Ενότητα 2η: Ο ΔΙΚΤΥΩΤΟΣ ΔΙΣΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 2η: Ο ΔΙΚΤΥΩΤΟΣ ΔΙΣΚΟΣ Διάλεξη: Δικτυωτός δίσκος – μόρφωση δικτυωμάτων και υπολογισμός τάσεων ράβδων. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Υπάρχουν δύο τρόποι μόρφωσης δικτυωμάτων Δικτύωμα - ορισμός Δικτύωμα: δικτυωτός δίσκος που μορφώνεται από ευθύγραμμες ράβδους με την αρθρωτή σύνδεση στα άκρα τους. Τα σημεία συναρθρώσεως ονομάζονται κόμβοι. Υπάρχουν δύο τρόποι μόρφωσης δικτυωμάτων 1ος τρόπος μόρφωσης: ξεκινά με το πιο απλό ελεύθερο στερεό δικτύωμα: τρεις κόμβοι ενώνονται με τρεις ράβδους. Ακολούθως, προστίθενται κόμβοι. Kάθε νέος κόμβος ενώνεται με τους υπάρχοντες με δύο νέες ράβδους.

1ος τρόπος μόρφωσης δικτυωμάτων Τα τμήματα του φορέα που προκύπτει με τον τρόπο αυτό είναι στερεά, δηλ. αμετακίνητα το ένα σε σχέση με το άλλο. Για να γίνει ο φορέας ισοστατικός χρειάζεται και η σύνδεσή του με το έδαφος με τρεις δεσμικές ράβδους. Εάν ένα δικτύωμα έχει κ αριθμό κόμβων θα έχει 2κ-3 αριθμό ράβδων και εάν συνυπολογιστούν και οι δεσμικές ράβδοι που το συνδέουν με το έδαφος, έχει συνολικά αριθμό ράβδων ρ=2κ. Η τελευταία είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για ένα στερεό και ισοστατικό δικτυωτό φορέα (η συνθήκη ρ=2κ-3 είναι αναγκαία για ένα στερεό δικτυωτό δίσκο).

2ος τρόπος μόρφωσης δικτυωμάτων 2ος τρόπος μόρφωσης: ξεκινά με ένα σημείο (κόμβο) στέρεα συνδεδεμένο με το έδαφος μέσω δύο δεσμικών ράβδων. Ακολούθως, προστίθενται κόμβοι και κάθε νέος κόμβος συνδέεται με τους υπάρχοντες με δύο νέες ράβδους. Κάποιες από αυτές τις ράβδους μπορεί να είναι ράβδοι σύνδεσης με το έδαφος. Και με αυτόν τον τρόπο μορφώνεται ένας στερεός και ισοστατικός δικτυωτός φορέας. Αναγκαία συνθήκη και πάλι, ρ=2κ. Στον αριθμό των κόμβων κ της παραπάνω σχέσης δε συμπεριλαμβάνονται οι κόμβοι σύνδεσης των δεσμικών ράβδων με το έδαφος.

Γενικά για τους δικτυωτούς φορείς Για όλους τους δικτυωτούς φορείς ισχύουν τα εξής: Τα φορτία ασκούνται αποκλειστικά και μόνο στους κόμβους των δικτυωμάτων. Οι ράβδοι δεν παραλαμβάνουν άλλες δυνάμεις εκτός από τις αξονικές και επομένως δε μπορεί να εφαρμοστεί πάνω σε κάποιο σημείο μιας ράβδου, δύναμη που να έχει συνιστώσα κάθετη στον άξονα της ράβδου. Στους κόμβους ενός δικτυώματος η ροπή είναι μηδενική λόγω της σύνδεσης των ράβδων με εσωτερικές αρθρώσεις.

Τα δικτυώματα στην πράξη Πώς κατασκευάζονται τα δικτυώματα στην πράξη?

Δικτυώματα – θεωρία και πράξη ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στη θεωρία γίνεται η παραδοχή της αρθρωτής σύνδεσης των ράβδων στους κόμβους, με αποτέλεσμα να είναι μηδενική η ροπή στα άκρα των μελών (πραγματικές ράβδοι). Αντίθετα, στην πράξη, κατά την κατασκευή ενός δικτυώματος, συνήθως δεν υλοποιούνται αρθρωτές συνδέσεις μεταξύ των ράβδων, με αποτέλεσμα την εμφάνιση μη μηδενικής ροπής στα άκρα των μελών. Παρόλα αυτά, θεωρείται πως οι ροπές που εμφανίζονται στους κόμβους είναι στην πράξη πολύ μικρές και θεωρούνται αμελητέες. Επομένως, θεωρείται ότι δεν υπάρχει σημαντική απόκλιση μεταξύ των υπολογισμών που γίνονται στις δύο περιπτώσεις (θεωρία και πράξη).

