ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα 1: Εξισώσεις Maxwell ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα 1: Εξισώσεις Maxwell Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3 3

Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος-Ανασκόπηση βασικών εννοιών της διανυσματικής γεωμετρίας και των συστημάτων συντεταγμένων Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Maxwell: Νόμος Gauss για το Ηλεκτρικό και το Μαγνητικό Πεδίο Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Maxwell: Νόμος Faraday και Νόμος Ampere Maxwell Υπολογισμός Ηλεκτρομαγνητικών Πεδίων με τη χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων Maxwell Σημειακές Εξισώσεις Maxwell-Οριακές Συνθήκες Υπολογισμός Ηλεκτρομαγνητικών Πεδίων με τη χρήση των σημειακών εξισώσεων Maxwell 4 4

Περιεχόμενα ενότητας-1/3 Συστήματα Συντεταγμένων: Καρτεσιανό, Κυλινδρικό, Σφαιρικό Ολοκληρωτικές & Σημειακές Εξισώσεις Maxwell: διαφορές Εξισώσεις Ροής & Κυκλοφορίας Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: N.Gauss για το Ηλ. Πεδίο Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: N.Gauss για το Μαγν. Πεδίο Παράδειγμα (N. Coulomb): N. Gauss για το Ηλ. Πεδίο Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Επαγωγής ή Faraday Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Ampere- Maxwell Νόμος Διατήρησης του Φορτίου Γενικά Σχόλια για τις Εξισώσεις Maxwell Ηλεκτροστατικό Πεδίο Μόνιμο Ηλεκτρικό Πεδίο Συνεχούς Ρεύματος Μαγνητοστατικό Πεδίο Μόνιμο Μαγνητικό Πεδίο Συνεχούς Ρεύματος 5 5

Περιεχόμενα ενότητας-2/3 Παράδειγμα: Υπολογισμός Ηλεκτροστατικού Πεδίου Λύση: Επιλογή Σ. Συντ. & Αξιολόγηση Συμμετριών Λύση: Εφαρμογή Ν. Gauss Λύση: Γενική Έκφραση Ηλ. Πεδίου & Αρ. Υπολογισμός Παράδειγμα: Υπολογισμός Μαγν. Πεδίου Συν. Ρεύματος Λύση: Επιλογή Σ.Συντ. & Απλοποίηση λόγω συμμετριών Λύση: Εφαρμογή του Ν.Gauss Λύση: Εφαρμογή του Ν.Ampere σε ορθογώνιο βρόχο Λύση: Εφαρμογή του Ν.Ampere σε κυκλικό βρόχο Σημειακές Εξισώσεις Maxwell Θεώρημα Green & Stokes Απόκλιση Περιστροφή Διανύσματος 6 6

Περιεχόμενα ενότητας-3/3 ΗΜ Πεδίο: Ν. Gauss, Ν. Faraday & Ν. Ampere-Maxwell, Ν. Διατήρησης Φορτίου Οριακές Συνθήκες για τις Κάθετες Συνιστώσες Οριακές Συνθήκες για τις Εφαπτομενικές Συνιστώσες Σημειακές Εξισώσεις Maxwell με αρμονική χρονική εξάρτηση Ηλεκτρικό- Μαγνητικό Πεδίο: Ν. Gauss, Ν. Faraday & Ν. Ampere-Maxwell, Ν. Διατήρησης Φορτίου 7 7

Εξισώσεις Maxwell 8

Εξισώσεις Maxwell Οι εξισώσεις Maxwell συσχετίζουν την ύπαρξη Ηλεκτρικών ή/και Μαγνητικών πεδίων με την ύπαρξη πηγών όπως: τα ηλεκτρικά φορτία τα μαγνητικά φορτία (θεωρητική αναπαράσταση των μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών) τα ηλεκτρικά ρεύματα Συνεπώς οι εξισώσεις Maxwell συγκροτούν ένα θεωρητικό πλαίσιο το οποίο επιτρέπει τον προσδιορισμό της έντασης του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου εφόσον είναι γνωστή η κατανομή των πηγών. Ένταση Ηλεκτρικού Πεδίου : Ένταση Μαγνητικού Πεδίου:

