ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Διαγράμματα απόκρισης συχνότητας – Πολικά Διαγράμματα Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός συστήματος μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο της συχνότητας με την ακόλουθη σχέση: όπου Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να παρασταθεί με την πολική της μορφή, ως ακολούθως: με 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Οι συντεταγμένες του πολικού διαγράματος αντιστοιχούν στο πραγματικό και το φανταστικό μέρος της G(jω) 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Πολικά διαγράμματα απλών συναρτήσεων μεταφοράς Πολικό διάγραμμα παράγοντα παραγώγου και ολοκληρώματος Η πολική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς θα είναι: Στην πρώτη περίπτωση, το σύστημα θα έχει σταθερή φάση -900 και το μέτρο συνεχώς μειώνεται. Καθώς αυξάνει η συχνότητα, το διάγραμμα ταυτίζεται με τον αρνητικό φανταστικό άξονα. Στη δεύτερη περίπτωση, το σύστημα θα έχει σταθερή φάση 900 και το μέτρο συνεχώς αυξάνεται. Καθώς αυξάνει η συχνότητα, το διάγραμμα ταυτίζεται με τον θετικό φανταστικό άξονα. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρακάτω φαίνονται τα πολικά διαγράμματα για τον παράγοντα 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Πρωτοβάθμιοι παράγοντες Α. Η πολική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς θα είναι: Από την παραπάνω σχέση διακρίνω τις εξής περιπτώσεις, για τις διάφορες τιμές της συχνότητας: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, το πολικό διάγραμμα αυτού του παράγοντα είναι μια ημιπεριφέρεια κύκλου, στο κάτω δεξιό μιγαδικό επίπεδο, καθώς η συχνότητα μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο. Το κέντρο της περιφέρειας βρίσκεται στο σημείο (0.5,0j) με ακτίνα 0.5. Για Τ<0, λαμβάνουμε το συμμετρικό ως προς τον πραγματικό άξονα πολικό διάγραμμα. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Β. Η πολική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς θα είναι: Σε αυτή την περίπτωση, ουσιαστικά έχουμε την περίπτωση του παράγοντα της παραγώγου, μετατοπισμένο κατά 1. Άρα το πολικό διάγραμμα θα είναι μια ευθεία κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο (1,0j), το οποίο φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Δευτεροβάθμιοι παράγοντες της μορφής: Α. Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από την παρακάτω σχέση: Από την παραπάνω σχέση διακρίνω τις εξής περιπτώσεις, για τις διάφορες τιμές της συχνότητας: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Όπως βλέπουμε από το διπλανό σχήμα, το πολικό διάγραμμα ξεκινάει από το σημείο 1 με 00 και καταλήγει στο 0 με 1800, δηλαδή εφάπτεται στον πραγματικό άξονα, καθώς το ω κυμαίνεται από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Το σημείο που τέμνει το πολικό διάγραμμα το φανταστικό άξονα εξαρτάται από το ζ και τον τέμνει όταν ω=ωn, δηλαδή στη συχνότητα συντονισμού. Τότε έχουμε και το μέγιστο μέτρο. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Δευτεροβάθμιοι παράγοντες της μορφής: Α. Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από την παρακάτω σχέση: Για τις διάφορες τιμές της συχνότητας διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Λόγω της μορφής του φανταστικού και του πραγματικού μέρους της συνάρτησης μεταφοράς έχουμε ότι για , το φανταστικό μέρος είναι πάντα θετική ποσότητα και το πραγματικό μέρος είναι συνάρτηση αύξουσα μονότονη με σημείο εκκίνησης το 1. