Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας, Α.Π.Θ. Ενότητα 7 Δρ. Πρόδρομος Ζάνης Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας, Α.Π.Θ.

Ενότητα 7: Η κίνηση των αέριων μαζών Οι δυνάμεις που ρυθμίζουν την κίνηση των αέριων μαζών (δύναμη βαροβαθμίδας, δύναμη Coriolis, δύναμη βαρύτητας, φυγόκεντρος δύναμη, δύναμη τριβής) . Οι εξισώσεις της κίνησης. Εφαρμογή των εξισώσεων κίνησης (Γεωστροφικός άνεμος, άνεμος βαθμίδας, άνεμος τριβής, κυκλοστροφικός άνεμος, θερμικός άνεμος). Τροχιά και ρευματογραμμές. Σχετικός και απόλυτος στροβιλσμός.

Δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση των αέριων μαζών Οι δυνάμεις που δρουν είναι: Α) Δυνάμεις που μπορούν να θέσουν σε κίνηση μία αέρια μάζα Δύναμη της βαροθαθμίδας Δύναμη της βαρύτητας Β) Δυνάμεις που εμφανίζονται όταν υπάρχει κίνηση Δύναμη τριβής Δύναμη Coriolis Δύναμη φυγόκεντρος

Δύναμη Βαροβαθμίδας Χαμηλή Υψηλή Βαροβαθμίδα: η μεταβολή της ατμοσφαιρικής πίεσης σε διεύθυνση κάθετη πάνω στις ισοβαρείς καμπύλες

Δύναμη Βαρυτητας r = η απόσταση γης και σώματος μάζας m G = η σταθερά παγκόσμιας έλξης

Δύναμη Τριβής v = κινητικό ιξώδες του ρευστού K = συντελεστής του ιξώδους των στροβίλων

Εξίσωση κίνησης ως προς αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Η εξίσωση κίνησης της μονάδας της μάζας Όπου: η δύναμη της βαρύτητας η δύναμη της βαρoβαθμίδας η δύναμη τριβής

V r Για περιστρεφόμενο παρατηρητή η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι V2/r ω V A r B θ O Για περιστρεφόμενο παρατηρητή η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι V2/r Για ακίνητο θα είναι (V+ωr)2/r = V2/r + 2V ω+ ω2r

Φυγόκεντρος Δύναμη ω =7.29 x 10-5 rad/sec Θεωρείται ως υπαρκτή μόνο από τον παρατηρητή που συμμετέχει στην κίνηση, δηλαδή που συνδέεται με το κινούμενο σύστημα αναφοράς. ω =7.29 x 10-5 rad/sec r = η ακτίνα καμπυλότητας της περιστροφικής κίνησης

A r O Ο δίσκος δεν περιστρέφεται και το αυτοκινητάκι κινείται από το σημείο O στο A με ταχύτητα V. Θα διανύσει απόσταση r σε χρόνο t: r = V t

r θ = ωt Τώρα ο δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω = dθ/dt ω A B θ O Στο χρόνο t που χρειάζεται για να μετακινηθεί από το O στι A, το Α έχει μετακινηθεί στο B καθώς ο δίσκος έχει στραφεί κατά μία γωνία θ: θ = ωt

Η οποία επίσης δίδεται : ω A r B θ O r = V t θ = ω t Η απόσταση AB είναι: AB = r θ = V t ω t Η οποία επίσης δίδεται : AB = a t2/2 Δηλαδή: a t2/2 = V t ω t a = 2ωV Όπου a η Coriolis επιτάχυνση

Η γή όμως δεν έναι ένας επίπεδος δίσκος οπότε χρειάζεται μία μιρκή προσαρμογή Πόλος sinφ =1 ω Περιστρεφόμενος δίσκος: a = 2ωV Περιστρεφόμενη γη: a = 2ωVsinφ ωsinφ φ sinφ =0 Ισημερινός

Δύναμη Coriolis Αναπτύσσεται σε κάθε σώμα που κινείται σε σχέση με ένα σύστημα αναφοράς που περιστρέφεται. V = σχετική ταχύτητα σώματος (αέρα) ω =7.29 x 10-5 rad/sec m = μάζα σώματος (αέρα) φ = γεωγραφικό πλάτος f = coriolis παράμετρος

Δύναμη Coriolis Είναι κάθετη στη ταχύτητα, και επιδρά μόνο στη διεύθυνση της κίνησης. Αναγκάζει τα σώματα να αποκλίνουν προς τα δεξιά της κίνησης τους (Β. Ημισφ.) που είναι σημαντική σε κινήσεις μεγάλης κλίμακας.

