Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματική Λογική

Μαθηματική Λογική Η μαθηματική λογική εξετάζει τις μαθηματικές προτάσεις, δηλαδή τις προτάσεις που μπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς ή ψευδείς. Για παράδειγμα Για κάθε x,y  R, (x+y)2 = x2+y2+2xy Για κάθε x,y  R και για κάθε k  N, (x+y)k = xk+yk+kxy Για κάθε φυσικό αριθμό ν το ν!+1 είναι πρώτος αριθμός Κάθε αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Η δεύτερη και η τρίτη πρόταση είναι ψευδείς. Δεν γνωρίζουμε τι ισχύει για την τέταρτη (εικασία του Goldbach)

Λογική Στην φυσικά γλώσσα υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς ή ψευδείς Μην πατάτε το πράσινο. Μακάρι να ήταν καλοκαίρι! Ποιος Θανάσης; Είμαι μία ψευδής πρόταση. Το κύριο αντικείμενο της μαθηματικής λογικής είναι να κατηγοριοποιήσει και να συστηματοποιήσει τις ακολουθίες τύπων που αποτελούν αποδείξεις.

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στην προτασιακή λογική χρησιμοποιούμε ένα σύνολο ατομικών προτάσεων. Οι σύνθετες προτάσεις σχηματίζονται από ατομικές προτάσεις χρησιμοποιώντας προτασιακούς συνδέσμους. Άρνηση  (όχι) Σύζευξη  (και) Διάζευξη  (ή) Συνεπαγωγή  Ισοδυναμία 

Άρνηση Η πρόταση  Α (όχι Α) είναι αληθής αν και μόνο αν η Α είναι ψευδής. Πίνακας αληθοτιμών Α  Α True False

Σύζευξη Η πρόταση Α  Β (Α και Β) είναι αληθής αν και μόνο αν οι προτάσεις Α και Β είναι και οι δύο αληθείς. Πίνακας αληθοτιμών Α Β Α  Β True False

Διάζευξη Η πρόταση Α  Β (Α ή Β) είναι αληθής αν και μόνο αν τουλάχιστον μία από τις δύο προτάσεις Α και Β είναι αληθής. Πίνακας αληθοτιμών Α Β Α  Β True False

Συνεπαγωγή Η πρόταση Α  Β (Α συνεπάγεται Β) είναι ψευδής αν και μόνο αν η πρόταση Α είναι αληθής και η Β είναι ψευδής. Πίνακας αληθοτιμών Α Β Α  Β True False

Ισοδυναμία Η πρόταση Α  Β (Α ισοδυναμεί Β) είναι αληθής αν και μόνο αν οι προτάσεις Α και Β έχουν την ίδια αληθοτιμή. Πίνακας αληθοτιμών Α Β Α  Β True False

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Αντιμεταθετική ιδιότητα (ισοδύναμες προτάσεις) Α  Β Β  Α Α  Β Β  Α Α  Β Β  Α

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Προσεταιριστική ιδιότητα (ισοδύναμες προτάσεις) Α  (Β  Γ) (Α  Β)  Γ Α  (Β  Γ) (Α  Β)  Γ Α  (Β  Γ) (Α  Β)  Γ

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Επιμεριστική ιδιότητα (ισοδύναμες προτάσεις) Α  (Β  Γ) (Α  Β)  (Α  Γ) Α  (Β  Γ) (Α  Β)  (Α  Γ)

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Επιμεριστική ιδιότητα (ισοδύναμες προτάσεις) Α  Β  Α  Β Β  Α Α  Β (Α  Β)  (Β  Α) (Α  Β)  ( Β   Α) (Α  Β)  ( Β   Α)

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Ιδιότητες συνεπαγωγής και ισοδυναμίας (ισοδύναμες προτάσεις) Α  Β  Α  Β Β  Α Α  Β (Α  Β)  (Β  Α) (Α  Β)  ( Β   Α) (Α  Β)  ( Β   Α)

Ιδιότητες λογικών συνδέσμων Ιδιότητες άρνησης (ισοδύναμες προτάσεις)   Α Α  (Α  Β)  Α   Β  (Α  Β)  Α   Β  (Α  Β) Α   Β  (Α  Β) (Α   Β)  ( Α  Β)

