Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο –18 ος αιώνας –Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές –Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων –Μελέτη χημικών συνθέσεων –Μελέτη δομών Παγκοσμίου Ιστού (World Wide Web-WWW) –Μελέτη διασύνδεσης υπολογιστικών συστημάτων –Εύρεση συντομότερης διαδρομής μεταξύ πόλεων σε συγκοινωνιακό δίκτυο –Χρονικός προγραμματισμός διαγωνισμών –Ανάθεση καναλιών/συχνοτήτων

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα…; Διακριτές δομές Αποτελούνται από κορυφές και ακμές –Οι ακμές συνδέουν τις κορυφές Διαφορετικοί τύποι γραφημάτων ανάλογα με το είδος και το πλήθος των ακμών που συνδέουν ζεύγος κορυφών Βεβαρυμένα γραφήματα δηλ., γραφήματα με βάρη σε ακμές ή/και κορυφές χρησιμοποιούνται για αναπαράσταση και λύση ποικίλων προβλημάτων

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Τα γραφήματα ως μοντέλα: Για αναπαράσταση: –Ανταγωνισμού διαφορετικών ειδών σε ένα οικολογικό περιβάλλον –Ποιος επηρεάζει ποιον σε έναν οργανισμό –Αποτελεσμάτων αθλητικών πρωταθλημάτων Για λύση προβλημάτων όπως: –Υπολογισμός πλήθους διαφορετικών συνδυασμών πτήσεων μεταξύ δύο πόλεων σε αεροπορικό δίκτυο –Προσδιορισμό του αν μπορούμε να περάσουμε από όλους τους δρόμους μιας πόλης χωρίς να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο δρόμο –Εύρεση πλήθους χρωμάτων που απαιτούνται για να χρωματιστούν οι περιοχές χάρτη

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων Απλό γράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή  Κορυφή (Vertex) Τηλεφωνική γραμμή μεταξύ υπολογιστών  Ακμή (μη κατευθυνόμενη) (Edge) –Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Κάθε ακμή συνδέει δύο ξεχωριστές κορυφές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων Πολυγράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή  Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών  Ακμές (μη κατευθυνόμενες) –Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές –Μεγάλη δικτυακή κίνηση Κάθε απλό γράφημα είναι και πολυγράφημα – Δεν ισχύει το αντίστροφο

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων Ψευδογράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή  Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών  Ακμές (μη κατευθυνόμενες) –Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές –Μεγάλη δικτυακή κίνηση Μπορεί να υπάρχουν βρόχοι –Για διαγνωστικούς λόγους Στα πολυγραφήματα δεν επιτρέπονται βρόχοι – Επιτρέπονται στα ψευδογραφήματα Δίκτυο υπολογιστών με πολλαπλές γραμμές Δίκτυο υπολογιστών με διαγνωστικές γραμμές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων Κατευθυνόμενα γραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή  Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών  Ακμές (κατευθυνόμενες) –Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Κάποιος υπολογιστής μπορεί να δέχεται μόνο δεδομένα και να μην επιτρέπεται να στείλει Στα κατευθυνόμενα γραφήματα επιτρέπονται βρόχοι αλλά όχι πολλαπλές ακμές (ίδιας κατεύθυνσης) μεταξύ κορυφών

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή  Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών  Πολλαπλές ακμές (κατευθυνόμενες) –Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Στα κατευθυνόμενα πολυγραφήματα επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ κορυφών

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Είδη γραφημάτων: σύνοψη

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επικάλυψης περιβάλλοντος στην οικολογία είδος Ακμή = τα είδη ανταγωνίζονται (κάποιοι από τους διατροφικούς τους πόρους είναι ίδιοι)

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα γνωριμιών –Για την αναπαράσταση σχέσεων μεταξύ ανθρώπων, όπως π.χ., αν γνωρίζονται άτομα Ακμή = τα άτομα γνωρίζονται

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επίδρασης –Σε μελέτες συμπεριφοράς παρατηρείται ότι κάποια άτομα μπορούν να επηρεάσουν άλλα άτομα Ακμή = το άτομο στην αρχή επηρεάζει το άτομο στο τέλος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα του Hollywood –Κορυφές  ηθοποιοί –Ακμή μεταξύ κορυφών  οι αντίστοιχοι ηθοποιοί έχουν παίξει μαζί σε ταινία Internet Movie Database, 11/2001: – κορυφές –> ακμές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Αθλητικά πρωταθλήματα με αποκλεισμό του ηττημένου –Κάθε ομάδα παίζει με άλλη ομάδα μόνο μία φορά –Κορυφές  ομάδες –Κατευθυνόμενη ακμή μεταξύ κορυφών Α, Β  η ομάδα Α νίκησε την ομάδα Β

