Διαχείριση Έργων Πληροφορικής PERT and CPM Μ. Τσικνάκης

Τεχνικές ανάλυσης δικτύων (network analysis) Μέθοδος της Κρίσιμης Διαδρομής - Critical Path Method (CPM) Μία μέθοδος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της αλληλουχίας των δραστηριοτήτων που ΑΜΕΣΑ επηρεάζουν την ολοκλήρωση ενός Έργου. Program Evaluation and Review Technique (PERT) Τεχνική που χρησιμοποιεί Αισιόδοξη, Απαισιόδοξη και Ρεαλιστική εκτίμηση του χρόνου υλοποίησης κάθε δραστηριότητας για να υπολογίσει την εκτιμώμενη (με ποσοστά πιθανότητας) ολοκλήρωση μίας δραστηριότητας και του συνολικού Έργου.

CPM uses one time estimate Where as PERT uses three time estimates CPM vs PERT CPM uses one time estimate Where as PERT uses three time estimates

Τεχνικές δικτυωτής ανάλυσης (network analysis techniques) CPM (for Critical Path Management). Η μέθοδος CPM αναπτύχθηκε τη δεκαετία του1950's σαν κοινής προσπάθειας μεταξύ των DuPont και Remington Rand Univac. Καθώς αυτές ήταν εμπορικές εταιρείας, το κόστος ήταν βασικό στοιχείο της μεθόδου. Σαν αποτέλεσμα, η μέθοδος CPM εστιάζει στην ισορροπία (trade-off) μεταξύ κόστους του έργου και συνολικό χρόνο επιτυχούς ολοκλήρωσης ενός έργου. PERT (for Program Evaluation and Review Technique); PERT αναπτύχθηκε για να υποστηρίξει το ναυτικό της Αμερικής (US Navy) στον σχεδιασμό και την παρακολούθηση το έργο σχεδιασμού, παραγωγής και δοκιμής των πυραύλων Polaris.

Διαγράμματα Δικτύου – Δικτυωτή Ανάλυση Κομβικά δίκτυα (Activity on Node – AON): Γραφήματα που οι κόμβοι τους συμβολίζουν δραστηριότητες Τοξωτά δίκτυα (Activity on Arc – AOA): Γραφήματα που οι κόμβοι τους συμβολίζουν γεγονότα και τα τόξα δραστηριότητες

Forward and Backward pass Κατά τη Forward Pass στο δίκτυο υπολογίζουμε: Τον νωρίτερο χρόνο (earliest times) που κάθε δραστηριότητα μπορεί να αρχίσει και να τελειώσει (earliest start and finish) και τη συνολική διάρκεια (total duration) του έργου. Κατά την αντίστροφη διαδρομή (Backward Pass) μέσω του δικτύου υπολογίζουμε: τον αργότερο χρόνο (the latest time) που κάθε δραστηριότητα μπορεί να αρχίσει και να τελειώσει χωρίς να καθυστερήσει η συνολική υλοποίηση του έργου. Με αυτή τη πληροφορία μπορούμε να αντλήσουμε συμπεράσματα σε σχέση με το ποιες δραστηριότητες έχουμε τη δυνατότητα να καθυστερήσουμε (έχουν δηλαδή slack >0) και ποιες όχι.

Float or Slack (βαθμός χαλαρότητας - διακύμανση) Ο υπολογισμός του βαθμού χαλαρότητας (float ή slack) μιας δραστηριότητας δίνεται από τη σχέση Fi = LSi – ESi ή Fi = LFi – EFi Ο βαθμός χαλαρότητας (float ή slack) ορίζεται δηλαδή ως ο χρόνος που μπορούμε να αυξήσουμε τη διάρκεια υλοποίησης μίας δραστηριότητας i χωρίς να αλλάξουμε (να αυξήσουμε) τον συνολικό χρόνο υλοποίησης του έργου.