Συστήματα Συντεταγμένων Η περιγραφή των ΗΜ πεδίων ως διανύσματα στο χώρο προϋποθέτουν τον ορισμό ενός συστήματος συντεταγμένων Για την επίλυση των ΗΜ προβλημάτων συνήθως χρησιμοποιούνται τα τρία ακόλουθα συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων Η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από: τη γεωμετρία του προβλήματος τις διευκολύνσεις που το σύστημα προσφέρει για την επίλυση του προβλήματος

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Η γενική μορφή των ΗΜ πεδίων στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι η ακόλουθη: (0,0,z) (0,y,0) (x,0,0) (x,y,0) (x,y,z) x y z x  (-,+ ) Y  (-,+ ) z  (-,+ ) Ανάλυση ΗΜ Πεδίου σε Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων Η γενική μορφή των ΗΜ πεδίων στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων είναι η ακόλουθη: (0,0,z) (rT,φ,0) (rT,φ,z) x y z φ rT rT  [0,+ ) φ  [0,2π] z (-,+ ) Ανάλυση ΗΜ Πεδίου σε Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων 12 12

Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων Η γενική μορφή των ΗΜ πεδίων στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων είναι η ακόλουθη: (r,θ,φ) x y z φ r θ r  [0,+ ) θ  [0,π] φ  [0,2π] Ανάλυση ΗΜ Πεδίου σε Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων 13 13

Ολοκληρωτικές & Σημειακές Εξισώσεις Maxwell συνδέουν το ΗΜ πεδίο μιας περιοχής του χώρου με τις πηγές και το ΗΜ πεδίο μιας άλλης περιοχής Σύνδεση αιτίου και αποτελέσματος σε διαφορετικά σημεία του χώρου Σημειακές Εκφράσεις των εξισώσεων Maxwell: συνδέουν το ΗΜ πεδίο και τις πηγές στο ίδιο σημείο του χώρου με τη μορφή: Διαφορικών Εξισώσεων (όπου το πεδίο είναι συνεχές) Οριακών Συνθηκών (όπου το πεδίο είναι ασυνεχές)

Εξισώσεις Ροής & Κυκλοφορίας Κάθε διάνυσμα, όπως η ένταση των ΗΜ πεδίων (Ε, Η), μπορεί να αναλυθεί σε μία κάθετη και δύο επιφανειακές συνιστώσες σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας Εn, Hn [normal=κάθετη] με αποτέλεσμα τη ροή από την επιφάνεια (Et1,Et2), (Ht1,Ht2) [tangential=εφαπτομενική] με αποτέλεσμα την κυκλοφορία γύρω από κλειστές γραμμές Για τον πλήρη προσδιορισμό ενός διανύσματος πρέπει να προσδιοριστούν και οι τρεις συνιστώσες του. Επομένως, είναι απαραίτητη η χρήση τριών εξισώσεων: Μία εξίσωση κυκλοφορίας που θα εφαρμοσθεί δύο φορές για κάθε μία από τις εφαπτομενικές συνιστώσες Μία εξίσωση ροής για την κάθετη συνιστώσα 15 15

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: N.Gauss για το Ηλ. Πεδίο-1/2 O N. Gauss αποτελεί μια εξίσωση ροής για το ηλεκτρικό πεδίο και διατυπώνεται ως εξής: η ροή του ηλ. πεδίου μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το ηλεκτρικό φορτίο qf που περιέχεται στην κλειστή αυτή επιφάνεια: Είναι το διάνυσμα της πυκνότητας της ηλεκτρικής ροής ή αλλιώς της λεγόμενης ηλεκτρικής μετατόπισης, η οποία συνδέεται με την ένταση του ηλ. πεδίου μέσω της διηλεκτρικής σταθεράς ε ως εξής: Είναι διάνυσμα κάθετο στη στοιχειώδη επιφάνεια dS και μέτρο ίσο με το εμβαδόν της στοιχειώδους επιφάνειας dS Στοιχειώδες Εμβαδόν 16 16

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: N.Gauss για το Ηλ. Πεδίο-2/2 ρ είναι η χωρική πυκνότητα (cb/m3) του ηλ. φορτίου το οποίο περικλείεται στην κλειστή επιφάνεια ολοκλήρωσης 17 17