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα συνεργασίας –Κατασκευή μοντέλου για συνεργατική συγγραφή επιστημονικών εργασιών –Κορυφές  συγγραφείς –Ακμή μεταξύ κορυφών  οι αντίστοιχοι συγγραφείς έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία > κορυφές > ακμές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα (τηλεφωνικών) κλήσεων –Κορυφές  τηλεφωνικοί αριθμοί –(κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών  τηλεφωνική κλήση

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Το γράφημα του Παγκόσμιου Ιστού –Κορυφές  ιστοσελίδες –(κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β  υπάρχει σύνδεσμος από την ιστοσελίδα Α στην ιστοσελίδα Β –Τέτοια γραφήματα χρησιμοποιούν οι μηχανές αναζήτησης για δημιουργία ευρετηρίων ιστοσελίδων

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα προτεραιότητας και ταυτόχρονη επεξεργασία –Κορυφές  εργασίες –(κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β  η εργασία Α πρέπει να πραγματοποιηθεί πριν την εργασία Β

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

Άσκηση Ψευδογράφημα Κατευθυνόμενο γράφημα Κατευθυνόμενο πολυγράφημα Απομακρύνω βρόχους και πολλαπλές ακμές Ψευδογράφημα Απλό γράφημα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

Ασκήσεις 6

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ασκήσεις

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα: βασική ορολογία Μη κατευθυνόμενο γράφημα –Γειτονικές κορυφές u,v: υπάρχει ακμή (u,v) μεταξύ τους Η ακμή (u,v) είναι προσκείμενη στις κορυφές u και v Η ακμή (u,v) συνδέει τις κορυφές u και v Οι κορυφές u και v είναι τελικά σημεία της ακμής (u,v) –Βαθμός κορυφής v: πλήθος ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg(v) –Κορυφές με βαθμό 0: απομονωμένες –Κορυφές με βαθμό 1: εκκρεμείς

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Παράδειγμα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Το Θεώρημα της Χειραψίας Τι θα έχουμε αν προσθέσουμε τους βαθμούς όλων των κορυφών ενός γραφήματος; Ακμή με δύο σημεία  χειραψία με δύο χέρια ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΧΕΙΡΑΨΙΑΣ: Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με e ακμές. Τότε –Ισχύει ακόμα και αν υπάρχουν πολλαπλές ακμές και βρόχοι Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο άθροισμα αφού προσπίπτει σε δύο ακριβώς κορυφές. Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι άρτιος αριθμός.

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Πόσες ακμές υπάρχουν σε γράφημα με 10 κορυφές, που κάθε μία είναι βαθμού 6; Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών είναι 6*10=60 Επειδή ισούται με το διπλάσιο του πλήθους των ακμών: 2*e=60  e=30 Το Θεώρημα της Χειραψίας

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα ΘΕΩΡΗΜΑ: Μη κατευθυνόμενο γράφημα έχει άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με V 1  V 2 =V –V 1 ={u|u είναι κορυφή του G με άρτιο βαθμό} –V 2 ={v|v είναι κορυφή του G με περιττό βαθμό} Ισχύει:

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα ΘΕΩΡΗΜΑ: Μη κατευθυνόμενο γράφημα έχει άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με V 1  V 2 =V –V 1 ={u|u είναι κορυφή του G με άρτιο βαθμό} –V 2 ={v|v είναι κορυφή του G με περιττό βαθμό} Ισχύει: Άρτιος αφού deg(v) άρτιος Άρτιος αφού ισούται με 2e  Άρτιος ως μέλος ζεύγους όρων με άρτιο άθροισμα Άθροισμα: άρτιος αριθμός περιέχει μόνο περιττούς όρους  περιέχει άρτιο πλήθος όρων

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα: βασική ορολογία Κατευθυνόμενο γράφημα –Ακμή (u,v) u: αρχική κορυφή v: τελική κορυφή –Βρόχοι: αρχική και τελική κορυφή είναι η ίδια –Έσω βαθμός κορυφής v: πλήθος κορυφών ακμών που καταλήγουν στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg - (v) –Έξω βαθμός κορυφής v: πλήθος κορυφών ακμών που ξεκινούν από την κορυφή v Συμβολίζουμε deg + (v) –Βρόχοι: συνεισφέρουν 1 και στον έσω και στον έξω βαθμό μιας κορυφής

