Συνδυασμοί Μεταθέσεις Συνδυαστική Συνδυασμοί Μεταθέσεις

Αρχές απαρίθμησης Θεμελιώδης αρχή απαρίθμησης ή αρχή το γινομένου ή πολλαπλασιαστική αρχή (multiplication principle). Χωρίζουμε το συνολικό έργο της απαρίθμησης σε m διαδοχικές φάσεις. Υποθέτουμε ότι οι φάσεις αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της συνολικής απαρίθμησης ισούται με το γινόμενο των επιμέρους απαριθμήσεων n=n1×n2×…×nm

Παράδειγμα Να βρεθεί το πλήθος των περιττών τριψήφιων αριθμών που έχουν ψηφία 1,3,6,7,8 και Μπορούν να έχουν ίδια ψηφία Έχουν όλα τα ψηφία διαφορετικά

Απάντηση Έχουμε τρεις φάσεις απαριθμήσεις ως προς το 1ο, 2ο και 3ο ψηφίο. Το πρώτο ψηφίο μπορεί να πάρει 5 διαφορετικές τιμές (1,3,6,7,8) Το δεύτερο ψηφίο μπορεί να πάρει 5 διαφορετικές τιμές (1,3,6,7,8) Το τρίτο ψηφίο μπορεί να πάρει 3 διαφορετικές τιμές (1,3,7) Λόγω της θεμελιώδους αρχής υπάρχουν 5×5×3=75 ζητούμενοι αριθμοί

Απάντηση Έχουμε τρεις φάσεις αλλά θεωρούμε ως 1η φάση την επιλογή του 3ου ψηφίου ως 2η την επιλογή του 2ου ψηφίου και ως 3η την επιλογή του 1ου ψηφίου (διαφορετικά δεν θα ήταν ανεξάρτητες οι φάσεις). Το τρίτο ψηφίο μπορεί να πάρει 3 διαφορετικές τιμές (1,3,7) Το δεύτερο ψηφίο μπορεί να πάρει 4 διαφορετικές τιμές (από τους πέντε διαθέσιμους αριθμούς δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί εκείνος που αποτελεί το 3ο ψηφίο) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να πάρει 3 τιμές. Έχουμε 3×4×3=36 ζητούμενους αριθμούς.

Παράδειγμα Το τμήμα Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πελοποννήσου αποφάσισε να εκλέξει μία εξαμελή επιτροπή για την οργάνωση μίας σειράς φοιτητικών σεμιναρίων η οποία θα αποτελείται από 1 πρωτοετή φοιτητή, 2 δευτεροετείς φοιτητές και 3 τριτοετείς φοιτητές. Οι υποψήφιοι από το 1ο έτος είναι 3, από το 2ο έτος 5 και από το 3ο έτος 5. Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η επιτροπή;

Απάντηση Από το 1ο έτος επιλέγουμε τον εκπρόσωπο με 3 τρόπους π1, π2, π3. Από το 2ο έτος επιλέγουμε τους εκπροσώπους με 10 τρόπους δ1δ2, δ1δ3, δ1δ4, δ1δ5, δ2δ3, δ2δ4, δ2δ5, δ3δ4, δ3δ5, δ4δ5 Από το 3ο έτος επιλέγουμε τους εκπροσώπους με 10 τρόπους τ1τ2 τ3, τ1τ2 τ4, τ1τ2 τ5, τ1τ3 τ4, τ1τ3 τ5, τ1τ4 τ5, τ2τ3 τ4, τ2τ3 τ5, τ2τ4 τ5, τ3τ4 τ5 Επομένως θα υπάρχουν 3×10×10=300 επιτροπές που μπορούν να δημιουργηθούν.

