Δυναμική της κοπής (Chattering)

Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας

Γενική διαφορική εξίσωση Γενική λύση δ.ε. Ειδική λύση Η δύναμη έχει πάντοτε φορά αντίθετη της μετατόπισης Χ. Η δύναμη προηγείται της ΚΧ κατά 90 ο. Η δύναμη προηγείται της ΚΧ κατά 180 ο. Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση παίρνουμε: Και από τη λύση του συστήματος προκύπτει ………………………………………………………………………… Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας (2)

όπου : και Ο πρώτος όρος της γενικής λύσης αποσβέννυται πολύ γρήγορα, οπότε απομένει μόνο η ειδική λύση να περιγράφει την επίδραση της εξωτερικής διέγερσης. Εισάγοντας τη μιγαδική γραφή του Χ, παίρνουμε διαδοχικά: η διαπόκριση του συστήματος κατά τις διευθύνσεις Χ και Ρ. Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας (3) όπου

Αυτοσυντηρούμενος κραδασμός (regenerative chatter) είναι η συνηθέστερη μορφή αστάθειας στην κοπή. Στο Σχ. 1 εξηγείται ο μηχανισμός του φαινομένου: Σχήμα 1 Η δύναμη κοπής Ρ μεταφερόμενη στην ΕΜ προκαλεί μετατόπιση Υ μεταξύ της κόψης του ΚΕ και του ΤΕ. Η μετατόπιση αυτή έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή του πάχους a του αποβλίττου. Η μεταβολή αυτή προκαλεί μεταβολή στο μέγεθος της δύναμης κοπής Ρ και έτσι προκύπτει ένας κλειστός βρόγχος αλληλεπίδρασης (ΕΜ-ΚΕ-ΤΕ), ο οποίος υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να καταλήξει ασταθής. Σχήμα 2 Απλοποιημένο πρότυπο κοπής Το Σχ. 2 αποτελεί μια λεπτομερέστερη παράστα- ση του Σχ. 1. Το ΤΕ θεωρείται ότι διαθέτει επιφάνεια ημιτονο- ειδούς μορφής (για λόγους απλότητας) πλάτους Υ ο λόγω προηγούμενης κοπής και αφαιρείται μέσο βάθος κοπής a ανά διαδρομή ΚΕ. Η μέση κατεύθυνση της δύναμης κοπής δηλώνε- ται με το διάνυσμα Ρ. Η κάθετη προς την κατεργασμένη επιφάνεια δη- λώνεται με τη διεύθυνση Υ. Λόγω της κυμάτωσης Υ ο η δύναμη κοπής μετα- βάλλεται προκαλώντας μετατόπιση του ΚΕ και επιφάνεια ημιτονοειδούς μορφής επί του ΤΕ, πλάτους Υ. Αυτοσυντηρούμενος κραδασμός στην κοπή – Δυναμική της κοπής

Συνέπειες της δυναμικής συμπεριφοράς της κοπής στην ποιότητα της κατεργασμένης επιφάνειας – Διάφορα Παραδείγματα Δυναμική της κοπής (2)

(i)Αν Υ<Υ ο (1), η κοπή θεωρείται ευσταθής (ii)Αν Υ=Υ ο (2), η κοπή βρίσκεται στο κατώφλι ευστάθειας (iii)Αν Υ>Υ ο (3), η κοπή θεωρείται ασταθής. Επειδή το μέγεθος της κυμάτωσης καθορίζεται μέσω της προβολής Υ της σχετικής μετατόπισης ΚΕ-ΤΕ πάνω στην κάθετη στην κατεργασμένη επιφάνεια, η σχέση μεταξύ Υ και δρώσας δύναμης Ρ μπορεί να γραφεί κατά τα γνωστά Υ=Ρ Φ(ω) (4) Η Φ(ω) είναι η διαπόκριση κατά τις διευθύνσεις Υ και Ρ και ισούται με : Φ(ω)=G(ω)+iH(ω) (5) και προσδιορίζεται πειραματικά μέσω ειδικής διάταξης μέτρησης ταλαντώσεων. Η σχέση (5) δηλώνει ότι μεταξύ Υ και Ρ υπάρχει διαφορά φάσης. Σχήμα 3 Έστω ότι η ΕΜ στο σημείο διέγερσής της από τη δύναμη Ρ συναντά απλό ταλα- ντούμενο σύστημα 1 βαθμού ελευθερίας, το οποίο διεγειρόμενο στη φυσική του συχνότητα κινείται κατά τη διεύθυνση Χ i (Σχ. 3). Η συνιστώσα της δύναμης κατά τη Χ i είναι ίση με Pcosα και η μετατόπιση μετριέται πάλι στον άξονα των Υ Αν Υ ο το πλάτος κυμάτωσης της αρχικής επιφάνειας και Υ το πλάτος κυμάτωσης της κατεργασμένης επιφάνειας, εξ ορισμού διακρίνουμε: Διαδοχικά έχουμε: Δυναμική της κοπής (3)

Δυναμική της κοπής (4) Πειραματικές μετρήσεις Σχήμα 4 Στο Σχ. 4 παρουσιάζονται γραφικές παραστάσεις των G και H, όπως προκύπτουν πειραματικά. Από τις καμπύλες αυτές, με χρήση προσεγγιστικών σχέσεων, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέρουσες ιδιότητες του ταλαντού- μενου συστήματος. Βοηθητικές σχέσεις (11β) (11α) (12) Με αντίστοιχες συχνότητες: (13) (14) Άρα, με μέτρηση των μεγεθών αυτών μπορούμε να υπολογίσουμε τις πραγματικές τιμές της στοιβατότητας Κ, του λόγου απόσβεσης d και της φυσικής συχνότητας Ω