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Παράδειγμα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε κατευθυνόμενο γράφημα G=(V,E) ισχύει Απόδειξη Κάθε ακμή έχει αρχική και τελική κορυφή  Το άθροισμα των έσω βαθμών και των έξω βαθμών όλων των κορυφών σε γράφημα με κατευθυνόμενες ακμές είναι ίσα Και τα δύο αυτά αθροίσματα ισούνται με το πλήθος των ακμών του γραφήματος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ειδικά απλά γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ειδικά απλά γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ειδικά απλά γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ειδικά απλά γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Διμερή γραφήματα Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών σε διαφορετικά υποσύνολα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Παράδειγμα Είναι διμερή τα παρακάτω γραφήματα; Διμερές Μη διμερές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Πλήρη διμερή γραφήματα Κ m,n Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Α και Β με m και n κορυφές, αντίστοιχα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών των υποσυνόλων Α και Β Υπάρχει ακμή μεταξύ –κάθε κορυφής του Α προς όλες τις κορυφές του Β και –κάθε κορυφής του Β προς όλες τις κορυφές του Α

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Εφαρμογές ειδικών τύπων γραφημάτων Τοπικά δίκτυα –Διασύνδεση μίνι-υπολογιστών και προσωπικών υπολογιστών με περιφερειακές συσκευές (εκτυπωτές, plotters, κτλ) Τοπολογία αστέραΤοπολογία δακτυλίου Υβριδική τοπολογία

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ορισμός: Υπογράφημα γραφήματος G=(V,E) είναι γράφημα H=(W,F) με W  V και F  E

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ορισμός: Ένωση G 1  G 2 δύο απλών γραφημάτων G 1 =(V 1,E 1 ) και G 2 =(V 2,E 2 ) είναι το απλό γράφημα με σύνολο κορυφών V 1  V 2 και σύνολο ακμών E 1  E 2

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ασκήσεις

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια σε γραφήματα Πρακτική σημασία –Αποτελεσματική σχεδίαση οδεύσεων για Παράδοση αλληλογραφίας Συλλογή απορριμμάτων Διαγνωστικά σε δίκτυα υπολογιστών … Μονοπάτι = ακολουθία διαδοχικών ακμών σε γράφημα –Κύκλος: μονοπάτι στο οποίο η αρχική και η τελική κορυφή είναι η ίδια –Απλό: μονοπάτι που δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές –Μήκος μονοπατιού: πλήθος ακμών του Μονοπάτι με μήκος 0 περιέχει μία μόνο κορυφή

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια σε γραφήματα a,d,c,f,e: μονοπάτι d,e,c,a: όχι μονοπάτι b,c,f,e,b: κύκλος με μήκος 4 a,b,e,d,a,b: όχι απλό μονοπάτι μήκους 5

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα γνωριμιών –Υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ ανθρώπων Α και Β αν υπάρχει αλυσίδα ανθρώπων που συνδέει τους Α και Β –Άνθρωποι γειτονικοί στην αλυσίδα = γνωρίζονται –Six degrees of separation (facebook): κάθε ζεύγος ανθρώπων στον κόσμο συνδέεται με μια μικρή αλυσίδα ανθρώπων με μήκος το πολύ 6… Πείραμα Milgram

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα συνεργασίας –Κορυφές που αναπαριστούν συγγραφείς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία συγγραφέων που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι συγγραφείς που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία –Μαθηματικοί/Επιστήμονες Υπολογιστών: αριθμός Erdös ενός επιστήμονα Ε = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Ε και του Paul Erdös

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια στο γράφημα του Hollywood –Κορυφές που αναπαριστούν ηθοποιούς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία ηθοποιών που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι ηθοποιοί που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν παίξει μαζί σε ταινία –Ηθοποιοί Hollywood: αριθμός Bacon ενός ηθοποιού Α = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Α και του Kevin Bacon

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Συνεκτικό γράφημα: υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο (διαφορετικών) κορυφών του συνεκτικό Μη συνεκτικό