Παράδειγμα Α Β  Β Α  Β Α   Β  (Α  Β) T F

Στοιχεία Πρωτοβάθμιας Λογικής Για να διατυπώσουμε μαθηματικές προτάσεις συνήθως χρησιμοποιούμε την πρωτοβάθμια ή κατηγορηματική λογική. Οι μεταβλητές και οι σταθερές αποτελούν απλούς όρους. Σύνθετοι όροι σχηματίζονται χρησιμοποιώντας συναρτησιακά σύμβολα. 0, 1, π (σταθερές) x, y, k (μεταβλητές) f(x), sin y, a+b (σύνθετοι όροι) Οι όροι ερμηνεύονται ως αντικείμενα συνόλου αναφοράς με βάση Την ερμηνεία των σταθερών Την ερμηνεία των μεταβλητών Την ερμηνεία των συναρτησιακών συμβόλων

Στοιχεία Πρωτοβάθμιας Λογικής Οι απλές προτάσεις σχηματίζονται από κατηγορήματα που παίρνουν ως ορίσματα όρους. Τα κατηγορήματα αποδίδουν ιδιότητες στα αντικείμενα του συνόλου αναφοράς ή περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των αντικειμένων. Παραδείγματα ατομικών προτάσεων x=y (x είναι ίσο με y) x>y (x είναι μεγαλύτερο από y) odd(n) (n είναι περιττός) Κάθε ατομική πρόταση μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής με βάση Την ερμηνεία των όρων Την ερμηνεία των συμβόλων κατηγορημάτων

Στοιχεία Πρωτοβάθμιας Λογικής Οι προτάσεις πρωτοβάθμιας λογικής σχηματίζονται από ατομικές προτάσεις χρησιμοποιώντας τους λογικούς συνδέσμους , , , ,  και τους ποσοδείκτες  (για κάθε),  (υπάρχει). Κάθε πρόταση πρωτοβάθμιας λογικής μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής με βάση τις αληθοτιμές των ατομικών προτάσεων την ερμηνεία των λογικών συνδέσμων και των ποσοδεικτών, η οποία είναι πάντοτε η ίδια

Ποσοδείκτες Καθολικός ποσοδείκτης: Η πρόταση x A(x) (για κάθε x ισχύει Α(x)) είναι αληθής αν και μόνο αν η Α(x) αληθεύει για κάθε τιμή του x μέσα από το σύνολο αναφοράς (δηλαδή για κάθε ερμηνεία της μεταβλητής x). Υπαρξιακός ποσοδείκτης: Η πρόταση x Α(x) (υπάρχει x τέτοιο ώστε Α(x)) είναι αληθής αν και μόνο αν Α(x) αληθεύει για μία τουλάχιστον τιμή του x μέσα από το σύνολο αναφοράς (δηλαδή μία ή περισσότερες ερμηνείες της μεταβλητής x).

Παραδείγματα Έστω σύνολο αναφοράς οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Η πρόταση x <10  x< 10 είναι αληθής για όλα τα x.

Ιδιότητες Ποσοδεικτών Τα παρακάτω ζεύγη προτάσεων είναι ισοδύναμα. x A(x) x A(x) x A(x) x A(x) xy A(x,y) yx A(x,y) xy A(x,y) yx A(x,y) x (A(x)  B(x)) x A(x)  x B(x) x (A(x)  B(x)) x A(x)  x B(x)

Ιδιότητες Ποσοδεικτών x (A(x)  B(x)) και x A(x)  x B(x) δεν είναι πάντοτε ισοδύναμες. Για παράδειγμα στους φυσικούς αριθμούς Η πρόταση x (x-1=0  x-2=0) είναι ψευδής. Η πρόταση x x-1=0  x x-2=0 είναι αληθής. Ισχύει όμως αν η x (A(x)  B(x)) είναι αληθής τότε και η x A(x)  x B(x) είναι αληθής.

Ιδιότητες Ποσοδεικτών x (A(x)  B(x)) και x A(x)  x B(x) δεν είναι πάντοτε ισοδύναμες Για παράδειγμα για τους φυσικούς αριθμούς Η πρόταση x (άρτιος(x)  περιττός(x)) είναι αληθής. Η πρόταση x άρτιος(x)  x περιττός(x) είναι ψευδής. Ισχύει όμως αν η x A(x)  x B(x) είναι αληθής τότε και η x (A(x)  B(x)) είναι αληθής.