Για την κατανόηση των φαινομένων που υπεισ- έρχονται στη «δυναμική κατάσταση» της κοπής, έχει προταθεί η ακόλουθη έκφραση για τη μετα- βολή της δύναμης κοπής λόγω της μεταβολής του πάχους αποβλίττου κατά την κοπή ΔΡ=-r b (Y-Y o ) (15) όπου: r o συντελεστής της δύναμης κοπής (προσ- διορίζεται πειραματικά), b το πλάτος αποβλίττου και (Υ-Υ ο ) η μεταβολή του πάχους αποβλίττου. Συνδυάζοντας τις εξ. (5) και (15), προκύπτει (16) Η κοπή είναι ευσταθής, όταν οριακά ισχύει Υ=Υ ο, δηλ. όταν η κυμάτωση της επιφάνειας κατά τις διαδοχικές κοπές παραμένει με το ίδιο πλάτος. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν είναι (17) Συνεπώς: Το μέγιστο πλάτος αποβλίττου που μπορεί να κοπεί χωρίς πρόκληση κραδασμών είναι ίσο με : (18) Στην τόρνευση (Σχ. 5) ισχύει: b=t/sinκ, όπου κ η γωνία τοποθέτησης της κόψης και t το βάθος κοπής. Σχήμα 5 Για το μετωπικό φρεζάρισμα (Σχ. 6) ισχύει: (19) όπου Ζ c o αριθμός ενεργών κόψεων. Συνθήκες ευσταθούς κοπής Σχήμα 6

Συνθήκες ευσταθούς κοπής (2) Σχήμα 7 Τυπικό πειραματικό διάγραμμα ευστάθειας κοπής με κριτήριο την εκάστοτε οριακή τιμή του πλάτους κοπής b (καμπύλη 3). Αν ισχύει η εξ. (15) και ο συντελεστής κοπής r είναι ανεξάρτητος της ταχύτητας κοπής, τότε λαμβάνεται η ασύμπτωτη καμπύλη (1) – ελάχιστον, αλλά σταθερό πλάτος ευστάθειας. Αν η εξ. (15) συνοδεύεται και με όρο εξαρτώμενο από την ταχύτητα διείσδυσης του ΚΕ στο ΤΕ, τότε προκύπτει η περιβάλλουσα καμπύλη (2) του πραγματικού πειραματικού διαγράμματος (3). Επειδή η πρόβλεψη της καμπύλης (2) είναι αδύνατη ποσοτικά, η μελέτη της ευστάθειας περιορίζεται σε διάγραμμα 2 συνιστωσών (Σχ. 8). Σχήμα 8 Η εξ. (15) γράφεται ακριβέστερα: (20) Αναγκαίες συνθήκες στο όριο ευστάθειας [Εξ. (5) και (20)] (21) Τ=περίοδος περιστροφής Ζ=αριθμός οδόντων ΚΕ f=συχνότητα κραδασμών N=στροφές (RPM) στροφέα ψ= γωνία φάσης κοπής (Σχ. 9) η=0,1,2,3,… Σχήμα 9

Η γενική περίπτωση της δυναμικής της κοπής Αντιστοιχεί στην περίπτωση που η αρχική επι- φάνεια ΤΕ (πριν από την έναρξη της πρώτης κοπής) είναι ομαλή. Δηλαδή απουσιάζει οποιαδήποτε διέγερση σε ταλάντωση του συστήματος (ΕΜ+ΚΕ+ΤΕ). Θέτουμε στην εξ. (15) Υ ο =0, και παίρνουμε ΔΡ = - r b Y (22) και λόγω της (5) [1+rbG+irbH]Y=0 (23) Η εξ. (23) έχει 2 λύσεις, την τετριμμένη Υ=0 που αντιστοιχεί σε ευσταθή κοπή χωρίς καμιά κυμάτωση στην κατεργασμένη επιφάνεια και τη (1+rbG)+irbH=0 ή ισοδύναμα: {1+rbG=0 και rbH=0} (24) που αντιστοιχεί σε ασταθή κοπή (Υ>Υ ο ). Από τις εξ. (24) προκύπτει (25) Άρα: Αστάθεια έχουμε μόνο για μία συχνότητα ω, για την οποία το φανταστικό μέρος της Φ είναι ίσο με 0 και το πραγματικό μέρος της αρνητικό. Μια τέτοια περίπτωση απεικονίζεται στο Σχ. 7. Εδώ, το οριακό πλάτος κοπής είναι ίσο με και συγκρινόμενο με την αντίστοιχη τιμή του αυτοσυντηρούμενου κραδασμού ευρίσκεται σχεδόν υπερδιπλάσιο αυτού. Σχήμα 7

Ο συντελεστής της δύναμης κοπής H ικανότητας μιας ΕΜ-κοπής υπό πραγματικές συνθήκες κοπής καθορίζεται από: (α) τη δυναμική απόκριση της κατασκευής της και (β) έναν συντελεστή κοπής που εξαρτάται από το υλικό ΤΕ, τη γεωμετρία ΚΕ και τις συνθήκες κοπής. Η δυναμική απόκριση της ΕΜ μετριέται απευθείας με ειδικές πειραματικές διατάξεις και δεν απαιτείται η γνώση του συντελεστή κοπής. Για τον ποσοτικό προσδιορισμό όμως της ικανότητας της ΕΜ είναι απαραίτητη η γνώση του συντελεστή κοπής. H τιμή του προσδιορίζεται πειραματικά. Προσεγγιστικά μπορεί να λαμβάνεται μία μέση τιμή του ίση με την ειδική αντίσταση κοπής k s.