Αρχή του αθροίσματος Αν το σύνολο του οποίου ζητούμε την απαρίθμηση χωρίζεται σε επιμέρους κατηγορίες ανά δύο ξένες μεταξύ τους (αν κάποιο στοιχείο του συνόλου ανήκει σε μία κατηγορία δεν μπορεί να ανήκει σε καμία άλλη) τότε το αποτέλεσμα της συνολικής απαρίθμησης ισούται με το άθροισμα των επιμέρους απαριθμήσεων. n=n1+n2+…+nm

Παράδειγμα Το τμήμα Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Πελοποννήσου αποφάσισε να εκλέξει μία επιτροπή για την οργάνωση μίας σειράς φοιτητικών σεμιναρίων η οποία θα αποτελείται από τουλάχιστον 1 πρωτοετή φοιτητή, 2 δευτεροετείς φοιτητές και 3 τριτοετείς φοιτητές. Οι υποψήφιοι από το 1ο έτος είναι 3, από το 2ο έτος 5 και από το τρίτο έτος 5. Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η επιτροπή;

Απάντηση Η πρώτη απαρίθμηση αποτελείται από τις επιτροπές που περιλαμβάνουν ακριβώς 1 πρωτοετή φοιτητή (παράδειγμα 2) 300. Η δεύτερη απαρίθμηση αποτελείται από τις επιτροπές που περιλαμβάνουν ακριβώς 2 πρωτοετείς φοιτητές οι οποίου μπορούν να επιλεγούν με 3 τρόπους π1π2, π1π3, π2π3, επομένως οι επιτροπές που μπορούν να σχηματιστούν είναι 3×10×10=300

Απάντηση Η τρίτη απαρίθμηση αποτελείται από μία επιτροπή που περιλαμβάνει ακριβώς 3 πρωτοετείς φοιτητές π1π2π3, επομένως οι επιτροπές που μπορούν να σχηματιστούν είναι 1×10×10=100 Συνολικά οι ζητούμενες επιτροπές που μπορούν να σχηματιστούν είναι 300+300+100=700.

Συνοψίζοντας… Κανόνας γινομένου: αν υπάρχουν ν τρόποι να επιλέξουμε το α και για κάθε επιλογή υπάρχουν μ τρόποι να επιλέξουμε το β τότε υπάρχουν νμ τρόποι να επιλέξουμε το (α,β). Κανόνας αθροίσματος: αν υπάρχουν ν τρόποι να επιλέξουμε το α και μ τρόποι να επιλέξουμε το β τότε υπάρχουν ν+μ τρόποι να επιλέξουμε κάποιο από τα α ή β.

Παραδείγματα Έστω ότι υπάρχουν 7 πρωινά μαθήματα και 5 απογευματινά. Έστω ότι υπάρχουν 7 πρωινά μαθήματα και 5 απογευματινά. Υπάρχουν 57=35 διαφορετικές επιλογές για να επιλέξουμε ένα πρωινό και ένα απογευματινό μάθημα Έστω ότι στην πόλη υπάρχουν 2 σινεμά και 5 μπαράκια. Υπάρχουν 5+2=7 επιλογές αν θέλουμε να πάμε είτε σινεμά είτε σε μπαράκι. Υπάρχουν 52=10 επιλογές αν θέλουμε να πάμε πρώτα σινεμά και μετά σε μπαράκι.

Μεταθέσεις Μετάθεση r στοιχείων από n διακριτά αντικείμενα ονομάζουμε την επιλογή r από τα n αντικείμενα (χωρίς επαναλήψεις) και την τοποθέτηση τους σε n διαφορετικές θέσεις. Οι μεταθέσεις 2 στοιχείων από το {α,β,γ,δ} είναι {α,β}, {β,α}, {α,γ}, {γ,α}, {α,δ}, {δ,α}, {β,γ}, {γ,β}, {β,δ}, {δ,β}, {γ,δ}, {δ,γ}

Μεταθέσεις Οι μεταθέσεις r στοιχείων από n είναι n-r+1 επιλογές για την r-οστή θέση Από τον πολλαπλασιαστικό κανόνα έχουμε ότι οι μεταθέσεις r στοιχείων από n είναι

