Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνης, μαθηματικός ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ «ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ» Νοέμβριος 2015

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το 5ο Αίτημα των Στοιχείων έγινε αντικείμενο μελέτης από τους μαθηματικούς για πάνω από 2000 χρόνια. Παρουσιάζονται οι σημαντικότερες προσπάθειες απόδειξης ή αντικατάστασης του 5ουΑιτήματος καθώς και η γέννηση των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Πιο συγκεκριμένα αναφερόμαστε στις προσπάθειες των Saccheri , Lampert , Legendre , να αποδείξουν του 5ο Αίτημα , καθώς και στους Bolyai , Lobachevsky , Riemann , οι οποίοι ανακάλυψαν νέες Γεωμετρίες. Οι μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες έδειξαν ότι υπάρχουν και άλλες περιγραφές του χώρου που είναι προσιτές στην ανθρώπινη νόηση. Τέλος εξετάζεται η συνέπεια των μη – Ευκλείδειων Γεωμετριών.

Το 5ο Αίτημα των Στοιχείων «Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές ,τότε οι ευθείες αν προεκταθούν απεριόριστα, θα τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ». σχήμα από το βιβλίο Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ , Β΄ Λυκείου

Για το 5ο Αίτημα των Στοιχείων Ο Ευκλείδης το χρησιμοποίησε μετά την 29η Πρόταση του Βιβλίου Ι , με επιφύλαξη. Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να το αποδείξουν , άλλοι να το αντικαταστήσουν με κάποιο ισοδύναμο. Στο βιβλίο αναφέρονται οι : Πτολεμαίος , Πρόκλος , Nasir-ed-din ,Wallis ,Saccheri , Lampert, Legendre , Gauss , Bolyai. Οι προσπάθειες όμως κατέληγαν να θεωρήσουν κάτι ισοδύναμο του 5ου αιτήματος.

Ισοδύναμα του 5ου Αιτήματος Από σημείο εκτός ευθείας (ε) διέρχεται μοναδική παράλληλη στην (ε). J.Playfair (1748-1819) Το πιο διαδεδομένο. Έχει αντικαταστάσει το 5ο αίτημα στα σχολικά βιβλία Α΄ και Β΄ Λυκείου τα τελευταία 15 χρόνια. Τετράπλευρο με δυο απέναντι πλευρές ίσες και κάθετες στην τρίτη πλευρά , έχει τις άλλες του γωνίες ίσες και ορθές. Saccheri (1667-1733) To άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 2 ορθές. Legendre (1752 – 1833) Αν σε τετράπλευρο 3 γωνίες είναι ορθές , τότε και η τέταρτη θα είναι ορθή. Lambert (1728 – 1777) Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται κύκλος. Legendre – W. Bolyai Δεν υπάρχει ανώτατο όριο στο εμβαδόν τριγώνου. Gauss (1777 – 1855)

H μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο Αυτή η τόσο κομψή μέθοδος από τα χρόνια του Ευκλείδη που κατανοείται με κάποια δυσκολία από τους σημερινούς δεκαπεντάχρονους μαθητές της Α΄ Λυκείου βασίζεται σε δυο αρχές : Αρχή της αντίφασης Μια πρόταση Π και η άρνηση της (Π) δεν ισχύουν ταυτοχρόνως. Αρχή του αποκλειόμενου μέσου Ισχύει η Π ή η άρνηση της (Π) , τρίτη πιθανότητα δεν υπάρχει.

Saccheri 1667 - 1733 Ιησουΐτης ιερέας, καθηγητής του Πανεπιστημίου της Παβίας. Πίστευε ότι το 5ο αίτημα αποδεικνύεται από τα υπόλοιπα αξιώματα. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Θεώρησε ότι δεν ισχύει το 5ο αίτημα και προσπάθησε να καταλήξει σε αντίφαση. Αν δεν ήταν τόσο επίμονος με τη μέθοδο, θα είχε αποδείξει πρώτος της ύπαρξη της «Υπερβολικής Γεωμετρίας». Η εργασία του «Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από σφάλματα» , εκδόθηκε λίγους μήνες πριν το θάνατο του. Έχει μεταφραστεί στα Αγγλικά και είναι προσβάσιμη από φοιτητές μέχρι και σήμερα.

Η προσπάθεια του Saccheri Δέχτηκε τις πρώτες 28 προτάσεις του Ευκλείδη. Μελέτησε το παρακάτω σχήμα , το οποίο ονόμασε (isosceles birectangle). Θεώρησε δεδομένο τις γωνίες στη βάση ορθές και τις κάθετες στη βάση ίσες. Διερεύνησε 3 περιπτώσεις. Οι γωνίες είναι ορθές, υπόθεση της ορθής γωνίας . (Ευκλείδεια) Οι γωνίες είναι αμβλείες , υπόθεση της αμβλείας. (Ελλειπτική) Οι γωνίες είναι οξείες, υπόθεση της οξείας. (Υπερβολική) Αφού εισήγαγε πολλές προτάσεις κατάφερε να αποκλείσει την υπόθεση της αμβλείας γωνίας. Σκόνταψε όμως στην οξεία.