Εξίσωση κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων Η εξίσωση κίνησης της μονάδας της μάζας Όπου η φαινόμενη δύναμη της βαρύτητας: Εξισώνουμε την οριζόντια επιτάχυνση με το άθροισμα των πραγματικών και φαινομενικών δυνάμεων που ασκούνται σε μοναδιαία μάζα αέρα. Για συνοπτικής ή μεγάλης κλίμακας κινήσεις έχουμε ταχύτητες της τάξης των 10-30 m s – 1 και η ταχύτητα μιας μάζας αέρα αλλάζει σημαντικά σε χρονικό διάστημα μιας μέρας (~105 s). Άρα η επιτάχυνση θα είναι της τάξης του 210 – 4 m s – 2 για ταχύτητα της τάξης των 20 m s – 1 . Στα μέσα γεωγραφικά πλάτη όπου το f είναι περίπου 10 – 4 s – 1 σε μια αέρια μάζα που κινείται με οριζόντια ταχύτητα 20 m s – 1 εξασκείται δύναμη Coriolis της τάξης 2 10 – 3 m s – 1

Εξίσωση κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων Στο οριζόντιο επίπεδο η εξίσωση γίνεται: Για συνοπτικής ή μεγάλης κλίμακας κινήσεις έχουμε Δηλαδή σε πρώτη προσέγγιση η δύναμη Coriolis είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από την επιτάχυνση και επομένως η εξίσωση μπορεί να γραφτεί: Εξισώνουμε την οριζόντια επιτάχυνση με το άθροισμα των πραγματικών και φαινομενικών δυνάμεων που ασκούνται σε μοναδιαία μάζα αέρα. Για συνοπτικής ή μεγάλης κλίμακας κινήσεις έχουμε ταχύτητες της τάξης των 10-30 m s – 1 και η ταχύτητα μιας μάζας αέρα αλλάζει σημαντικά σε χρονικό διάστημα μιας μέρας (~105 s). Άρα η επιτάχυνση θα είναι της τάξης του 210 – 4 m s – 2 για ταχύτητα της τάξης των 20 m s – 1 . Στα μέσα γεωγραφικά πλάτη όπου το f είναι περίπου 10 – 4 s – 1 σε μια αέρια μάζα που κινείται με οριζόντια ταχύτητα 20 m s – 1 εξασκείται δύναμη Coriolis της τάξης 2 10 – 3 m s – 2 Να σημειώσουμε ότι η κυριαρχία του όρου Coriolis δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη επιλογή της ταχύτητας ανέμου. Εξαρτάται μόνο από το γεγονός ότι η χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου κατά την οποία οι μάζες αέρα υφίστανται μεταβολές στις σχετικές κινήσεις τους είναι αρκετά μεγάλη σε σχέση με το 1/f, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως η κλίμακα χρόνου στην οποία η μάζα αέρα υφίσταται μεγάλες μεταβολές στην απόλυτη κίνησή της σαν αποτέλεσμα της περιστροφής της γης.

Ο γεωστροφικός άνεμος Επειδή η δύναμη τριβής γίνεται αμελητέα σε ύψη μεγαλύτερα των 1000m η εξίσωση οριζόντιας κίνησης για συνοπτικής κλίμακας κινήσεις στην ελεύθερη ατμόσφαιρα γίνεται: Δηλαδή η οριζόντια κίνηση καθορίζεται από τη δύναμη οριζόντιας βαροβαθμίδας και τη δύναμη Coriolis. Ο άνεμος που προκύπτει από την κίνηση αυτή ονομάζεται Γεωστροφικός άνεμος (Vg) Ο άνεμος αυτός πνέει παράλληλα προς τις ισοβαρείς καμπύλες έχοντας αριστερά του τις χαμηλές πιέσεις

Οι εξισώσεις του γεωστροφικού ανέμου Από την εξίσωση του γεωστροφικού ανέμου παίρνουμε όπου ug και vg οι αριθμητικές τιμές των ταχυτήτων του γεωστροφικού ανέμου στις διευθύνσεις x και y, και επειδή τελικά παίρνουμε: Οι συνιστώσες της ταχύτητας του γεωστροφικού ανέμου δίνονται από:

Ο γεωστροφικός άνεμος είναι ανάλογος προς τη βαροβαθμίδα σε ένα επίπεδο

2. ρ δεν περιέχεται στις σχέσεις κλίση της ισοβαρικής επιφάνειας 1. 2. ρ δεν περιέχεται στις σχέσεις χρησιμοποιείται περισσότερο Χρήση των ισοβαρικών χαρτών Γεωδυναμικό:

Η γεωστροφική ισορροπία Ο άνεμος είναι σε γεωστροφική ισορροπία μόνο εάν δεν επιταχύνεται και δεν αλλάζει διεύθυνση Για να υπάρχει γεωστροφική ισορροπία οι ισοβαρείς πρέπει να είναι ευθείες και σταθερής οριζόντιας βαθμίδας

Ο γεωστροφικός άνεμος Υ Ο γεωστροφικός άνεμος πνέει παράλληλα στις ισοβαρείς καμπύλες έχοντας αριστερά του τις χαμηλές πιέσεις. Υ Ο γεωστροφικός άνεμος γύρω από ένα κέντρο χαμηλών πιέσεων πνέει πάντα στην ίδια κατεύθυνση με την περιστροφή της γης. Μια τέτοια κυκλοφορία ονομάζεται κυκλωνική. Γεωστροφική ροή γύρω από κέντρα υψηλών πιέσεων ονομάζεται αντικυκλωνική. Όσο μικρότερη η απόσταση μεταξύ των ισοβαρών, τόσο εντονότερη θα είναι η δύναμη Coriolis που απαιτείται για να ισορροπήσει την δύναμη βαροβαθμίδας και έτσι τόσο ισχυρότερος θα είναι ο γεωστροφικός άνεμος. Στους χάρτες καιρού επιφάνειας μπορούμε να χρησιμοποιούμε την έννοια του γεωστροφικού ανέμου μόνο εκεί όπου το πεδίο των ισοβαρών είναι ομογενές

Ο γεωστροφικός άνεμος Σε ολόκληρη την ατμόσφαιρα στα μέσα και μεγάλα γεωγραφικά πλάτη το μεγάλης κλίμακας πεδίο των ανέμων τείνει να είναι σχεδόν γεωστροφικό. Η κατεύθυνση του ανέμου είναι σχεδόν παράλληλη με τις ισοβαρείς και η ταχύτητα του ανέμου είναι σχεδόν ίση με εκείνη του γεωστροφικού ανέμου με μέγιστο σφάλμα 15%. Μεγαλύτερες αποκλίσεις από τη γεωστροφική ροή παρατηρούνται κοντά στην επιφάνεια της γης όπου η δύναμη της τριβής παίζει σημαντικότερο ρόλο στην ισορροπία δυνάμεων. Η καμπυλότητα της τροχιάς που θα μπορούσε να συνεισφέρει στην αύξηση της επιτάχυνσης είναι μικρή στα συστήματα συνοπτικής κλίμακας

Ο γεωστροφικός άνεμος: η επίδραση της τριβής 995mb 1000mb 1005mb Vg Fc Fb Vh T Κοντά στο έδαφος όπου η τριβή δεν είναι αμελητέα ο άνεμος τέμνει τις ισοβαρείς με κατεύθυνση προς τις χαμηλές πιέσεις και με γωνία μεταξύ 10° (θάλασσα) και 45° (ανώμαλο ανάγλυφο). Όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη της τριβής τόσο μεγαλύτερη είναι και η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας του ανέμου Vh με το διάνυσμα του γεωστροφικού ανέμου Vg Η γωνία μεταξύ Vg και Vh καθορίζεται από την απαίτηση ότι η η συνιστώσα της βαροβαθμίδας στην κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας πρέπει να είναι ίση και αντίθετη με την δύναμη της τριβής Τ. Η επιβράδυνση της ροής λόγω τριβής στο κατώτερο χιλιόμετρο της ατμόσφαιρας κάνει την ταχύτητα του ανέμου υπο-γεωστροφική, έτσι ώστε η δύναμη Coriolis δεν είναι πλέον αρκετή να ισορροπήσει την βαθμίδα της πίεσης. Η ισορροπία δυνάμεων που απαιτείται για μια ομοιόμορφη ροή (dV/dt =0) παρουσία τριβής φαίνεται στο σχήμα: Η Fb κατευθύνεται κάθετα στις ισοβαρείς, η Fc κατευθύνεται στα δεξιά της ταχύτητας V και η τριβή T κατευθύνεται αντίθετα στο διάνυσμα της ταχύτητας. Η γωνία μεταξύ Vg και Vh καθορίζεται από την απαίτηση ότι η η συνιστώσα της βαροβαθμίδας στην κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας πρέπει να είναι ίση και αντίθετη με την δύναμη της τριβής Τ. Η ταχύτητα του ανέμου καθορίζεται από την απαίτηση ότι η δύναμη Coriolis Fc πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη ώστε να εξισορροπήσει την συνιστώσα της βαροβαθμίδας κάθετα στην διεύθυνση κίνησης. Όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη της τριβής τόσο μεγαλύτερη θα είναι η γωνία. Η ταχύτητα του ανέμου καθορίζεται από την απαίτηση ότι η δύναμη Coriolis πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη ώστε να εξισορροπήσει την συνιστώσα της βαροβαθμίδας κάθετα στη διεύθυνση της κίνησης.