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα είναι ένωση δύο ή περισσότερων συνεκτικών υπογραφημάτων (= συνεκτικών συνιστωσών) που ανά ζεύγη δεν έχουν κοινές κορυφές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Συνεκτικότητα σε κατευθυνόμενα γραφήματα Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b και από τη b στην a Ασθενώς συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b ισχυρά συνεκτικό ασθενώς συνεκτικό

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια και κύκλοι Euler Πόλη Königsberg, Πρωσσία (σημερινό Kaliningrad, Ρωσική Δημοκρατία) → → Ποταμός Pregel Νησί Kneiphof γέφυρες Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια και κύκλοι Euler Υπάρχει απλός κύκλος στο παρακάτω πολυγράφημα που να περιέχει κάθε ακμή; Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτι Euler Η γνωστή «μονοκονδυλιά»… Σύντομες, κατατοπιστικές λεπτομέρειες για άτομα που ενδιαφέρονται περαιτέρω.

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ασκήσεις Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα; ΝΑΙ ΟΧΙΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι ΝΑΙΟΧΙΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη κύκλου Euler Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό  υπάρχει κύκλος Euler στο γράφημα –Υπάρχει κύκλος Euler  κάθε κορυφή έχει βαθμό 2 (δηλαδή άρτιο) –Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό  κατασκευάζω τον κύκλο Euler ξεκινώντας από αυθαίρετη κορυφή και χρησιμοποιώντας πεπερασμένο πλήθος ακμών Αφού κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό το μονοπάτι μπορεί πάντα να εισέρχεται και να εξέρχεται από κάθε ακμή Μπορεί να προκύψουν μονοπάτια που χρησιμοποιούν (ΟΚ) ή δεν χρησιμοποιούν όλες τις ακμές του γραφήματος –Μπορώ να τα ενώσω

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

Ασκήσεις Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Εκτελέστε τον αλγόριθμο κατασκευής κυκλωμάτων Euler στο παρακάτω γράφημα (γνωστό και ως «τα γιαταγάνια του Μωάμεθ» - “Mohammed’s Scimitars”)

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη μονοπατιού Euler Υπάρχουν μόνο 2 κορυφές περιττού βαθμού  υπάρχει μονοπάτι Euler στο γράφημα –Υπάρχει μονοπάτι (αλλά όχι κύκλος) Euler  η πρώτη και η τελευταία κορυφή έχουν περιττό βαθμό και όλες οι άλλες κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (=2) –Υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές - u,v - με περιττό βαθμό  προσθέτουμε την ακμή (u,v) στο αρχικό γράφημα και πλέον όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό  υπάρχει κύκλος Euler  με διαγραφή της ακμής (u,v) προκύπτει μονοπάτι Euler

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Σε ποια από τα παρακάτω γραφήματα υπάρχει μονοπάτι Euler;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Τελικά, τι έγινε στο Königsberg; Στο πολυγράφημα υπάρχουν 4 κορυφές περιττού βαθμού  δεν υπάρχει μονοπάτι Euler  Δε γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια και κύκλοι Euler: πρακτικές εφαρμογές Αναζήτηση μονοπατιού ή κύκλου που διέρχεται μία μόνο φορά –από κάθε δρόμο σε μια γειτονιά Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου [Guan Meigu, 1962] –από κάθε σύνδεση σε δίκτυο ΔΕΗ, ΔΕΥΑ, … –από κάθε ζεύξη σε δίκτυο επικοινωνιών Μοριακή Βιολογία: μονοπάτια Euler χρησιμοποιούνται στην ακολουθία του DNA

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι ή κύκλος που να περιέχει κάθε κορυφή μόνο μία φορά; Γρίφος του Είκοσι (Icosian Puzzle) [Sir William Rowan Hamilton, 1857]

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γρίφος του Είκοσι Δωδεκάεδρο: πολύεδρο με πλευρές 12 κανονικά πεντάγωνα 20 κορυφές του δωδεκάεδρου: 20 διαφορετικές πόλεις του κόσμου Σκοπός: να ξεκινήσουμε από μία πόλη και να ταξιδέψουμε κατά μήκος των ακμών του δωδεκάεδρου περνώντας μία φορά από κάθε μία από τις υπόλοιπες 19 πόλεις και να επιστρέψουμε στην αφετηρία