Ιδιότητες Ποσοδεικτών x y A(x,y) και y x A(x,y) δεν είναι πάντοτε ισοδύναμες. Για παράδειγμα στους φυσικούς αριθμούς Η πρόταση x y x<y είναι αληθής. Η πρόταση y x x<y είναι ψευδής. Ισχύει όμως αν η y x A(x,y) είναι αληθής τότε και η x y A(x,y) είναι αληθής.

Αποδείξεις Απόδειξη ονομάζεται η τεκμηρίωση της αλήθειας μια μαθηματικής πρότασης, ξεκινώντας από προτάσεις που γνωρίζουμε ότι είναι αληθείς, χρησιμοποιώντας κάποιους λογικούς επαγωγικούς κανόνες. Οι κανόνες που εφαρμόζουμε για να αποδείξουμε μία πρόταση καθορίζονται από την δομή της πρότασης.

Αποδείξεις - Σύζευξη Για να αποδείξουμε ότι μία σύζευξη Α  Β είναι αληθής πρέπει να αποδείξουμε ότι η Α είναι αληθής και να αποδείξουμε ότι η Β είναι αληθής. Για να αποδείξουμε ότι μία σύζευξη Α  Β είναι ψευδής πρέπει να αποδείξουμε ότι (Α  Β) είναι αληθής ή ότι Α είναι αληθής (Α ψευδής) ή ότι Β είναι αληθής (Β ψευδής). Γιατί  (Α  Β) είναι ισοδύναμη με  Α   Β.

Αποδείξεις - Διάζευξη Για να αποδείξουμε ότι μία διάζευξη Α  Β είναι ψευδής πρέπει να αποδείξουμε ότι η άρνησή της είναι αληθής. Με βάση τους πίνακες η (Α  Β) είναι ισοδύναμη με την  Α   Β, άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι η Α είναι ψευδής και η Β είναι ψευδής.

Αποδείξεις - Συνεπαγωγή Για να αποδείξουμε ότι μία συνεπαγωγή Α  Β είναι αληθής βλέπουμε ότι αν η Α είναι ψευδής τότε η Α  Β είναι αληθής επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε την Α αληθή και με βάση αυτό να αποδείξουμε την Β. Εναλλακτικά αρκεί να αποδείξουμε ότι  Α   Β είναι αληθής.

Αποδείξεις - Ισοδυναμία Για να αποδείξουμε ότι μία ισοδυναμία Α  Β είναι αληθής αρκεί να αποδείξουμε ότι Α  Β και ότι Β Α. Εναλλακτικά αρκεί να αποδείξουμε ότι Α  Β και ότι  Α   Β.

Αποδείξεις – Υπαρξιακή Πρόταση Για να αποδείξουμε ότι μια υπαρξιακή πρόταση x A(x) είναι αληθής αρκεί να προσδιορίσουμε μία τιμή του x για την οποία αληθεύει η Α(x).

Αποδείξεις – Καθολική Πρόταση Για να δείξουμε ότι μία καθολική πρόταση x A(x) είναι ψευδής αρκεί να βρούμε μία τιμή του x για την οποία η Α(x) είναι ψευδής. Παράδειγμα: Η πρόταση «Για κάθε φυσικό αριθμό ν το ν!+1 είναι πρώτος» είναι ψευδής γιατί για ν=4 έχουμε 4!+1=25 που δεν είναι πρώτος. Για να δείξουμε ότι μία καθολική πρόταση είναι ψευδής δείχνουμε ότι η άρνηση της είναι αληθής. Παράδειγμα: Η πρόταση «Για κάθε x,y,k ισχύει (x+y)k = xk+yk+kxy» είναι ψευδής γιατί υπάρχουν x,y,k τέτοια ώστε (x+y)k ≠ xk+yk+kxy. Για x=3, y=4, k=3 έχουμε (3+2)3=125 ενώ 33+23+323=53

Αποδείξεις Για να αποδείξουμε ότι μία καθολική πρόταση είναι αληθής ή ότι μία υπαρξιακή πρόταση είναι ψευδής χρειαζόμαστε πιο γενικά επιχειρήματα. Αν μία πρόταση περιέχει και υπαρξιακού και καθολικούς ποσοδείκτες τότε η σειρά των ποσοδεικτών παίζει ρόλο. Παράδειγμα Για κάθε x υπάρχουν y,z τέτοια ώστε x=y+z. ΑΛΗΘΗΣ Υπάρχουν y,z τέτοια ώστε για κάθε x να ισχύει x=y+z. ΨΕΥΔΗΣ