Υπολογισμός της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path) Κρίσιμες δραστηριότητες ονομάζονται οι δραστηριότητες που έχουν μηδενικό slack και δεν μπορούν να καθυστερήσουν χωρίς να καθυστερήσει η υλοποίηση ολόκληρου του έργου; Το slack των μη-κρίσιμων δραστηριοτήτων αναπαριστά τον χρόνο που μπορεί να καθυστερήσει η έναρξη ή η λήξη αυτών των δραστηριοτήτων χωρίς να επηρεάζεται ο συνολικός χρόνος υλοποίησης του έργου; Κρίσιμο μονοπάτι ονομάζεται η ΜΕΓΙΣΤΗ διαδρομή που συνδέει τις κρίσιμες δραστηριότητες;

Το κρίσιμο μονοπάτι Critical Path

PERT Η τεχνική (μέθοδος) PERT βασίζεται σε δεδομένα που σχετίζονται με τα μεγάλα, ευδιάκριτα γεγονότα (events) που είναι απαραίτητα για την επίτευξη των στόχων. Τις αλληλοεξαρτήσεις των γεγονότων αυτών και εκτιμήσεις του χρόνου για την επίτευξη τους. Οι εκτιμήσεις αυτές βασίζονται σε πιθανότητες και εκτιμήσεις "most likely time", "optimistic time", and "pessimistic time" for each activity.

PERT Basics Στο επίκεντρο της μεθοδολογίας PERT είναι η έννοια της διαχείρισης πιθανοτήτων (management of probabilities). Σαν αποτέλεσμα η μέθοδος στηρίζεται και χρησιμοποιεί (σχετικά) απλές στατιστικές μεθόδους (statistical methods). Μερικές φορές, η μέθοδος PERΤ κατατάσσεται ως όμοια με την μέθοδο CPM. Παρά το γεγονός ότι οι δύο μέθοδοι ανάλυσης δικτύων μοιράζονται κάποια κοινά χαρακτηριστικά, η PERT έχει διαφορετική στόχευση. Όπως σε όλες τις τεχνικές εκτίμησης (estimation techniques), η PERT αναλύει τις επιμέρους ενότητες εργασίας (Workpackages - tasks) ενός έργου σε αναλυτικές δραστηριότητες (detailed activities). Μετά ετοιμάζεται το Gantt chart, αποτυπώνοντας τις αλληλοεξαρτήσεις των δραστηριοτήτων. Στην συνέχεια, σχεδιάζεται το δίκτυο δραστηριοτήτων και οι αλληλοεξαρτήσεις αποτυπώνονται γραφικά. Ακολούθως, οι Earliest Time (TE) και Latest Time (TL) για κάθε δραστηριότητα υπολογίζονται και υπολογίζεται επίσης ο βαθμός χαλαρότητας κάθε δραστηριότητας.

PERT - Πιθανότητες Η μεθοδολογία PERT χρησιμοποιεί τρεις (3) χρονικές εκτιμήσεις για κάθε δραστριότητα : Αισιόδοξη εκτίμηση ολοκλήρωσης - Optimistic Time Estimate (Topt), Πλέον πιθανός χρόνος ολοκλήρωσης - Most Likely Time Estimate (Tprob), και Απαισιόδοξη εκτίμηση χρόνου ολοκλήρωσης - Pessimistic Time Estimate (Tpess). Με αυτό τον τρόπο, ορίζεται ένα εύρος χρόνου ολοκλήρωσης, με την πλέον πιθανή εκτίμηση να είναι Tprob.

PERT Mathematics Η BETA κατανομή πιθανοτήτων probability distribution is what works behind PERT. Differential equation (διαφορική εξίσωση)- Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση

PERT Mathematics Η αλγεβρική επίλυση των εξισώσεων αυτών μας δίνει: Αναμενόμενος χρόνος ολοκήρωσης της δραστηριότητας E = (Topt + 4 x Tprob + Tpess) / 6 Διακύμανση της εκτίμησης V = (Tpess - Topt)2 / 62

PERT Mathematics Ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης (Ε) υπολογίζεται από E = (Topt + 4 x Tprob + Tpess) / 6 Ταυτόχρονα, η πιθανή διακύμανση (possible variance) (V) της εκτίμησης δίνεται από την εξίσωση: V = (Tpess - Topt)2 / 62 Μετά, υπολογίζουμε: Για κάθε δραστηριότητα που βρίσκεται στο κρίσιμο μονοπάτι, τις τιμές των παραμέτρων E and V. Στη συνέχεια το άθροισμα όλων των αναμενόμενων χρόνων υλοποίησης των Es υπολογίζεται. Αυτή η τιμή είναι η συνολική αναμενόμενη τιμή του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου.

