Συναρτήσεις Πληθάριθμοι Συνόλων

Συναρτήσεις Μία σχέση F από το Α στο Β ονομάζεται συνάρτηση αν για κάθε αΑ υπάρχει ένα μοναδικό βΒ τέτοιο ώστε (α,β) F. Γράφουμε F(α)=β αντί για (α,β) F. Το β ονομάζεται εικόνα του α μέσω της F. Το Α ονομάζεται πεδίο ορισμού και το Β πεδίο τιμών της F. 1 2 3 Α  Β Γ Δ Ε f(x) Α 1 Β Γ 2 Δ 3 Ε Α Β 1 Γ 2 Δ 3 Ε

Σύνθεση Έστω F συνάρτηση από το Α στο Β και G συνάρτηση από το Β στο G. Σύνθεση των F και G ονομάζεται η συνάρτηση GF(α)=G(F(α)), για κάθε α Α. Α Α Β 1 ? Β ? Γ 2 @ Γ @ Δ 3 & Δ & Ε Ε

Συνάρτηση Επί Μία συνάρτηση F από το Α στο Β ονομάζεται επί αν για κάθε βΒ υπάρχει αΑ τέτοιο ώστε F(α)=β. Α Β 1 Γ 2 Δ 3 Ε

Συνάρτηση 1-1 Μία συνάρτηση F από το Α στο Β ονομάζεται 1-1 αν για οποιαδήποτε στοιχεία α1,α2 Α, α1≠α2 συνεπάγεται F(α1)≠F(α2). 1 Α 2 Β 3 Γ 4 Δ 5

Αμφιμονοσήμαντη Συνάρτηση Μία συνάρτηση F από το Α στο Β ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη (ή 1-1 και επί) αν για κάθε βΒ υπάρχει ένα μοναδικό αΑ τέτοιο ώστε F(α)=β. Α 1 Β 2 Γ 3 Δ 4

Συναρτήσεις Έστω F μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση από το Α στο Β. Αντίστροφη της F ονομάζεται η συνάρτηση F-1 με την ιδιότητα F-1(β)=α ανν F(α)=β. Έστω (Α,≤) και (Β,≤) μερικά διατεταγμένα σύνολα F μία συνάρτηση από το Α στο Β. Η F ονομάζεται μονότονη αν α ≤β συνεπάγεται F(α) ≤F(β), για οποιαδήποτε αΑ και βΒ. Έστω F μία συνάρτηση από το Α στο Α. Το αΑ ονομάζεται σταθερό σημείο της F αν F(α)=α.

Πληθαριθμοι Πληθάριθμος (cardinality) ενός συνόλου ονομάζεται το πλήθος των στοιχείων του. Ο πληθάριθμος ενός συνόλου Α συμβολίζεται με |Α|. Ιδιότητες πληθάριθμου |ΑΒ|≤|Α|+|Β| |ΑΒ|≤min (|A|,|B|) |A-B|≥|A|-|B|

Πληθαριθμοι Σε πεπερασμένα σύνολα ισχύει ΑΒ συνεπάγεται |Α|<|Β|. Σε πεπερασμένα σύνολα ισχύει ΑΒ συνεπάγεται |Α|<|Β|. Η παραπάνω ιδιότητα δεν ισχύει για άπειρα σύνολα. Δύο πεπερασμένα σύνολα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθάριθμο αν και μόνο αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ Α και Β.

Πεπερασμένα Σύνολα Το σύνολο Α λέγεται πεπερασμένο αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία των στοιχείων του με τα στοιχεία του {1,2,…,ν}. Τότε |Α|=ν. Το σύνολο Α λέγεται άπειρο αν δεν είναι πεπερασμένο. Το σύνολο Α λέγεται αριθμήσιμα άπειρο αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία των στοιχείων του με τα στοιχεία του . Ο πληθάριθμος των αριθμήσιμων συνόλων συμβολίζεται με 0.

Παραδείγματα Το σύνολο των περιττών Π={1,3,5,…} είναι αριθμήσιμο. Το σύνολο των περιττών Π={1,3,5,…} είναι αριθμήσιμο. Ορίζω την F από το Π στο  τέτοια ώστε F(p)=(p-1)/2. H F είναι 1-1. Η F είναι επί Γενικά κάθε άπειρο υποσύνολο του  είναι αριθμήσιμο.

Θεωρήματα Ένα άπειρο σύνολο Α είναι αριθμήσιμο αν υπάρχει μία 1-1 συνάρτηση από το Α στο . Το 0 είναι ο μικρότερος άπειρος πληθάριθμος. Κάθε άπειρο υποσύνολο ενός αριθμήσιμου συνόλου είναι αριθμήσιμο. Υπάρχουν άπειρα σύνολα που δεν είναι αριθμήσιμα π.χ. το [0,1], το .