Παράδειγμα Θεωρία Ramsey: Ανάμεσα σε 6 ανθρώπους είτε υπάρχουν τρεις που γνωρίζονται όλοι μεταξύ τους είτε υπάρχουν τρεις που είναι μεταξύ τους άγνωστοι. Αν ο x γνωρίζει τουλάχιστον τρεις από τους υπόλοιπους (τους α, β, γ) τότε είτε οι α,β,γ είναι άγνωστοι μεταξύ τους οπότε ο ισχυρισμός αληθεύει ή τουλάχιστον δύο γνωρίζονται μεταξύ τους έστω οι α,β. Τότε οι x,α,β είναι μεταξύ τους γνωστοί και ο ισχυρισμός αληθεύει. Αν ο x γνωρίζει το πολύ 2 από τους υπόλοιπους τότε υπάρχουν τουλάχιστον 3 (οι α,β,γ) τους οποίους δεν γνωρίζει. Οι α,β,γ είτε είναι γνωστοί μεταξύ τους οπότε ο ισχυρισμός ισχύει είτε τουλάχιστον δύο δεν γνωρίζονται έστω οι α,β. Τότε οι x,α,β είναι άγνωστοι μεταξύ τους και ο ισχυρισμός αληθεύει.

Επαγωγή Για να δείξουμε ότι μία πρόταση αληθεύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς νν0 δείχνουμε ότι Η πρόταση αληθεύει για ν=ν0 . Αν η πρόταση αληθεύει για ν=κ τότε αληθεύει και για ν=κ+1, για κάθε κ  ν0 Παράδειγμα: Για κάθε ν  10, 2ν > ν3 Βάση Επαγωγής: Η πρόταση ισχύει για ν=10 γιατί 210=1024>1000=103 Επαγωγική Υπόθεση: Έστω ότι η πρόταση ισχύει για το κ  10 Επαγωγικό Βήμα: Θα δείξω ότι ισχύει και για το κ+1 2κ+1=22κ > (1+1/10)32κ  (1+1/κ)32κ > (1+1/κ)3κ3 =(κ+1) 3

Βάση Επαγωγής: Η πρόταση ισχύει για ν=4 (2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ) Επαγωγή - Παράδειγμα Τα ΑΤΜ δίνουν χαρτονομίσματα των 20 και 50 ευρώ. Με αυτά τα χαρτονομίσματα μπορώ να σχηματίσω οποιοδήποτε ποσό πολλαπλάσιο των 10 ευρώ που να είναι ίσο ή μεγαλύτερο των 40 ευρώ. Αρκεί να δείξω με επαγωγή στο ν ότι μπορώ να σχηματίσω το ποσό των 10ν ευρώ για κάθε ν  4. Βάση Επαγωγής: Η πρόταση ισχύει για ν=4 (2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ) Επαγωγική Υπόθεση: Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κ4 Επαγωγικό Βήμα: Στο ποσό ανάληψης έχω χαρτονόμισμα των 50 ευρώ το αντικαθιστώ με 3 των 20 ευρώ το ποσό που σχηματίζεται είναι 10κ-50+3 20=10(κ+1) Στο ποσό ανάληψης δεν έχω χαρτονόμισμα των 50 ευρώ, αντικαθιστώ 2 των 20 ευρώ με ένα των 50, το ποσό που σχηματίζεται είναι 10κ-2 20+ 50=10(κ+1) Άρα η πρόταση ισχύει και για κ+1.