PERT Mathematics Στη συνέχεια, αθροίζουμε τις διακυμάνσεις όλων των δραστηριοτήτων που βρίσκονται στο κρίσιμο μονοπάτι. Η τιμή αυτή είναι η διακύμανση του συνολικού έργοθ. Ακολούθως, υπολογίζεται η τυπική απόκλιση (standard deviation) του έργου. Η τυπική απόκλιση ισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Τέλος, η κανονική κατανομή πιθανότητας χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου με την επιθυμητή πιθανότητα.

Κανονική Κατανομή Η πιο χρήσιμη από όλες τις συνεχείς κατανομές είναι η κανονική κατανομή, που είναι όμως και μία από τις πιο δύσκολες να χειριστούν μαθηματικά. Με την κανονική κατανομή περιγράφονται πολύ καλά, μοντέλα πολλών φαινομένων του πραγματικού κόσμου, όπως το ύψος, το βάρος, το IQ, αποτελέσματα εξετάσεων, κ.λπ.

Κανονική κατανομή Μια κανονική κατανομή καθορίζεται από δύο πράγματα: τη μέση τιμή, μ, και τη τυπική απόκλιση, σ, η οποία είναι ένα μέτρο του πόσο απλώνεται η κατανομή. και …. Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) σ = √ (variance)

PERT - Example Δίνονται οι ακόλουθες δραστηριότητες με διάρκεια σε ημέρες. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα PERT για αυτό το πρόβλημα.

PERT - Example Δραστηριότητα (Activity) Εξαρτήσεις (Immediate Predecessor) Αισιόδοξη εκτίμηση (Optimistic) (a,Topt) Πλέον πιθανή εκτίμηση (Most Probable) (m,Tprob) Απαισιόδοξη εκτίμηση (Pessimistic) (b,Tpess) A - 4 5 12 B 3 4.5 15 C 2 D 6 8 22 E F G D,E 1.5 H 7 I J G,I

Υπολογισμός Αναμενόμενου Χρόνου Για να προχωρήσουμε στην επίλυση του προβλήματος θα πρέπει να υπολογίσουμε τον «Αναμενόμενο Χρόνο» (Expected Time) ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας. Η εξίσωση υπολογισμού του είναι: Αναμενόμενος Χρόνος ti = Όπου a = Αισιόδοξος χρόνος m = Πλέον Πιθανός χρόνος b = Απαισιόδοξος χρόνος i = Δραστηριότητα

Εξαρτήσεις (Immediate Predecessor) Υπολογισμός Αναμενόμενου Χρόνου Δραστηριότητα (Activity) Εξαρτήσεις (Immediate Predecessor) a m b Αναμενόμενος Χρόνος A - 4 5 12 tA = [a + 4m + b] /6 = [4 +(4*5) + 12/6] = [4 + 20 + 12] / 6 = 36/6 = 6 B 3 4.5 15 C 2 D 6 8 22 E F G D,E 1.5 H 7 I J G,I

Άσκηση … Υπολογίστε τον αναμενόμενο χρόνο για τη δραστηριότητα D και G. 5 λεπτά Σχεδιάσετε το δίκτυο 10 λεπτά

Υπολογισμός Αναμενόμενου Χρόνου Δραστηριότητα (Activity) Εξαρτήσεις (Immediate Predecessor) a m b Αναμενόμενος Χρόνος A - 4 5 12 tA = [a + 4m + b] /6 = [4 +(4*5) + 12/6] = [4 + 20 + 12] / 6 = 36/6 = 6 B 3 4.5 15 tB = 6 C 2 tC = 3 D 6 8 22 tD = 10 E tE = 6 F tF = 4 G D,E 1.5 tG = 3 H 7 tH = 8 I tI = 4 J G,I tJ = 4

