Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Ψηφιακή Σχεδίαση Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής

Η Μέθοδος του Χάρτη Ονομάζεται αλλιώς και Χάρτης Karnaugh ή Χάρτης Κ (K-map) Οι χάρτες Karnaugh είναι ένας τρόπος αναπαράστασης των λογικών συναρτήσεων. Ο χάρτης Karnaugh είναι ένας πίνακας όπου το κάθε τετράγωνο αναπαριστά ένα συνδυασμό των μεταβλητών, δηλαδή κάθε τετράγωνο ενός χάρτη Karnaugh αντιστοιχεί σε έναν ελάχιστο ή μέγιστο όρο της λογικής συνάρτησης που αναπαριστά.

Πλεονεκτήματα Χρήσης Χάρτη Karnaugh Αν και ο πίνακας αληθείας μιας λογικής συνάρτησης είναι μοναδικός, ωστόσο όταν η συνάρτηση εκφραστεί αλγεβρικά μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές μορφές. Η αλγεβρική συνάρτηση μπορεί να απλοποιηθεί με τους τρόπους που είδαμε στο προηγούμενο μάθημα, ωστόσο: Αυτός ο τρόπος δεν είναι πρακτικός Δεν μπορεί να γίνει πρόβλεψη του επόμενου βήματος απλοποίησης κάνοντας έτσι πιο πολύπλοκη τη διαδικασία

Πλεονεκτήματα Χρήσης Χάρτη Karnaugh Αντίθετα με τις αλγεβρικές απλοποιήσεις, η μέθοδος του Χάρτη: Απλή και άμεση διαδικασία απλοποίησης των λογικών συναρτήσεων Χρησιμοποιείται σχηματική μορφή του πίνακα αληθείας της συνάρτησης

Χάρτης Karnaugh 2 Μεταβλητών Υπάρχουν 4 ελαχιστόροι (τα τετράγωνα του πίνακα) Είναι το συμπλήρωμα των x,y δηλαδή όπου το x,y είναι 0 χρησιμοποιούμε το συμπλήρωμα x \ y 1 x‘y’ x‘y xy' xy

Χάρτης Karnaugh 2 Μεταβλητών x \ y 1 x‘y’ x‘y xy' xy Παράδειγμα: Έστω ότι έχω την συνάρτηση F = xy Παράδειγμα 2: Έστω ότι έχω την συνάρτηση F = x + y x \ y 1 x \ y 1

Χάρτης Karnaugh 3 Μεταβλητών Σε αυτή τη περίπτωση υπάρχουν 8 ελαχιστόροι για τρεις δυαδικές μεταβλητές (8 τετράγωνα) Παρατηρήστε τη σειρά αρίθμησης των bit! x \ yz 00 01 11 10 x‘y’z’ x‘y’z x‘yz x‘yz’ 1 xy’z’ xy‘z xyz xyz'

Χάρτης Karnaugh 3 Μεταβλητών x \ yz 00 01 11 10 x‘y’z’ x‘y’z x‘yz x‘yz’ 1 xy’z’ xy‘z xyz xyz' Παράδειγμα: F = x’y + xy’ x \ yz 00 01 11 10 1

Χάρτης Karnaugh 4 Μεταβλητών Σε αυτή τη περίπτωση, έχουμε 16 ελαχιστόρους άρα 16 τετράγωνα στον χάρτη μας. xy / zw 00 01 11 10 x‘y’z’w’ x‘y’z’w x‘y’zw x‘y’zw’ x‘yz’w’ x‘yz’w x‘yzw x‘yzw’ xyz‘w’ xyz‘w xyzw xyzw' xy’z’w’ xy‘z’w xy‘zw xy‘zw’

Χάρτης Karnaugh 4 Μεταβλητών xy / zw 00 01 11 10 x‘y’z’w’ x‘y’z’w x‘y’zw x‘y’zw’ x‘yz’w’ x‘yz’w x‘yzw x‘yzw’ xyz‘w’ xyz‘w xyzw xyzw' xy’z’w’ xy‘z’w xy‘zw xy‘zw’ Παράδειγμα: F = y’ + w’z’+xz’ xy / zw 00 01 11 10 1