Τάση ράβδου δικτυώματος Τάση ράβδου δικτυώματος: είναι η δύναμη που μεταφέρει η ράβδος (ο όρος «τάση» χρησιμοποιείται καταχρηστικά). Ανάλυση των τάσεων μιας ράβδου δικτυώματος: Έστω μια ράβδος δικτυώματος στην οποία γίνεται μια τομή. Μετά την τομή, για την αποκατάσταση της ισορροπίας τοποθετούνται οι τάσεις έτσι ώστε να εφελκύουν τα τμήματα της ράβδου (θετικές). Όταν η ράβδος αφαιρεθεί, οι τάσεις σχεδιάζονται στους κόμβους (το ορθό είναι να σχεδιάζεται και η ράβδος για λόγους ισορροπίας). ΠΡΟΣΟΧΗ: οι τάσεις των ράβδων σχεδιάζονται πάντα με τη θετική τους φορά (εφελκυστικές).

Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων (1) Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων: Για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός δικτυώματος τα άγνωστα μεγέθη (τάσεις ράβδων) θα είναι ρ τον αριθμό (δηλ. όσα και ο αριθμός των ράβδων). Οι γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας που μπορούν να γραφούν για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων είναι επίσης ρ (=2κ) τον αριθμό, καθώς ο αριθμός των κόμβων είναι κ και για κάθε κόμβο μπορούν να γραφούν οι δύο εξισώσεις ισορροπίας των προβολών: 𝐹 𝑥 =0 𝜅𝛼𝜄 𝐹 𝑦 =0

Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων (2) Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων: Προκύπτουν όμως έτσι, μεγάλα και δυσεπίλυτα συστήματα εξισώσεων (ιδιαίτερα όταν πρόκειται για μεγάλα δικτυώματα, με μεγάλο ρ ). Για να αποφευχθεί η ανάγκη επίλυσης μεγάλων συστημάτων εξισώσεων, ακολουθούνται άλλες μέθοδοι υπολογισμού των τάσεων των ράβδων ενός δικτυώματος. Οι συνηθέστερες μέθοδοι είναι οι εξής: Μέθοδος των κόμβων. Μέθοδος των τομών Ritter.

Η μέθοδος των κόμβων Η μέθοδος των κόμβων. Αρχικά, υπολογίζονται οι αντιδράσεις των στηρίξεων του δικτυωτού φορέα από τις συνθήκες ισορροπίας ολόκληρου του δίσκου. Ακολούθως, από τις εξισώσεις ισορροπίας στον τελευταίο κόμβο που έχει τοποθετηθεί στο δικτύωμα και συγκεκριμένα, από τις εξισώσεις των προβολών, υπολογίζονται οι τάσεις των δύο ράβδων που συνδέονται στον κόμβο αυτό. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τον προτελευταίο κόμβο που έχει τοποθετηθεί κατά τη μόρφωση του δικτυώματος, με άγνωστες μόνο τις τάσεις των δύο ράβδων με τις οποίες συνδέθηκε ο κόμβος με το δικτύωμα. Προχωρώντας έτσι, εξαντλούνται όλοι οι κόμβοι και υπολογίζονται όλες οι τάσεις των ράβδων.

Η μέθοδος των τομών Ritter Αρχικά, υπολογίζονται οι αντιδράσεις των στηρίξεων του δικτυωτού φορέα από τις συνθήκες ισορροπίας ολόκληρου του δίσκου. Ακολούθως, γίνονται τομές στο δικτυωτό δίσκο, από τις οποίες κάθε φορά προκύπτουν δύο ανεξάρτητα στερεά συστήματα. Οι τομές αυτές πρέπει να τέμνουν κάθε φορά τρεις ράβδους του δικτυώματος. Μέσω των εξισώσεων ισορροπίας για το κάθε αποκοπτόμενο τμήμα του αρχικού δίσκου, υπολογίζονται οι τάσεις των τεμνόμενων ράβδων.