Παράδειγμα Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθμοί που δεν έχουν επαναλαμβανόμενα ψηφία;

Απάντηση 1 Υπάρχουν Ρ(10,4) χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία. Υπάρχουν Ρ(10,4) χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία. Από αυτές Ρ(9,3) αρχίζουν από 0. Οι υπόλοιπες είναι τετραψήφιοι αριθμοί. Επομενως, Ρ(10,4)-Ρ(9,3)=5040- 504=4536

Απάντηση 2 9 επιλογές για την 1η θέση (εξαιρείται το 0) 9 επιλογές για την 1η θέση (εξαιρείται το 0) 9 επιλογές για την 2η θέση 8 επιλογές για την 3η θέση 7 επιλογές για την 4η θέση Επομενως 99 8 7=4536

Παράδειγμα Έχουμε 3 μπάλες (κόκκινη, πράσινη, μπλε) και 10 αριθμημένα κουτιά. Κάθε κουτί χωράει μόνο μία μπάλα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να βάλουμε τις μπάλες στα κουτιά;

Απάντηση Η κόκκινη μπάλα μπορεί να μπει σε οποιοδήποτε από τα μπλε κουτιά. Η πράσινη μπορεί να μπει σε οποιοδήποτε από τα 9 κουτιά που είναι ελεύθερα. Η μπλε μπορεί να μπει σε οποιοδήποτε από τα 8 κουτιά που είναι ελεύθερα. Επομένως, 10 9 8=720

Μεταθέσεις με επανάληψη Οι μεταθέσεις r στοιχείων από n αν επιτρέπονται επαναλήψεις είναι n επιλογές για την 1η θέση n επιλογές για την 2η θέση n επιλογές για την r-οστή θέση Από τον πολλαπλασιαστικό κανόνα έχουμε nr μεταθέσεις με επανάληψη

Παράδειγμα Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικές μπάλες σε n διαφορετικά κουτιά αν το καθένα χωράει οποιοδήποτε πλήθος από μπάλες; Υπάρχουν nr διαφορετικοί τρόποι

Παράδειγμα Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί αυτοκινήτου υπάρχουν; Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί αυτοκινήτου υπάρχουν; Υπάρχουν 153104=33.750.000

Μεταθέσεις n αντικειμένων Μεταθέσεις n αντικειμένων ονομάζεται η τοποθέτηση τους σε n διαφορετικές θέσεις. P(n,n)=n! Αν υπάρχουν 10 κουτιά και 10 μπάλες υπάρχουν 10! τρόποι να τοποθετηθούν οι μπάλες στα κουτιά.

Συνδυασμοί Συνδυασμός n αντικειμένων ανά r ονομάζεται ένα υποσύνολο των στοιχείων του n με πληθάριθμο r. Παράδειγμα Συνδυασμοί των στοιχείων του {α,β,γ,δ} ανά δύο {α,β}, {α,γ}, {α,δ}, {β,γ}, {β,δ}, {γ,δ}

Συνδυασμοί Οι συνδυασμοί των n στοιχείων ανά r είναι P(n,r)=C(n,r) P(r,r) C(n,r)=

Παραδείγματα Πόσες διαφορετικές εξάδες υπάρχουν στο LOTTO; Υπάρχουν C(49,6)=13.983.816 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r όμοιες μπάλες σε n διαφορετικά κουτιά να κάθε κουτί χωράει μόνο μία μπάλα; Με C(n,r) διαφορετικούς τρόπους.

Ιδιότητες C(n,r)=C(n,n-r) C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) Υπάρχουν C(n-1,r) συνδυασμοί που δεν περιέχουν το n-οστό στοιχείο Υπάρχουν C(n-1,r-1) συνδυασμοί που το περιέχουν Αφαιρούμε το n-οστό στοιχείο που το περιέχουν σίγουρα οι συνδυασμοί και παίρνουμε τα υπόλοιπα n-1 στοιχεία ανά r-1 αφού μία θέση από τις r την έχει καταλάβει το n-οστό στοιχείο.