Θεωρήματα του Saccheri Εάν μία από τις υποθέσεις είναι αληθής για ένα μόνο ισοσκελές birectangle, τότε είναι αληθής και για κάθε τέτοιο τετράπλευρο. Στην υπόθεση της Ορθής, της Αμβλείας ή της Οξείας γωνίας ισχύει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσο, μεγαλύτερο ή μικρότερο από δύο ορθές γωνίες. Αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το άθροισμα των γωνιών του είναι αντίστοιχα ίσο, μεγαλύτερο ή μικρότερο από δύο ορθές γωνίες τότε συνεπάγεται η ορθότητα της υπόθεσης της Ορθής, της Αμβλείας και της Οξείας γωνίας αντίστοιχα.

Lambert (1728 – 1777) Η έρευνα του «Die Theorie die Parallellinien» δημοσιεύτηκε 11 χρόνια μετά το θάνατο του. Ήταν ο πρώτος που έδειξε ότι ο π είναι άρρητος. Χρησιμοποίησε το trirectangle , τετράπλευρο με 3 ορθές γωνίες. Κατέληξε στις ίδιες υποθέσεις με τον Saccheri για το είδος της τέταρτης γωνίας. Απέδειξε ότι το πλεόνασμα από τις δύο ορθές γωνίες στην υπόθεση της αμβλείας γωνίας, και το έλλειμμα στην υπόθεση της οξείας γωνίας είναι ανάλογο προς το εμβαδόν του τριγώνου. Παρατήρησε την ομοιότητα της Γεωμετρίας που προκύπτει από την υπόθεση της Αμβλείας γωνίας με τη Σφαιρική Γεωμετρία, όπου το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ανάλογο με το πλεόνασμα. Συμπέρανε ότι η Γεωμετρία που προκύπτει από την υπόθεση της Οξείας γωνίας μπορεί ίσως να επαληθευτεί πάνω σε μια σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Ανακάλυψε ότι όσον αφορά τις υποθέσεις της αμβλείας και τις οξείας γωνίας, η μέτρηση των γωνιών και των μηκών είναι απόλυτη.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο και ασχολήθηκε με τη σχέση του 5ου αιτήματος με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Πίστευε ότι αν κατάφερνε να δείξει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές , θα πετύχαινε την απόδειξη του 5ου αιτήματος. ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι μεγαλύτερο από 2 ορθές. Εάν σε ένα μόνο τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι μικρότερο ή ίσο από 2 ορθές , τότε θα μικρότερο ή ίσο από 2 ορθές σε κάθε τρίγωνο. (Έχει δοθεί και από τον Saccheri) Με την απλότητα του πέτυχε μια παιδαγωγική βελτίωση των Στοιχείων , δεν προσέφερε όμως πολλά στην απόδειξη του 5ου Αιτήματος.

Η ανακάλυψη των μη-Ευκλείδειων Γεωμετριών Gauss (1777-1855) Πρώτος ο «πρίγκιπας των μαθηματικών» , υποπτεύτηκε την ανεξαρτησία του 5ου αιτήματος. Προσέγγισε του θέμα μέσω του ισοδύναμου αιτήματος του Playfair , και θεώρησε τρεις περιπτώσεις. Από σημείο εκτός ευθείας (ε) διέρχονται, μια ή καμία ή πάνω από μια ευθείες παράλληλες στην (ε). Οι περιπτώσεις αυτές είναι ισοδύναμες με τις υποθέσεις του Saccheri. Υποθέτοντας ότι μια ευθεία είναι άπειρη, απέκλεισε την υπόθεση της αμβλείας γωνίας. Υποπτεύθηκε την ύπαρξη μιας Γεωμετρίας με συνέπεια, την οποία την ονόμασε Μη- Ευκλείδεια. Βοlyai J.(1802-1860) «Απ΄ το τίποτα , έχω δημιουργήσει ένα παράξενο νέο σύμπαν». Φράση που έγραψε στον πατέρα του ενθουσιασμένος από το έργο του στις παράλληλες. Γιος μαθηματικού. Ο πατέρας του ήταν φίλος του Gauss. Αναζήτησε προτάσεις που μένουν αναλλοίωτες στην Ευκλείδεια και στη νέα Γεωμετρία. ( π. χ νόμος ημιτόνων )