Διάγραμμα Δικτύου H I B E START END A G J C D F

Καλές Πρακτικές Χρήση επιπέδων ώστε να υπάρχει σαφήνεια στο «δίκτυο» που αναπτύσσετε. Σαφές Κλειδί

PERT Diagram Forward pass Backward pass

Σωστό διάγραμμα PERT H I B START E J END A G C D F

Ανάλυση Δικτύου - Forward Pass 12 8 Max 20 20 4 24 H I 6 6 12 B 24 4 28 J 12 6 18 19 3 22 Star t End 6 6 E G A 9 10 19 6 3 9 D C 9 4 13 F

Ανάλυση Δικτύου - Backward Pass 12 8 20 20 4 24 H I 12 20 20 24 6 6 12 B 24 4 28 6 12 J 12 6 18 19 3 22 Star t End 24 28 6 6 E G 15 21 21 24 A 6 9 10 19 6 3 9 D Min C 11 21 8 11 9 4 13 F 24 28

Διακύμανση - Slack 12 8 20 20 4 24 H I 12 20 20 24 6 6 12 B 24 4 28 6 12 J 12 6 18 19 3 22 Star t End 24 28 6 6 E G A 15 21 21 2 24 6 9 10 19 6 3 9 D C 11 2 21 8 2 11 9 4 13 F 24 15 28

Critical Path 12 8 20 20 4 24 H I 12 20 20 24 6 6 12 B 24 4 28 6 12 J 12 6 18 19 3 22 Star t End 24 28 6 6 E G A 15 21 21 2 24 6 9 10 19 6 3 9 D C 11 2 21 8 2 11 9 4 13 F 24 15 28

Πιθανότητες Υποθέτουμε ότι η διακύμανση (variance) του έργου είναι 9,1 Ποια είναι η πιθανότητα το έργο να ολοκληρωθεί σε 27 ημέρες? 26 27 28 29 30

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας probability density function Μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Ν(μ, σ) έχει συγκεκριμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) PDF. Στη θεωρία των πιθανοτήτων, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function - PDF) της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, είναι μια συνάρτηση που περιγράφει την σχετική πιθανότητα για αυτή την τυχαία μεταβλητή να λάβει μια δεδομένη τιμή. Η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής να εμπίπτει μέσα σε ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών δίνεται από το ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής της μεταβλητής. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μη αρνητική παντού, και το ολοκλήρωμα της στο σύνολο του χώρου είναι ίσο με ένα.

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής Cumulative distribution function - Στη θεωρία των πιθανοτήτων, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function - CDF), ή απλά συνάρτηση κατανομής, περιγράφει την πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή Χ, με μια δεδομένη κατανομή πιθανοτήτων, να έχει μια τιμή μικρότερη ή ίση με x. Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής, δίνεται από το εμβαδόν κάτω από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας από το μείον άπειρο στο x.

Αβεβαιότητα Πιθανότητες Αβεβαιότητα Πιθανότητες Optimistic Time Estimate (Topt or a) Most Likely Time Estimate (Tprob or m) Pessimistic Time Estimate (Tpess or b).

PERT A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 H Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 H

PERT – Εκτίμηση χρόνου A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 H Δρασ/τα a m b Variance A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 H

PERT – Εκτίμηση χρόνου Expected Time = TE = t T = (a + (4*m) + b) / 6 Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 H Expected Time = TE = t T = (a + (4*m) + b) / 6 A = (1 + (4*2) + 3) / 6 = 2 B = (2 + (4*3) + 3) / 6 = 3

Αφού όμως είναι εκτίμηση είναι λογικό να υπάρχει διακύμανση (Variance) PERT – Εκτίμηση χρόνου Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 5 H Η τιμές αυτές είναι εκτίμηση του ΜΕΣΟΥ χρόνου που αναμένουμε να είναι αναγκαίος για την υλοποίηση των δραστηριοτήτων. Αφού όμως είναι εκτίμηση είναι λογικό να υπάρχει διακύμανση (Variance)