Καρτεσιανό Γινόμενο Ιδιότητες Σχέσεων Διατάξεις Σχέσεις Καρτεσιανό Γινόμενο Ιδιότητες Σχέσεων Διατάξεις

Το ζεύγος (α,β) διαφέρει από το σύνολο {α,β}. Διατεταγμένο Ζεύγος Διατεταγμένο ζέυγος ονομάζεται μία δυάδα αντικειμένων με καθορισμένη σειρά. Συμβολίζεται (α,β) όπου α: το πρώτο στοιχείο και β: το δεύτερο στοιχείο. Το ζεύγος (α,β) διαφέρει από το σύνολο {α,β}. Στο ζεύγος υπάρχει διάταξη (α,β)≠(β,α) Στο ζεύγος επιτρέπεται να ισχύει α=β δηλαδή μπορούμε να έχουμε ζεύγος (α,α). Η έννοια του ζεύγους γενικεύεται στην διατεταγμένη ν-άδα (α1,α2,…,αν) = ((α1,α2,…,αν-1), αν)

Καρτεσιανό Γινόμενο Καρτεσιανό Γινόμενο των συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο ΑΒ={(α,β)|αΑ, βΒ}. Παράδειγμα: {α,β,γ}  {1,2} = {(α,1), (α,2), (β,1), (β,2), (γ,1), (γ,2)}. Η πράξη γενικεύεται και μπορούμε να έχουμε Καρτεσιανό γινόμενο τριών συνόλων ΑΒΓ = (ΑΒ)Γ αλλά και ν συνόλων.

Διμελής Σχέση Διμελής Σχέση από το Α στο Β είναι ένα υποσύνολο του ΑΒ. Αν (α,β)  R τότε το α σχετίζεται με το β μέσω της R και συχνά γράφουμε αRβ ή R(α,β). Παράδειγμα: {(α,β) | ο φοιτητής α έχει περάσει το μάθημα β} {(α,β) | το προϊόν α περιέχει το συστατικό β} Μπορούμε να αναπαραστήσουμε μία διμελή σχέση Ως σύνολο {(Μαρία, Διακριτά), (Αντώνης, Διακριτά), (Αντώνης, Θεωρία Παιγνίων), (Φώτης, Θεωρία Παιγνίων)} Με πίνακα Με διάγραμμα Διακριτά Θ.Παιγνίων Μαρία  Αντώνης Φώτης Μαρία Διακριτά Αντώνης Θ.Παιγνίων Φώτης

Ν-μελής Σχέσεις Τριμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α,Β,Γ ονομάζεται ένα υποσύνολο του ΑΒΓ. Παράδειγμα: {(α,β,γ) | ο φοιτητής α έχει δηλώσει το μάθημα β το ακαδημαικό εξάμηνο γ} Ν-μελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α1,Α2,…,ΑΝ ονομάζεται ένα υποσύνολο του Α1Α2… ΑΝ Παράδειγμα: {(α,β,γ,δ,ε) | η αυτοκινητοβιομηχανία α παράγει το μοντέλο β στα γ κυβικά με δ ίππους στο ε χρώμα}

Σχέσεις επί ενός συνόλου Σχέση επί ενός συνόλου Α ονομάζεται το υποσύνολο του Α  Α. Παραδείγματα: Σύνολο φυσικών αριθμών: <,  Σύνολο ανθρώπων: Α={(α,β) | ο α είναι αδερφός του β} Σύνολο μαθημάτων: όπου α~β ανν το α είναι στο ίδιο έτος με το β. Σύνολο εργασιών: όπου αβ ανν η εργασία α προαπαιτεί την εργασία β.

Ιδιότητες Σχέσεων – Ανακλαστικές Σχέσεις Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται ανακλαστική αν (α,α)R για κάθε στοιχείο α  R (κάθε στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του). Ανακλαστικές σχέσεις: , ,  Μη ανακλαστικές σχέσεις: <,  Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται αντιανακλαστική αν (α,α)R για κάθε στοιχείο α  R (κανένα στοιχείο δεν σχετίζεται με τον εαυτό του). Υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι ούτε ανακλαστικές ούτε αντιανακλαστικές. R={(α,β) | α2<β} ισχύει ότι (3/4,3/4)R ενώ (6/5,6/5)R

Ιδιότητες Σχέσεων – Συμμετρικές Σχέσεις Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται συμμετρική αν (α,β)R συνεπάγεται (β,α)R, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α (το α σχετίζεται με το β συνεπάγεται ότι και το β σχετίζεται με το α). Συμμετρικές σχέσεις:  Μη Συμμετρικές σχέσεις: <, , ,  Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται αντισυμμετρική αν (α,β)R και (β,α)R συνεπάγεται α=β, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α. Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται ασύμμετρη αν (α,β)R συνεπάγεται (β,α)R, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α