Τα αποτελέσματα εξαρτώνται έντονα από τις στατιστικές παραδοχές και τη μέθοδο που χρησιμοποιείται: Σημεία z(x,y) Παρεμβολή Kriging

Μοντέλο μειωμένης τάξης (Reduced order model-ROM) Η ιδέα είναι να περιγραφεί το μοντέλο σε μειωμένη βάση: Π.χ.: δυναμικά προβλήματα Επιλογή μικρού αριθμού “μορφών” για την κατασκευή της βάσης Π.χ.: ιδιομορφές

Reduced order model (2) Απομειωμένη βάση: N1 Nk k1 Εξισώσεις απομειωμένου συστήματος: kN Nk NN N1 kN

Reduced order models Πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις! Επιλογή τύπου και αριθμού των διανυσμάτων βάσης Αντιμετώπιση μη γραμμικοτήτων / πολλαπλών επιστημονικών αντικειμένων Αντικείμενο έρευνας Χωρίς παρεμβολή / προσαρμογή, αλλά προσεγγιστική μοντελοποίηση

Παράδειγμα: μοντέλο αεροσκάφους Δομικό μοντέλο Παράδειγμα: μοντέλο αεροσκάφους Μοντέλο μάζας Αεροδυναμικό μοντέλο

Νευρωνικά δίκτυα

Νευρωνικά δίκτυα f(x) x S(input) output Για τον καθορισμό των εσωτερικών παραμέτρων του νευρώνα, τα νευρωνικά δίκτυα πρέπει να εκπαιδευτούν με βάση δεδομένα.

Χαρακτηριστικά νευρωνικών δικτύων Ευέλικτα, μπορούν να προσομοιώσουν πολύπλοκες συμπεριφορές Φιλτράρισμα, εξομάλυνση Διάφορες εκδοχές Δίκτυο Αριθμός νευρώνων, επίπεδα Συναρτήσεις μεταφοράς Μπορεί να απαιτούνται πολλά βήματα εκπαίδευσης (μη γραμμική βελτιστοποίηση)

Γενετικός προγραμματισμός Η κατασκευή μαθηματικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας εξελικτικές προσεγγίσεις Επίτευξη καλής προσαρμογής με διασταύρωση και μετάλλαξη ^2 + / x2 x3 x1

Γενετικός προγραμματισμός Μοιάζει με ΜΕΤ σε πληθυσμό από αναλυτικές εκφράσεις Κανόνες επιλογής / εξέλιξης Χαρακτηριστικά: Ακριβής προσομοίωση πολύπλοκων συστημάτων Κίνδυνος υπερπροσαρμογής/ overfitting Κοστοβόρα διαδικασία

Απλοποιημένα φυσικά μοντέλα (Simplified physical models) Στόχος: ο προσδιορισμός υφιστάμενων τάσεων μέσω απλούστερου μοντέλου: Συμπυκνωμένο / Αναλυτικό / Αδρό Οι παράμετροι προσαρμόζονται σε “υψηλής-πιστότητας” (hi- fi) δεδομένα Απλοποιημένο μοντέλο Συνάρτηση διόρθωσης x f(x) Εκλέπτυνση: συνάρτηση διόρθωσης, παραμετρικές συναρτήσεις ...