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Αρχή των ορισμάτων – Θεώρημα του Cauchy Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist στηρίζεται εξ’ ολοκλήρου στο θεώρημα του Cauchy για τις μιγαδικές συναρτήσεις. Το θεώρημα του Cauchy αναφέρεται στην απεικόνιση μίας κλειστής καμπύλης μέσω μιας συνάρτησης απεικόνισης F(s), η οποία παρουσιάζει πεπερασμένο πλήθος πόλων και μηδενικών στο σύνολο των σημείων που ορίζουν μια επιφάνεια που περικλείεται από τη συγκεκριμένη καμπύλη, έτσι ώστε η συνάρτηση της F(s) να μπορεί να εκφραστεί ως εξής: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι όπου si είναι ένα μηδενικό της F(s) και sk ένας πόλος. Η συνάρτηση απεικόνισης F(s) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση: όπου Επομένως, θα είναι: Από την οποία βλέπουμε ότι οι πόλοι της F(s) συμπίπτουν με τους πόλους της L(s). Άρα τα μηδενικά της F(s) είναι αυτά που αντιστοιχούν στις ρίζες του συστήματος και αντιπροσωπεύουν τη συμπεριφορά του. 11η Διάλεξη

Θεώρημα του Cauchy – Αρχή των ορισμάτων: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Θεώρημα του Cauchy – Αρχή των ορισμάτων: Αν μια κλειστή καμπύλη Γs περικλείει Z μηδενικά και P πόλους μιας συνάρτησης F(s) στο μιγαδικό επίπεδο, ενώ ταυτόχρονα στα σημεία που ορίζουν την ίδια καμπύλη δεν ανήκει κανένα μηδενικό ή πόλος της F(s) και η φορά διαγραφής της συμπίπτει με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, τότε η εικόνα ΓF της αρχικής καμπύλης στο επίπεδο απεικόνισης που ορίζεται από τη σχέση F(s), περικλείει το σημείο της αρχής των αξόνων του επιπέδου απεικόνισης N=Z-P φορές κατά τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση απεικόνισης η οποία έχει ένα μηδενικό στο s=0 και ένα πόλο στο s=-2. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η κλειστή καμπύλη Γs που φαίνεται στο πρώτο σχήμα περικλείει μόνο το μηδενικό και όχι τον πόλο και κανένα από τα δύο δεν είναι σημείο της Γs. Άρα, σύμφωνα με την αρχή των ορισμάτων, η εικόνα της στο επίπεδο απεικόνισης (F(s)-επίπεδο), που φαίνεται στο δεύτερο σχήμα, περικλείει την αρχή των αξόνων N=Z-P=1-0=1 φορά, κατά τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist Θεωρώ το σύστημα αυτομάτου ελέγχου με χαρακτηρηστική εξίσωση, η οποία δίνεται από την εξίσωση: Στην ουσία με το κριτήριο Nyquist, ερευνούμε τη ευστάθεια του κλειστού! ‘Ετσι, για να είναι ένα σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα μηδενικά της F(s) να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Κατά συνέπεια, οι ρίζες ενός ευσταθούς συστήματος θα πρέπει να εντοπίζονται στην αριστερή πλευρά του φανταστικού άξονα. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Επειδή το κριτήριο Nyquist στηρίζεται εξ’ ολοκλήρου στην αρχή των ορισμάτων, επιλέγουμε μια καμπύλη Γs στο μιγαδικό επίπεδο, η οποία περικλείει ολόκληρο το δεξί ημιεπίπεδο και διερευνούμε αν και κατά πόσο η καμπύλη αυτή περικλείει κάποιο μηδενικό της F(s). Η κλειστή καμπύλη Nyquist φαίνεται στο διπλανό σχήμα . Η καμπύλη Γs διασχίζει κατά μήκος τον φανταστικό άξονα από το έως το και το τμήμα της καμπύλης αντιστοιχεί στην F(jω). Η καμπύλη ολοκληρώνεται με ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας r, όπου η ποσότητα r τείνει στο άπειρο. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Σύμφωνα με το κριτήριο του Nyquist, η συνάρτηση απεικόνισης που χρησιμοποιείται κάθε φορά είναι η χαρακτηρηστική εξίσωση: καθώς και με το πλήθος των κυκλώσεων της αρχής των αξόνων από την απεικόνιση της αρχικής καμπύλης. Εναλλακτικά μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση έτσι ώστε: της οποίας η διαφορά από την παραπάνω εξίσωση, που είναι και ο λόγος που θα την χρησιμοποιήσουμε είναι ότι η παράσταση L(s) είναι γενικά ρητή συνάρτηση ενώ η L(s)+1 δεν είναι. Έτσι, η απεικόνιση της καμπύλης Γs θα γίνει μέσω της στο επίπεδο που ορίζει πλέον η L(s). Οπότε μας ενδιαφέρει πλέον ο αριθμός των κυκλώσεων του σημείου -1 κατά τη θετική φορά διαγραφής της καμπύλης στο L(s)-επίπεδο. 