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: N.Gauss για το Μαγν. Πεδίο O N. Gauss αποτελεί μια εξίσωση ροής για το μαγνητικό πεδίο και διατυπώνεται ως εξής: η ροή του μαγνητικού πεδίου μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το μηδέν διότι στη φύση δεν υπάρχουν απομονωμένα μαγνητικά φορτία: είναι το διάνυσμα της πυκνότητας της μαγνητικής ροής ή αλλιώς της λεγόμενης μαγνητικής επαγωγής, η οποία συνδέεται με την ένταση του μαγνητικού πεδίου μέσω της μαγνητικής επιδεκτικότητας μ ως εξής: είναι διάνυσμα κάθετο στην στοιχειώδη επιφάνεια dS και μέτρο ίσο με το εμβαδόν της στοιχειώδους επιφάνειας dS Στοιχειώδες Εμβαδόν 18 18

Παράδειγμα (N. Coulomb): N. Gauss για το Ηλ. Πεδίο Έστω φορτίο Q σε ένα σημείο χώρου με διηλεκτρική σταθερά ε. Να υπολογιστεί η ένταση του ηλ. πεδίου στον περιβάλλοντα χώρο: Η σφαιρική συμμετρία του προβλήματος υποδεικνύει ότι η βέλτιστη επιλογή για το σύστημα συντεταγμένων είναι το σφαιρικό σύστημα η μορφή του πεδίου είναι η εξής: 19 19

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Επαγωγής ή Faraday-1/2 O N. Faraday αποτελεί μια εξίσωση κυκλοφορίας για το ηλ. πεδίο και διατυπώνεται ως εξής: η κυκλοφορία της έντασης του Ηλ. Πεδίου είναι ανάλογη του ρυθμού μείωσης της μαγνητικής ροής που διαπερνά μια οποιαδήποτε ανοικτή επιφάνεια η οποία καταλήγει στην κλειστή διαδρομή υπολογισμού της κυκλοφορίας: Ροή (+) Κυκλοφορία (+) dS Γεωμετρική και Εννοιολογική Συσχέτιση Ροής και Κυκλοφορίας 20 20

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Επαγωγής ή Faraday-2/2 Εάν ληφθεί υπόψη ότι: το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της έντασης του Ηλ. Πεδίου αντιστοιχεί στην πτώση τάσης κατά μήκος της ολοκλήρωσης το επιφανειακό ολοκλήρωμα της μαγνητικής επαγωγής ορίζει τη μαγνητική ροή Φ Ο Ν. Faraday αποδεικνύει τη γνωστή σχέση από τα Ηλ. Κυκλώματα: Τυπική εφαρμογή: Μετασχηματιστές 21 21

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Ampere- Maxwell-1/3 O N. Αmpere-Maxwell αποτελεί επίσης μια εξίσωση κυκλοφορίας αλλά για το Μαγν. πεδίο και διατυπώνεται ως εξής: η κυκλοφορία της έντασης του Μαγν. Πεδίου είναι ανάλογη του ρεύματος αγωγιμότητας και του ρυθμού αύξησης της ροής του Ηλ. Πεδίου που διαπερνά μια οποιαδήποτε ανοικτή επιφάνεια η οποία καταλήγει στην κλειστή διαδρομή υπολογισμού της κυκλοφορίας: Ροή (+) Κυκλοφορία (+) dS Γεωμετρική και Εννοιολογική Συσχέτιση Ροής και Κυκλοφορίας 22 22

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Ampere- Maxwell-2/3 O N. Αmpere-Maxwell μπορεί επίσης να διατυπωθεί και ως εξής: ΦΕ είναι η ροή του Ηλ. Πεδίου Ια είναι το ρεύμα αγωγιμότητας Ιμ είναι το λεγόμενο ρεύμα μετατόπισης και εκφράζει το πραγματικό φαινόμενο της συνέχειας ενός ηλ. κυκλώματος όταν παρεμβάλλεται ένας πυκνωτής 23 23

Ολοκληρωτικές Εξ. Maxwell: Ν. Ampere- Maxwell-3/3 O N. Αmpere-Maxwell μπορεί επίσης να διατυπωθεί και ως εξής: Εάν ληφθεί υπόψη η σχέση μεταξύ της έντασης του Μαγν. Πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής: της έντασης το Ηλ. Πεδίου και της ηλεκτρικής μετατόπισης επαγωγής: 24 24