Υπολογισμός Διακύμανσης Variance Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 5 H

Υπολογισμός Διακύμανσης Variance Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 .11 B 4 C D 6 E 7 F 9 G 11 5 H Variance V = ( ( b – a) / 6)2 A = ( (3 – 1) / 6) 2 = (2/6)2 = .11 B = ( ( 4 – 2) / 6) 2 = (2/6) 2 = .11

Υπολογισμός Διακύμανσης Variance Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 .11 B 4 C D 6 .44 E 7 F 9 1.78 G 11 5 H

Κρίσιμο Μονοπάτι και διάρκεια Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 .11 B 4 C D 6 .44 E 7 F 9 1.78 G 11 5 H Βασικές Υποθέσεις: Το κρίσιμο μονοπάτι είναι ACEGH Θέλουμε να υπολογίσουμε την μεταβλητότητα του έργου Project Variance : Διάρκεια Έργου (Duration) = Άθροισμα διάρκειας των κρίσιμων δραστηριοτήτων = 2 + 2 + 4 + 5+ 2 = 15

Αθροιστική διακύμανση έργου Δρασ/τα a m b t αναμ/νος Variance A 1 2 3 .11 B 4 C D 6 .44 E 7 F 9 1.78 G 11 5 H

Τι σημαίνει? Το έργο μας θα έχει «διακύμανση» ίση με + or – 1,76 weeks Τι σημαίνει αυτό?

Out of Business Παράδειγμα & Δεδομένα Αντικείμενου Έργου Εγκατάσταση ενός συστήματος εξαερισμού που υπεδείχθη από το Υγειονομικό (air filtration system) Standard Deviation του έργου σ = 1.76 Πότε πρέπει το σύστημα να είναι εγκατεστημένο? Due Date = 16 εβδ. Διαφορετικά θα κλείσουν την επιχείρηση. Out of Business

Παράδειγμα & Δεδομένα Κρίσιμο μονοπάτι (Αναμενόμενος Χρόνος υλοποίησης) = 15 εβδ. Τυπική Απόκλιση (Standard Deviation) = + 1.76 Χρόνος Παράδοσης= 16 εβδ. Ο διευθυντής σας θέλει να γνωρίζει τις πιθανότητες να τελειώσετε το έργο εντός του διαθέσιμου χρόνου. Τι θα του απαντήσετε? Well, Sir. If I had to take a scientifically wild guess, I would say we have about 82% chance to getting this project completed on time

Z score Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε με ακρίβεια θα πρέπει να υπολογίσουμε το Z (statistical) score Z = (Due Date – Expected Date) / σp Z = (16 – 15) / 1.76 = 0.57

Πίνακας Κανονικής Κατανομής

Υπολογιμσός πιθανότητας

Τι σημαίνει αυτό? Σημαίνει ότι υπάρχει 0,7157 πιθανότητα ή 71.57% πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο έως την 16η εβδομάδα. Θα έπρεπε να ανησυχούμε? Φυσικά, αφού υπάρχει 28,43% πιθανότητα να μην ολοκληρωθεί το έργο εντός των 16 εβδομάδων και η επιχείρηση να κλέισει έως ότου αυτό ολοκληρωθεί.

Project Crashing Το ερώτημα τώρα είναι: Μπορούμε να μειώσουμε (cut short) τον αναμενόμενο χρόνο υλοποίησης του Project? Και αν ΝΑΙ, πώς?

CPM vs PERT CPM είναι κατάλληλη όταν είμαστε αρκετά σίγουροι για την διάρκεια κάθε δραστηριότητας. Η PERT είναι προτιμητέα σε περιπτώσεις με αβεβαιότητα, όταν δηλαδή δεν είμαστε σίγουροι για την ακριβή διάρκεια των δραστηριοτήτων ενός έργου.

Q&A Θα συνεχίσουμε ….