Συνδυασμοί με επαναλήψεις Οι συνδυασμοί n στοιχείων ανά r με επαναλήψεις είναι C(n+r-1,r). Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε r όμοιες μπάλες σε n διαφορετικά κουτιά αν κάθε κουτί χωράει όσες μπάλες θέλουμε; Μπορούμε να βάλουμε κάθε μία σε ένα από τα n κουτιά ή Μπορούμε να τις βάλουμε όλες σε 1 κουτί ή Μπορούμε να τις βάλουμε όλες σε 2 κουτιά ή κλπ … Μπορούμε να τις βάλουμε όλες σε r-1 κουτιά

Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Εύρεση πληθάριθμου ένωσης πεπερασμένου αριθμού συνόλων. |ΑΒ|=|Α|+|Β|-|ΑΒ| Α Β ΑΒ

Παραδείγματα Σε ένα σύνολο παιδιών 15 μιλούν Αγγλικά και 10 μιλούν Γαλλικά, ενώ 5 μιλούν και τις δύο γλώσσες. Πόσα παιδιά μιλούν κάποια από τις δύο γλώσσες; 15+10-5=20. Ανάμεσα στους 90 φοιτητές του 1ου έτους 20 χρωστάνε Διακριτά Μαθηματικά, 15 χρωστάνε Πιθανότητες και Στατιστική και 5 φοιτητές χρωστάνε και τα δύο μαθήματα. Πόσοι φοιτητές δεν χρωστάνε κανένα από τα δύο μαθήματα; 90-(20+15-5)=90-30=60

Θεώρημα Επεκτείνουμε για περισσότερα σύνολα. |ΑΒΓ|=|Α|+|Β|+|Γ|-|ΑΒ|-|ΑΓ| - |ΒΓ|+|Α Β Γ| Β Α Γ

Παράδειγμα Από τους φοιτητές του Τμήματος Επιστήμης & Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Πελοποννήσου 18 έχουν επιλέξει το μάθημα Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα, 18 έχουν επιλέξει το μάθημα Παιδαγωγικά, και 20 το μάθημα Οικονομικά, 5 έχουν επιλέξει το μάθημα Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα και το μάθημα των Παιδαγωγικών, 5 έχουν επιλέξει το μάθημα Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα και το μάθημα των Οικονομικών, 7 έχουν επιλέξει το μάθημα των Οικονομικών και το μάθημα των Παιδαγωγικών, τέλος 2 έχουν επιλέξει και τα τρία μαθήματα.

Απάντηση |ΑΠ  Π  Ο|= |ΑΠ|+|Π|+|Ο| - |ΑΠ  Π| -|ΑΠ  Ο| - |Π  Ο| +|ΑΠ  Π  Ο|= 18+18+20-5-5-7+2 =41 ΑΠ Π (10) (3) (8) (2) (3) (5) (10) Ο

Αρχή του περιστερώνα Αν έχουμε n φωλιές και τουλάχιστον n+1 περιστέρια τότε είναι βέβαιο ότι υπάρχει φωλιά με περισσότερα από ένα περιστέρια. Ισοδύναμα αν |Α|>|Β| δεν υπάρχει 1-1 συνάρτηση από το Α στο Β. Ισοδύναμα αν |Α|>|Β| για κάθε συνάρτηση F από το Α στο Β υπάρχουν α1, α2 Α με α1≠α2 τέτοια ώστε F(α1)=F(α2).

Παράδειγμα Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο κάτοικοι της Τριπόλεως που να έχουν γενέθλια το την ίδια μέρα;

Απάντηση Οι 365 ημέρες του έτους είναι λιγότερες από τους κατοίκους της Τρίπολης επομένως θα υπάρχουν σίγουρα κάποιοι κάτοικοι που θα έχουν την ίδια μέρα γενέθλια. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1.