Νόμος Διατήρησης του Φορτίου Οι χωρικές πυκνότητες του ρεύματος ( ) και του φορτίου (ρ), οι οποίες εμφανίζονται στις εξ. Maxwell συσχετίζονται με το Ν. Διατήρησης του Φορτίου Το συνολικό φορτίο σε ένα απομονωμένο σύστημα παραμένει σταθερό ή η ροή ηλ. ρεύματος από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το ρυθμό μείωσης του ηλ. φορτίου στο όγκο που περικλείει αυτή η επιφάνεια 25 25

Γενικά Σχόλια για τις Εξισώσεις Maxwell Οι εξ. Faraday & Ampere-Maxwell εκφράζουν ένα σημαντικό συμπέρασμα για το Ηλεκτρικό και το Μαγνητικό πεδίο : αλληλοσυνδέονται όταν τα πεδία είναι χρονικά μεταβαλλόμενα Η έκφραση Ηλεκτρομαγνητικό Κύμα/ Πεδίο λαμβάνει την κυριολεκτική σημασία της είναι ανεξάρτητα στις στατικές περιπτώσεις δηλ. όταν είναι χρονικά αμετάβλητα: Ηλεκτροστατικό Πεδίο Μόνιμο Ηλεκτρικό Πεδίο Ροής Συνεχούς Ρεύματος Μαγνητοστατικό Πεδίο Μόνιμο Μαγνητικό Πεδίο Ροής Συνεχούς Ρεύματος 26 26

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Το ηλεκτροστατικό πεδίο οφείλεται στην ύπαρξη στατικών ηλεκτρικών φορτίων και υπολογίζεται από τις ακόλουθες σχέσεις: 27 27

Μόνιμο Ηλεκτρικό Πεδίο Συνεχούς Ρεύματος Το Μόνιμο Ηλεκτρικό Πεδίο Ροής Συνεχούς Ρεύματος αλληλοσυνδέεται με την ύπαρξη συνεχών ρευμάτων: Σε αγώγιμα υλικά η πυκνότητα του ρεύματος και η ένταση του Ηλ. Πεδίου συνδέονται με την «μικροσκοπική» εκδοχή του Ν. Ohm σ είναι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα 28 28

Μαγνητοστατικό Πεδίο Οφείλεται στην ύπαρξη μόνιμων μαγνητών 29 29

Μόνιμο Μαγνητικό Πεδίο Συνεχούς Ρεύματος συνδέεται με την ύπαρξη συνεχών ρευμάτων: Σε αγώγιμα υλικά η πυκνότητα του ρεύματος εξαρτάται από την ένταση του Ηλ. πεδίου και επομένως το Μαγν. πεδίο εξαρτάται από το Ηλ. Πεδίο αλλά δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους 30 30

Παράδειγμα: Υπολογισμός Ηλεκτροστατικού Πεδίου Υπολογίστε το Ηλ. πεδίο, που προκαλείται από μια ομοιόμορφη κατανομή φορτίου σε μια επίπεδη επιφάνεια απειροστού πάχους και άπειρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα ρS. Η διηλεκτρική σταθερά του μέσου είναι ίση με αυτή του κενού ε=ε0. Τοπολογία Προβλήματος 31

Λύση: Επιλογή Σ. Συντ. & Αξιολόγηση Συμμετριών Λόγω της Κατανομής Πηγών  Καρτεσιανό Η πλέον γενική μορφή έκφρασης του Ηλ. Πεδίου είναι: Απλοποίηση του προβλήματος λόγω συμμετριών Ανεξαρτησία ως προς x,y Ex=Ey=0: Τοπολογία Προβλήματος 32 32

Λύση: Εφαρμογή Ν. Gauss Σε κλειστή κυλινδρική επιφάνεια Ροή από τις βάσεις, μηδενική ροή από την παράπλευρη επιφάνεια Σταθερή ένταση ηλ. πεδίου στις βάσεις: Εφαρμογή N.Gauss 33 33

Λύση: Γενική Έκφραση Ηλ. Πεδίου & Αρ. Υπολογισμός Τελική και γενική έκφραση Ηλ. Πεδίου: Υπολογίστε την ένταση του Ηλ. Πεδίου θεωρώντας ότι η επιφανειακή πυκνότητα είναι ρS=10-12 Cb/m και η διηλεκτρική σταθερά του μέσου είναι ίση με αυτή του κενού ε=ε0=8,8510-12 F/m. 34 34