Αναπαράσταση Λογικής Συνάρτησης με Χάρτη Karnaugh Η αναπαράσταση μίας λογικής συνάρτησης με χάρτη Karnaugh γίνεται θέτοντας “1” σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε ελάχιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιμή “1” και θέτοντας “0” σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε μέγιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιμή “0”. Σε πολλές περιπτώσεις, μερικοί συνδυασμοί των μεταβλητών εισόδου δεν έχουν νόημα και δεν πρόκειται να συμβούν. Αυτοί οι συνδυασμοί καλούνται συνθήκες αδιαφορίας γιατί δεν ενδιαφέρει η τιμή της συνάρτησης για τους συνδυασμούς αυτούς. Στον πίνακα αληθείας και στο χάρτη Karnaugh μίας τέτοιας συνάρτησης οι τιμές της συνάρτησης στις συνθήκες αδιαφορίας συμβολίζονται με X.

Απλοποίηση Λογικής Συνάρτησης με Χάρτη Karnaugh Ακολουθούμε τα εξής βήματα για την απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με χρήση k-maps Γράφουμε τη συνάρτηση με μορφή αθροίσματος ελαχίστων όρων Τοποθετούμε τους όρους της συνάρτησης στον χάρτη Karnaugh σημειώνοντας με “1” το αντίστοιχο τετράγωνο. Δημιουργούμε ομάδες με “1” των 2, 4, 8, 16 μελών από γειτονικά τετράγωνα (οριζόντια ή κάθετα, συνεχόμενα ή αναδιπλούμενα, αλλά όχι διαγώνια). Προσπαθούμε να δημιουργούμε όσο το δυνατόν μεγαλύτερες ομάδες. Κάθε “1” μπορεί να συμμετέχει σε περισσότερες από μία ομάδες

Απλοποίηση Λογικής Συνάρτησης με Χάρτη Karnaugh Ακολουθούμε τα εξής βήματα για την απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με χρήση k-maps (συνέχεια) Ξαναγράφουμε τη συνάρτηση με όλους τους ελεύθερους όρους που πιθανόν να υπάρχουν και τις ομάδες (παραλείποντας τις μεταβλητές που μέσα στην ομάδα αλλάζουν τιμή).

Παράδειγμα 3-input Karnaugh Table C OUT 1 A’BC’ A’BC 1 1 1 A’BC’+A’BC+ABC’+ABC = A’B(C’+C)+AB(C’+C) = A’B+AB = B(A’+A) = = B ABC’ ABC

Παράδειγμα 3-input Karnaugh Table B) Με Πίνακα Karnaugh Παράδειγμα 3-input Karnaugh Table A B C OUT 1 Βρίσκουμε ποια μεταβλητή δεν αλλάζει σ ’αυτό το γκρουπάκι των τεσσάρων «1» Α\BC 00 01 11 10 1 Β = 1 Άρα OUT = Β Άρα παρατηρούμε ότι καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα με την προηγούμενη αλγεβρική απλοποίηση

Παράδειγμα (2) 3-input Karnaugh Table C OUT 1 Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται 3 ζεύγη των 2 άσων Α\BC 00 01 11 10 1 Β = 1, C = 0 BC’ + A = 1, B = 1 AB OUT = BC’+AB+AB’ A = 1, B = 0 AB’

Παράδειγμα 4-input Karnaugh Table C D OUT 1 AB / CD 00 01 11 10 1 A’C’ + A’B OUT = A’C’+A’B+AB’D AB’D

Παράδειγμα Έστω ότι μας δίνεται: F = AB’+A’BC+A’BC’+A’B’C’+B’ 10 011 010 000 0 A B C OUT 1 Α\BC 00 01 11 10 1 A’ OUT = A’+B’ B’

Παράδειγμα Έστω ότι: F = AB’CD+B’C’D’+A’B’CD+A’B’+ABCD’+AB’CD’ 1011 000 0011 00 1110 1010 A B C D OUT 1 AB / CD 00 01 11 10 1 A’B’ B’C OUT = A’B’+B’C+ACD’+B’D ACD’ B’D’

Οικουμενικές Πύλες Χωρίζονται σε: Οικουμενικές πύλες δύο εισόδων Οικουμενικές πύλες πολλαπλών επιπέδων

Οικουμενικές Πύλες Δύο Εισόδων Οι πύλες NAND και NOR δυο εισόδων ονομάζονται οικουμενικές πύλες (universal gates) γιατί κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες NAND δυο εισόδων ή μόνο με πύλες NOR δυο εισόδων.