Ο Άνεμος στο οριακό στρώμα: η επίδραση της τριβής Ο Άνεμος στο οριακό στρώμα: η επίδραση της τριβής Ισορροπία τριών δυνάμεων 0 = Βαροβαθμίδα + Coriolis + Τριβή 0 = PGF + COR + F Η τριβή κάνει τον άνεμο να πνέει υπό γωνία ως προς τις ισοβαρείς από τις ψηλές προς τις χαμηλές πιέσεις για την περιοχή του οριακού στρώματος Η γωνία που σχηματίζει ο άνεμος με τις ισοβαρείς και η ελάττωσή του εξαρτώνται από την τραχύτητα της επιφάνειας

Ο Άνεμος στο οριακό στρώμα: η επίδραση της τριβής Ο Άνεμος στο οριακό στρώμα: η επίδραση της τριβής

Σπείρα Ekman στο οριακό στρώμα

Η επίδραση της τριβής στον γεωστροφικό άνεμο Στις περιοχές των χαμηλών πιέσεων η ροή του αέρα στο οριακό στρώμα (δηλαδή στο στρώμα των πρώτων 500 – 1000 μέτρων) δεν είναι μόνο κυκλωνική αλλά παρουσιάζει και κάποια συρροή προς το χαμηλό κέντρο. Αντίθετα στα κέντρα υψηλής πίεσης η αντικυκλωνική ροή απομακρύνει τον αέρα από το κέντρο προς την περιφέρεια, όπως απεικονίζεται στο σχήμα Στις περιοχές των χαμηλών πιέσεων η ροή του αέρα στο οριακό στρώμα (δηλαδή στο στρώμα των πρώτων 500 – 1000 μέτρων) δεν είναι μόνο κυκλωνική αλλά παρουσιάζει και κάποια συρροή προς το χαμηλό κέντρο. Αντίθετα στα κέντρα υψηλής πίεσης η αντικυκλωνική ροή απομακρύνει τον αέρα από το κέντρο προς την περιφέρεια, όπως απεικονίζεται στο σχήμα

Η επίδραση της τριβής σε συστήματα υψηλών και χαμηλών πιέσεων Οι δυναμικές διεργασίες στο οριακό στρώμα τείνουν να εξασθενήσουν τα συστήματα χαμηλής και υψηλής πίεσης

Θερμικός άνεμος Το μέγεθος και η διεύθυνση του γεωστροφικού ανέμου συχνά μεταβάλλονται με το ύψος Οι εξισώσεις του γεωστροφικού ανέμου σε ισοβαρικές συντεταγμένες Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις υδροστατικής ισορροπίας και την καταστατική εξίσωση βρίσκουμε: Ο γεωστροφικός άνεμος μεταβάλλεται με το ύψος όταν μεταβάλλεται η οριζόντια κατανομή της θερμοκρασίας

Θερμικός άνεμος Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις του γεωστροφικού ανέμου ως προς p Οι οποίες με βάση την γίνονται

Θερμικός άνεμος Τελικά παίρνουμε Ολοκληρώνοντας από p0 έως p1 και θεωρώντας ότι Τ είναι η μέση θερμοκρασία του αερίου στρώματος μεταξύ των επιπέδων Ζ0, Ζ1

Θερμικός άνεμος Σε διανυσματική μορφή ο θερμικός άνεμος είναι: Και με βάση τις προηγούμενες εξισώσεις γράφεται Άρα

Θερμικός άνεμος Ο θερμικός άνεμος είναι η κατακόρυφη μεταβολή του γεωστροφικού ανέμου που οφείλεται στην οριζόντια θερμοβαθμίδα. Το όνομά του είναι παραπλανητικό επειδή ο θερμικός άνεμος δεν είναι στην πράξη «άνεμος», αλλά μια βαθμίδα ανέμου.