Nikolai Lobachevsky

Το αξίωμα της Γεωμετρίας Lobachevsky «Από σημείο Ρ εκτός ευθείας m , μπορούμε να φέρουμε περισσότερες από μια ευθείες , στο επίπεδο της Ρ , που να μην τέμνουν την m ». Ο Lobachevsky κατασκευάζει την Φανταστική Γεωμετρία ή ΠανΓεωμετρία. Ορίζει την έννοια της παραλληλίας και την Γωνία Παραλληλίας Π(h) που αντιστοιχεί στο μήκος h. Προχωρεί με θεωρήματα που αφορούν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου Οι τύποι της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας στο νέο σύστημα είναι ακριβώς οι ίδιοι με εκείνους της συνήθης Σφαιρικής Τριγωνομετρίας, όταν τα στοιχεία του τριγώνου μετριούνται σε ορθές γωνίες. Αν οι α, β, γ αντικατασταθούν από τα α/i, β/i , γ/i , οι τύποι της Φανταστικής Τριγωνομετρίας μετατρέπονται σε τύπους της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Τα μήκη και οι γωνίες είναι απόλυτα μεγέθη.

Παράλληλες στην Πανγεωμετρία Οι e1 , e2 είναι παράλληλες στην m. Χωρίζουν όλες τις άλλες από το Ρ σε δυο κλάσεις . Αυτές που τέμνουν την m και αυτές που δεν την τέμνουν. Οι ευθείες που δεν τέμνουν την m λέγονται υπερπαράλληλες της m.

Bernhard Riemann

Γεωμετρία του Riemann B. Ο Bernhard Riemann καθορίζει τις έννοιες boundlessness (απεραντοσύνη) και infiniteness (απειροσύνη). Ξεπέρασε την παραδοχή του απείρου μιας ευθείας και αναγνώρισε την ύπαρξη μιας δεύτερης μη Ευκλείδειας γεωμετρίας με βάση την υπόθεση της αμβλείας γωνίας. Για να παρουσιάζει συνέπεια αυτή η γεωμετρία τροποποίησε τα αξιώματα 1, 2 και 5 του Ευκλείδη ως εξής: 1΄) Δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν τουλάχιστον μία ευθεία. 2΄) Μία ευθεία εκτείνεται χωρίς όριο. 5΄) Δύο οποιεσδήποτε ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τέμνονται . Η μη Ευκλείδεια αυτή γεωμετρία χαρακτηρίζεται από τη χρήση των μεθόδων της διαφορικής γεωμετρίας.

Συνέπεια των μη-Ευκλείδειων Γεωμετριών Ο Ιταλός μαθηματικός Ε.Beltrami : αποδεικνύει τη συνέπεια των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών ,αν υπήρχε ασυνέπεια στις νέες Γεωμετρίες , τότε θα υπήρχε ασυνέπεια και στην Ευκλείδεια (1868) . απέδειξε ότι οι μη Ευκλείδεια Γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai μπορεί να απεικονιστεί σε μια επιφάνεια σταθερής αρνητικής καμπυλότητας. Η πιο απλή από αυτές τις επιφάνειες είναι η Ψευδόσφαιρα , τέλος απέδειξε ότι , η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία του Riemann μπορεί να απεικονιστεί σε μια επιφάνεια σταθερής θετικής καμπυλότητας. Η απλούστερη τέτοιου είδους επιφάνεια είναι η σφαίρα

Υπερβολική Γεωμετρία

Επιφάνεια σταθερής θετικής καμπυλότητας - Σφαίρα

Ποια Γεωμετρία είναι η πραγματική ; Η απάντηση στο ερώτημα δεν έχει και πολύ νόημα. Αν η Γεωμετρία είναι κλάδος των Μαθηματικών τότε , αν τα αιτήματα είναι «σωστά»,και τα θεωρήματα θα είναι «σωστά». Αν η Γεωμετρία είναι κλάδος της Φυσικής , τότε δεν μπορούμε να δώσουμε μια απλή και συγκεκριμένη απάντηση. Επίσης όλες αυτές οι γεωμετρίες βρίσκουν διαφορετικές εφαρμογές στο φυσικό μας χώρο. Για παράδειγμα, η Ευκλείδεια γεωμετρία χρησιμοποιείται στις κατασκευές σπιτιών, γεφυρών. Γενικά δεν μπορούν να υπάρξουν απόλυτες απαντήσεις.

Πηγή [1]. Howard Eves , Foundantions and Fundamental Concepts of Mathematics , 3rd ed, chapter 3, p51-65. [2]. https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%86%CE%B1%CE%AF% CF%81%CE%B1- Προσπελάστηκε 2/7/16. [3]. https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%B5%CF%81% CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B 3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%A F%CE%B1 – Προσπελάστηκε 2/7/16. [4]. https://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky - Προσπελάστηκε 2/7/16.