Οικουμενική Πύλη NAND Κάθε πύλη NOT και AND και OR δυο εισόδων μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ισοδύναμο κύκλωμα με αποκλειστική χρησιμοποίηση πυλών NAND δυο εισόδων. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τα κυκλώματα που είναι ισοδύναμα με τις βασικές πύλες NOT, AND και OR, χρησιμοποιώντας μόνο πύλες ΝΑND δυο εισόδων.

Οικουμενική Πύλη NOR Κάθε πύλη NOT και AND και OR δυο εισόδων μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ισοδύναμο κύκλωμα με αποκλειστική χρησιμοποίηση πυλών NOR δυο εισόδων. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τα κυκλώματα που είναι ισοδύναμα με τις βασικές πύλες NOT, AND και OR, χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOR δυο εισόδων.

Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων με Πύλες NAND/NOR 2 Εισόδων Αν θέλουμε να σχεδιάσουμε και να κατασκευάσουμε ένα κύκλωμα με οικουμενικές πύλες NAND ή NOR δυο εισόδων, μπορούμε να το σχεδιάσουμε πρώτα με πύλες NOT, AND και OR και στη συνέχεια να αντικαταστήσουμε την κάθε πύλη με το ισοδύναμο κύκλωμα. Αν στο κύκλωμα υπάρχουν δυο διαδοχικές πύλες NAND ή NOR που αντιστοιχούν σε πύλες ΝΟΤ, τότε οι δυο διαδοχικές πύλες διαγράφονται και το κύκλωμα απλοποιείται.

Παράδειγμα Θέλουμε να σχεδιάσουμε με οικουμενικές πύλες NAND δυο εισόδων το συνδυαστικό κύκλωμα που υλοποιεί τη λογική συνάρτηση: Z=A’B+C Σχεδιάζουμε στην αρχή το κύκλωμα με πύλες NOT, AND και OR:

Παράδειγμα Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την κάθε πύλη με το ισοδύναμο κύκλωμα με πύλες NAND δυο εισόδων:

Παράδειγμα Στο κύκλωμα αυτό παρατηρούμε ότι υπάρχουν διαδοχικές πύλες NAND δυο εισόδων που αντιστοιχούν σε πύλες ΝΟΤ. Αυτές οι δυο διαδοχικές πύλες διαγράφονται και το κύκλωμα απλοποιείται:

Παράδειγμα Σχεδίασης Συνδυαστικού Κυκλώματος Με Πύλες NOR 2 Εισόδων Z=A’B+C Αν προχωρήσουμε την επεξεργασία της εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα De Morgan έχουμε: Z=A’B+C=((A’B)’C’)’=((A+B’)C’)’ =(((A+B’)’+C)’)’ H συνάρτηση αυτή υλοποιείται αποκλειστικά με πύλες NOR δύο εισόδων:

Ασκήσεις για το σπίτι #1 Απλοποιήστε τις παρακάτω λογικές συναρτήσεις με χρήση του Χάρτη Karnaugh και σχεδιάστε το λογικό τους κύκλωμα μετά την απλοποίηση με πύλες 2 εισόδων AND, OR, NOT. F(A,B,C,D) = A’BC’+AB’C+ABC+C’D+ACD’+AB’CD F(A,B,C,D) = A+AB’C+C’D’+A’D+ABCD’ F(A,B,C,D) = ABCD+A’BC+C’D’

Ασκήσεις για το σπίτι #2 A B C D F 1 1 Ασκήσεις για το σπίτι #2 Έστω ότι έχετε τον δίπλα πίνακα αληθείας μιας λογικής συνάρτησης F(A,B,C,D). Απλοποιήστε τη συνάρτηση με χάρτη Karnaugh Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα μετά την απλοποίηση με πύλες δύο εισόδων AND, OR, NOT Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα μετά την απλοποίηση μόνο με πύλες NAND Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα μετά την απλοποίηση μόνο με πύλες NOR Τις ασκήσεις τις παραδίδετε σε ηλεκτρονική μορφή στο email jmagoylakis@gmail.com μέχρι την επόμενη φορά που έχετε μάθημα. Το email σας να έχει θέμα: «Ασκήσεις Karnaugh - Ψηφιακή Σχεδίαση» Αποφύγετε να τις φέρετε σε χαρτί!