Θερμικός άνεμος Vg0 VΤ Vg1 Αν θεωρήσουμε ότι οι ισόθερμες αντιπροσωπεύουν την κατανομή της μέσης θερμοκρασίας Τ του αερίου στρώματος μεταξύ των ισοβαρικών επιφανειών με πίεση p0 και p1 (όπου p0 > p1 ), παρατηρούμε τα εξής Από την εξίσωση Η διεύθυνση του θερμικού ανέμου είναι παράλληλη στις ισόθερμες με τις χαμηλές θερμοκρασίες αριστερά Vg0 VΤ Vg1 y

Θερμικός άνεμος VT Vg1 Vg1 Vg0 Vg0 VT Θερμή μεταφορά: Ψυχρή μεταφορά: O θερμικός άνεμος δίνει τη δυνατότητα να διαπιστώσουμε κατά πόσο σε έναν τόπο ο άνεμος μεταφέρει θερμότερες ή ψυχρότερες αέριες μάζες. Ψυχρή μεταφορά: Αν ο γεωστροφικός άνεμος στρέφεται με το ύψος αντίθετα στη φορά των δεικτών του ρολογιού Και στα δύο επίπεδα οι άνεμοι πνέουν από χαμηλότερες προς ψηλότερες θερμοκρασίες Θερμή μεταφορά: Αν ο γεωστροφικός άνεμος στρέφεται με το ύψος στη φορά των δεικτών του ρολογιού Οι άνεμοι πνέουν από ψηλότερες προς χαμηλότερες θερμοκρασίες O θερμικός άνεμος εκφράζει τη μεταβολή του γεωστροφικού ανέμου με το ύψος. Δίνει τη δυνατότητα να διαπιστώσουμε κατά πόσο σε έναν τόπο ο άνεμος μεταφέρει θερμότερες ή ψυχρότερες αέριες μάζες. VT Vg1 Vg1 Vg0 Vg0 VT

Jet Stream Το jet stream είναι ένα παράδειγμα θερμικού ανέμου. Προκύπτει από την οριζόντια θερμοβαθμίδα μεταξύ των θερμών τροπικών και των ψυχρών πολικών περιοχών.

Άνεμος Βαθμίδας Ισορροπία τριών δυνάμεων 0 = Βαροβαθμίδα + Coriolis + Φυγόκεντρος 0 = PGF + COR + Fφ

Άνεμος Βαθμίδας Ισορροπία τριών δυνάμεων 0 = Βαροβαθμίδα + Coriolis + Φυγόκεντρος 0 = PGF + COR + Fφ

Κυκλοστροφικός Άνεμος Σε περιπτώσεις οριζόντιων κινήσεων πολύ μικρής κλίμακας (100 m) Ισορροπία δύο δυνάμεων 0 = Βαροβαθμίδα + Φυγόκεντρος 0 = PGF + Fφ Για την περίπτωση ανεμoστρόβιλου f=10-4 s-1 , V=30 m/s, R= 300 m Ro = 1000

Ρευματογραμμές (streamlines) – Τροχιές (trajectories) H τροχιά (trajectory) ενός τμήματος αέρα είναι η διαδρομή που ακολουθείται από το συγκεκριμένο τμήμα αέρα σε μια πεπερασμένη χρονική περίοδο. Είναι σημαντικό να γίνει ευκρινής διάκριση μεταξύ των ρευματογραμμών, οι οποίες αποδίδουν τη στιγμιαία εικόνα του πεδίου της ταχύτητας του ανέμου, και των τροχιών, οι οποίες ιχνογραφούν την κίνηση των ανεξάρτητων τμημάτων του αέρα σε μία πεπερασμένη χρονική περίοδο.

Η ρευματογραμμή ταυτίζεται με την τροχιά μόνο σε σταθερής κατάστασης πεδία κίνησης (steady-state motion fields). Όμως αυτό δε συμβαίνει στα συνοπτικά συστήματα που γενικά δεν είναι στάσιμα, και των οποίων η ταχύτητα είναι πολλές φορές της ίδιας τάξης με τους ανέμους που κυκλοφορούν σε αυτά. Για παράδειγμα: - Αν θεωρήσουμε ένα στάσιμο χαμηλό τότε οι ρευματογραμμές και οι τροχιές ταυτίζονται. - Αν όμως το χαμηλό δεν είναι στάσιμο τότε υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των ρευματογραμμών και των τροχιών. L L t0 t1 t2 Κυκλωνικές ρευματογραμμές Αντικυκλωνική τροχιά

Απόκλιση και στροβιλισμός απόκλιση/σύγκλιση (divergence/convergence) περιστροφή – στροβιλισμός (rotation – vorticity)

Εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστο ρευστό

Οι πρωταρχικές εξισώσεις (primitive equations) Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την οριζόντια κίνηση Η υδροστατική εξίσωση Η εξίσωση τελείων αερίων Ο πρώτος νόμος της Θερμοδυναμικής Η εξίσωση συνέχειας