Θεωρία Γραμμών Αναμονής ή ΟΥΡΕΣ (QUEUE) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Περιγραφή του προβλήματος της ουράς Η λειτουργία ενός συστήματος (απλότητα, ρυθμός, αποδοτικότητα) καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από την εσωτερική διαχείριση των οντοτήτων σε αυτό Η διαχείριση των οντοτήτων λαμβάνει χώρα σε καθορισμένους «κόμβους» του συστήματος στο χώρο και τον χρόνο Παραδείγματα Διαχείριση αεροσκαφών σε ένα αεροδρόμιο Διαχείριση «πακέτων» σε ένα δίκτυο κινητής τηλεφωνίας «Διαχείριση» διαχεόμενης ουσίας σε ένα μέσο

Χαρακτηριστικά μιας διαδικασίας ουράς Τρόπος άφιξης πελατών σε ένα σύστημα Τρόπος εξυπηρέτησης Συμπεριφορά ουράς Χωρητικότητα συστήματος Αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης Αριθμός θέσεων εργασίας

1. Τρόπος άφιξης πελατών στο σύστημα Συνήθως στοχαστικός (κατανομή αφίξεων στο χρόνο) Άφιξη κατά άτομα ή ομάδες (μεγέθη ομάδων) Συμπεριφορά κατά την άφιξη Αναμονή στην ουρά ανεξαρτήτως χρόνου αναμονής Άμεση αναχώρηση για μεγάλη ουρά (balked) Αναχώρηση μετά από λίγο (reneged) Ξαφνική αλλαγή επιλογής ουράς (jockeying) Στάσιμες (Stationary) και Μη-στάσιμες (Nonstationary) Διαδικασίες

2. Τρόπος εξυπηρέτησης Κατανομή χρόνων εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση κατά άτομα ή ομάδες (μεγέθη ομάδων) Εξυπηρέτηση εξαρτώμενη από το μέγεθος ουράς (state depended system) Στάσιμες (Stationary) και Μη-στάσιμες (Nonstationary) Διαδικασίες Εξυπηρέτησης Διάκριση χρόνου και φάσης συστήματος

3. Συμπεριφορά ουράς FIFO (First In First Out) LIFO (Last In First Out) FIRO (First In Random Out) Προτεραιότητα: Απλή ή Προτεραιότητα χωρίς διακοπή Προτεραιότητα: Απόλυτη ή Προτεραιότητα με διακοπή

4. Χωρητικότητα συστήματος Περιορισμός χώρου αναμονής πελατών Μέγιστο μήκος οράς Άρνηση πελατών (balking) όταν ξεπεραστεί το μέγιστο μήκος ουράς Επανεργοποίηση ουράς με την αναχώρηση πελάτη και δημιουργία κενής θέσης

5. Αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης Αριθμός παράλληλων σταθμών εξυπηρέτησης Α) Μία ουρά, πολλοί σταθμοί εξυπηρέτησης (π.χ. τράπεζα με χαρτάκια αναμονής) Β) Πολλές ουρές, όσες και οι σταθμοί εξυπηρέτησης (π.χ. πολυκαταστήματα)

Μέτρα απόδοσης συστήματος Μέτρηση χρόνου αναμονής πελάτη Αποτύπωση του τρόπου συγκέντρωσης των πελατών (χωρική μορφογένεση) Μέτρηση του ανενεργού χρόνου των εξυπηρετητών Η στοχαστική φύση των φαινομένων που λαμβάνουν χώρα έχει σαν αποτέλεσμα τα παραπάνω μεγέθη να περιγράφονται με κατανομές πιθανότητας

Αναμενόμενος αριθμός ατόμων στο σύστημα Έστω ο αριθμός των ατόμων στο σύστημα στο χρόνο t. Είναι, ο αριθμός των ατόμων στην ουρά στο χρόνο t. ο αριθμός των ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης στο χρόνο t. Έστω ακόμη η πιθανότητα να βρίσκονται n άτομα στο σύστημα στο χρόνο t,

Αναμενόμενος αριθμός ατόμων στο σύστημα G/G/c σε σταθερή κατάσταση Μέσος αριθμός ατόμων στο σύστημα Μέσος αριθμός ατόμων στην ουρά

Μέσοι χρόνοι αναμονής Ο συνολικός χρόνος αναμονής στο σύστημα ισούται με τον χρόνο αναμονής στην ουρά συν τον χρόνο αναμονής στη φάση εξυπηρέτησης, Συνεπώς για τους αντίστοιχους μέσους χρόνους ισχύει, ή ή μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης

Τύποι του Little Ο μέσος αριθμός ατόμων στο σύστημα (ουρά) ισούται με το γινόμενο του ρυθμού αφίξεων και του μέσου χρόνου αναμονής σε αυτό (αυτή) Ισοδύναμα, βαθμός απασχόλησης συστήματος

Μέσος αριθμός ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης Μήκος φάσης εξυπηρέτησης Ισοδύναμα, Συνεπώς,

Σύστημα Μ/Μ/1 Υποθέσεις, Εισερχόμενος πληθυσμός απείρου μήκους Κατανομή αφίξεων κατά Poisson με ρυθμό λ αφίξεις ανά μονάδα χρόνου Εκθετική κατανομή εξυπηρετήσεων, μ εξυπηρετήσεις ανά μονάδα χρόνου

Σύστημα Μ/Μ/1 Στο χρόνο t+Δt υπάρχουν n άτομα στο σύστημα όταν

Σύστημα Μ/Μ/1 Πιθανότητα μιας άφιξης Πιθανότητα μιας αναχώρησης Πιθανότητα ύπαρξης n ατόμων στο σύστημα

Σύστημα Μ/Μ/1 Πράξεις, Ισοδύναμα, Στο όριο, Σταθερή κατάσταση,

Σύστημα Μ/Μ/1 Πιθανότητα μηδενικής ύπαρξης ατόμων Ισοδύναμα, Σταθερή κατάσταση,

Σύστημα Μ/Μ/1 Λύνοντας τις (*) και (**), Δεδομένου, Τελικά,