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Αν ο αριθμός των πόλων της L(s) που βρίσκονταιστο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο είναι ίσος με το μηδέν, το κριτήριο Nyquist μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου είναι ευσταθές αν και μόνο αν η καμπύλη ΓL στο επίπεδο της L(s), ΔΕΝ περικλείει το σημείο (-1,0). Αν ο αριθμός των πόλων της L(s) που βρίσκονταιστο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο είναι διάφορος του μηδενός, το κριτήριο Nyquist μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου είναι ευσταθές αν και μόνο αν, το πλήθος των κυκλώσεων του σημείου (-1,0) από την καμπύλη ΓL κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού (αρνητική), ισούται με το πλήθος των πόλων της L(s), οι οποίοι έχουν θετικά πραγματικά μέρη. Για την απεικόνιση το πλήθος των ριζών της παράστασης 1+L(s) που βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, δίνεται από τη σχέση Z=N+P 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Σχετική ευστάθεια συστήματος και το κριτήριο Nyquist Απόλυτη ευστάθεια Η απόλυτη ευστάθεια ενός κλειστού συστήματος εξασφαλίζεται από την εκπλήρωση της απαίτησης οι ρίζες της χαρακτηρηστικής του εξίσωσης να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο. Σχετική ευστάθεια Η σχετική ευστάθεια του συστήματος ορίζεται ως η ιδιότητα η οποία μετριέται με τη γειτνίαση της καμπύλης GH(jω) (ή L(jω)) στο οριακό σημείο ευστάθειας που στην περίπτωση των διαγραμμάτων Nyquist είναι το (-1,0). Οι παράμετροί, που δίνουν πληροφορίες για τη σχετική ευστάθεια ενός κλειστού συστήματος είναι το περιθώριο κέρδους (GM) και το περιθώριο φάσης (PM). 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Το περιθώριο κέρδους αποτελεί την ποσότητα κατά την οποία πρέπει να αυξηθεί το κέρδος ενός συστήματος, έτσι ώστε το σημείο του διαγράμματος Nyquist στο οποίο η φασική γωνία είναι -1800 να συναντήσει το σημείο (-1,0) και το σύστημα να είναι οριακά ευσταθές (GM>1) Το περιθώριο φάσης ισούται με την ολίσθηση φάσης που πρέπει να υποστεί το διάγραμμα της L(jω) από το σημείο του διαγράμματος Nyquist που ισούται με τη μονάδα, μέχρι το σημείο (-1,0), όπου το σύστημα είναι οριακά ευσταθές (PM>0). 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Συσχέτιση του συντελεστή απόσβεσης ζ ενός υποαποσβεννύμενου συστήματος με το περιθώριο φάσης Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος δεύτερης τάξης με ζ<1 που φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι: με συνάρτηση μεταφοράς: Εκφράζοντας την αρχική συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο της συχνότητας έχουμε: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Το μέτρο της συνάρτησης της απόκρισης συχνότητας ισούται με τη μονάδα στη συχνότητα ωc: Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: και λύνοντας ως προς ωc έχουμε: 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Έτσι το περιθώριο φάσης σε συνάρτηση με το συντελεστή απόσβεσης είναι: Μια προσεγγιστική σχέση ανάμεσα στο περιθώριο φάσης και το συντελεστή απόσβεσης δίνεται από την παρακάτω σχέση: όπου το περιθώριο φάσης μετριέται σε μοίρες. Η σχέση αυτή είναι πολύ ακριβής για ένα σύστημα δεύτερης τάξης και για 11η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρακάτω φαίνεται το διάγραμμα του συντελεστή απόσβεσης συναρτήσει του περιθωρίου φάσης ενός συστήματος 2ης τάξης. 11η Διάλεξη