Παράδειγμα: Υπολογισμός Μαγν. Πεδίου Συν. Ρεύματος Υπολογίστε το Μαγν. Πεδίο, που προκαλείται από συνεχές ρεύμα Ι το οποίο ρέει σε ένα λεπτό αγωγό άπειρου μήκους. Η μαγν. διαπερατότητα μ του μέσου είναι ίση με αυτή του κενού μ=μ0=4π10-7 A/m: r I ΒrT S+ S- Bz Βφ l SΠ Τοπολογία Προβλήματος 35 35

Λύση: Επιλογή Σ.Συντ. & Απλοποίηση λόγω συμμετριών Λόγω της Κατανομής Πηγών  Κυλινδρικό Ανεξαρτησία από z,φ r I ΒrT S+ S- Bz Βφ l SΠ Τοπολογία Προβλήματος 36 36

Λύση: Εφαρμογή του Ν.Gauss Eφαρμογή του N. Gauss για το Μαγν. Πεδίο σε μια κλειστή κυλινδρική επιφάνεια μήκους l, ακτίνας r και άξονα ο οποίος ταυτίζεται με το ρευματοφόρο αγωγό: Ίση και αντίθετη ροή στις βάσεις r I ΒrT S+ S- Bz Βφ l SΠ Εφαρμογή N.Gauss 37 37

Λύση: Εφαρμογή του Ν.Ampere σε ορθογώνιο βρόχο Η Βz είναι σταθερή στο χώρο, Bz=0 όταν r→, Συνεπώς Βz=0 r I ΒrT S+ S- Bz Βφ l SΠ Εφαρμογή N. Ampere 38 38

Λύση: Εφαρμογή του Ν.Ampere σε κυκλικό βρόχο Mε την εφαρμογή του νόμου του Ampere σε ένα κυκλικό βρόχο με rT=σταθερό και z=σταθερό: r I ΒrT S+ S- Bz Βφ l SΠ Εφαρμογή N. Ampere 39 39

Σημειακές Εξισώσεις Maxwell συνδέουν το ΗΜ πεδίο και τις πηγές στο ίδιο σημείο του χώρου με τη μορφή: Διαφορικών Εξισώσεων (πεδίο=συνεχές) Οριακών Συνθηκών (πεδίο=ασυνεχές) προκύπτουν από τις αντίστοιχες ολοκληρωτικές με τη χρήση των ακόλουθων θεωρημάτων: Θεώρημα Green (Απόκλισης) Θεώρημα Stokes 40 40

Θεώρημα Green & Stokes Θεώρημα Green: Θεώρημα Stokes: 41 41

Απόκλιση Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων: Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων: Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων 42 42

Περιστροφή Διανύσματος Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων: Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων: Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων 43 43

Ν. Gauss για το ΗΜ Πεδίο Ν. Gauss για το Ηλ. Πεδίο: 44 44

Ν. Faraday & Ν. Ampere-Maxwell 45 45

Ν. Διατήρησης Φορτίου Ν. Διατήρησης Φορτίου: 46 46

Οριακές Συνθήκες για τις Κάθετες Συνιστώσες Οριακές Συνθήκες για τις κάθετες (στην επιφ. ασυνέχειας) συνιστώσες του ΗΜ πεδίου και των πηγών: Περιοχή 2: (ε2, μ2) Περιοχή 1: (ε1, μ1) Οριακές Συνθήκες σε Διαχωριστική Επιφάνεια 47 47

Οριακές Συνθήκες για τις Εφαπτομενικές Συνιστώσες Οριακές Συνθήκες για τις εφαπτομενικές (στην επιφ. ασυνέχειας) συνιστώσες του ΗΜ πεδίου: Περιοχή 2: (ε2, μ2) Περιοχή 1: (ε1, μ1) Οριακές Συνθήκες σε Διαχωριστική Επιφάνεια 48 48

Σημειακές Εξισώσεις Maxwell με αρμονική χρονική εξάρτηση Έστω αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΜ πεδία και Πηγές (cosωt) : 49 49

Ν. Gauss για το ΗΜ Πεδίο Ν. Gauss για το Ηλ. Πεδίο: 50 50

Ν. Faraday & Ν. Ampere-Maxwell 51 51

Ν. Διατήρησης Φορτίου Ν. Διατήρησης Φορτίου: 52 52

Τέλος Ενότητας