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ NYQUIST ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ NYQUIST Δίνεται το σύστημα του διπλανού σχήματος με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου Στην περίπτωση αυτή είναι L(s)=GH(s) και θα ορίσουμε μία κλειστή καμπύλη ΓL=ΓGH στο επίπεδο που ορίζεται από την απεικόνιση L(s) (L(s)-επίπεδο). Η καμπύλη Nyquist σε αυτό το παράδειγμα παρουσιάζει μια απειροελάχιστη απόκλιση στην αρχή των αξόνων, η οποία αντιστοιχεί σε ένα μικρό ημικύκλιο με ακτίνα , με Η απόκλιση αυτή προκύπτει από το θεώρημα του Cauchy, σύμφωνα με το οποίο κανένας πόλος ή μηδενικό της L(s) δεν ανήκει πάνω στην καμπύλη Γs. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Για να προχωρήσουμε στην δημιουργία της καμπύλης ΓL, θα χωρήσουμε την Γs σε τέσσερα διαφορετικά τμήματα, σε σχέση με τη συχνότητα και τις ακτίνες των ημικυκλίων: θα είναι με και θα είναι για θα είναι με 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 1ο τμήμα Το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης Nyquist στο L(s)-επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς το οπότε και θα έχουμε: Όμως για θα είναι: Η τελευταία σχέση αποδεικνύει ότι η μικρή περιφέρεια γύρω από το s=0 της καμπύλης Nyquist απεικονίζεται σε ημιπεριφέρεια με άπειρη ακτίνα που διαγράφεται κατά την αντίθετη φορά απ’ ότι η μικρή, λόγω του ότι έχουμε e-jφ. Τα σημεία της καμπύλης Nyquist, A, B, C στο s-επίπεδο απεικονίζονται ένα προς ένα στα αντίστοιχα σημεία A, B, C του L(s)-επιπέδου. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 2ο τμήμα Το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης Nyquist στο L(s)-επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς το s=jω οπότε και θα έχουμε: Θα χωρίσουμε τις συχνότητες σε τρεις κατηγορίες, στις χαμηλές, στις μεσαίες και στις υψηλές. Οπότε έχουμε: στις χαμηλές, δηλαδή για είναι: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η καμπύλη στο L(s)-επίπεδο έχει ασύμπτωτη στο (-KT,0). 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι στις μεσαίες συχνότητες έχουμε: & στις υψηλές συχνότητες έχουμε: 3ο τμήμα Το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης Nyquist στο L(s)-επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς το οπότε και θα έχουμε: 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Όμως για θα είναι: Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι για άπειρη συχνότητα προκύπτει ότι η καμπύλη Nyquist απεικονίζεται με ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα με απειροελάχιστη ακτίνα (το μέτρο της GH(s) ισούται πάντα με μήδεν ή με μία σταθερά), το οποίο κινείται από μία γωνία -1800 έως +1800. 4ο τμήμα Το 3ο τμήμα είναι το συμμετρικό ως προς τον πραγματικό άξονα του 2ου τμήματος. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε την απεικόνιση της συνάρτησης GH. Όσον αφορά την ευστάθεια του συστήματος παρατηρούμε ότι δεν έχουμε κανένα πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Όποτε, σύμφωνα με το κριτήριο Nyquist, πρέπει Ν=Ζ=0 που ισχύει και η απεικόνιση ΓGH να μην περικλείει το σημείο (-1,0), το οποίο συμβαίνει για οποιαδήποτε τιμή του τ. Άρα το σύστημα είναι πάντα ευσταθές. 12η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρακάτω βλέπουμε τα διαγράμματα Nyquist για τ=0.1 και για τ=10. 12η Διάλεξη