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γρίφος του Είκοσι Αντί να δουλεύω στο πραγματικό δωδεκάεδρο ασχολούμαι με ένα ισοδύναμο γράφημα με τις ίδιες κορυφές και ακμές (ισομορφικό) που προκύπτει αν «πατήσω» το δωδεκάεδρο ώστε να γίνει επίπεδο… –Μια λύση σημειώνεται με μπλε στο σχήμα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα έχει κύκλο η μονοπάτι Hamilton; ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλο ΝΑΙ μονοπάτι ΟΧΙ

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Πώς καταλαβαίνουμε αν θα βρούμε κύκλο Hamilton σε ένα γράφημα; Αν στο γράφημα υπάρχει κορυφή βαθμού 1  δεν υπάρχει κύκλος Hamilton Για κορυφή με βαθμό 2, οι ακμές που πρόσκεινται σε αυτή είναι τμήμα κάποιου κύκλου Hamilton Κύκλος Hamilton δε μπορεί να περιέχει άλλον μικρότερο κύκλο Hamilton

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Στο γράφημα Κ n υπάρχει κύκλος Hamilton; –K n : πλήρες γράφημα με n κορυφές Ναι –Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή –Επισκεπτόμαστε τις υπόλοιπες ακολουθιακά με τυχαία σειρά –Επιστρέφουμε στην αρχική –Αυτό είναι εφικτό αφού υπάρχουν ακμές από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Το πρόβλημα εύρεσης κύκλου Hamilton σε γράφημα είναι δύσκολο Δεν έχουμε έξυπνο τρόπο να το λύνουμε γρήγορα Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε για να το λύσουμε είναι να ψάξουμε μία μία τις κορυφές του γραφήματος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton: πρακτικές εφαρμογές Επίσκεψη μία μόνο φορά σε –κάθε διασταύρωση δρόμου σε μία πόλη –κάθε σημείο διασταύρωσης σωληνώσεων σε δίκτυο π.χ., ύδρευσης –κάθε κόμβο σε δίκτυο επικοινωνιών Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή: βρες το συντομότερο δρομολόγιο που πρέπει να ακολουθήσει ένας πωλητής που ταξιδεύει για να επισκεφθεί μια ομάδα πόλεων –Το πρόβλημα ανάγεται σε εύρεση κύκλου Hamilton σε πλήρες γράφημα έτσι ώστε το συνολικό βάρος των ακμών του να γίνεται ελάχιστο

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους –Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους –Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους –Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους –Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον προσδιορισμό του συντομότερου μονοπατιού σε τέτοια γραφήματα –Το μήκος πλέον δεν είναι το πλήθος των ακμών του μονοπατιού αλλά το άθροισμα των βαρών των ακμών του –Αλγόριθμος του Dijsktra [1959] για συνεκτικά, απλά, μη κατευθυνόμενα γραφήματα Ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον εντοπισμό του συντομότερου κύκλου που ξεκινάει από αυθαίρετη κορυφή του γραφήματος, περνάει από όλες τις κορυφές του γραφήματος μία μόνο φορά και καταλήγει στην αρχική –Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Μη επίπεδο γράφημα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Επίπεδα γραφήματα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Χρωματισμός γραφημάτων Πρακτικό πρόβλημα: χρωματισμός χαρτών –Περιοχές με κοινά σύνορα πρέπει να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αναπαράσταση με γραφήματα –Περιοχές  κορυφές –Περιοχές με κοινά σύνορα  συνδέονται με ακμή –Δυικό γράφημα του χάρτη

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφήματος: ανάθεσε χρώματα στις κορυφές του έτσι ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτείται για το χρωματισμό ενός γραφήματος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Το θεώρημα των 4 χρωμάτων Ο χρωματικός αριθμός επίπεδου γραφήματος δεν είναι μεγαλύτερος από 4 –Τέθηκε σαν εικασία αρχικά το 1850 –Αποδείχθηκε από τους Appel και Haken το 1976 Βασίζεται σε ανάλυση περιπτώσεων που έγινε με χρήση Η/Υ –Αν η απόδειξη ήταν λάθος θα έπρεπε να βρεθεί 1 αντιπαράδειγμα σε 2000 περιπτώσεις που δεν βρέθηκε

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Ποιοι είναι οι χρωματικοί αριθμοί των παρακάτω γραφημάτων;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Ποιοι είναι οι χρωματικοί αριθμοί των παρακάτω γραφημάτων;

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του πλήρους γραφήματος με n κορυφές, K n ; n: γιατί όλες οι κορυφές είναι γειτονικές μεταξύ τους –Το K n δεν είναι επίπεδο όταν n ≥ 5

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Άσκηση Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του διμερούς γραφήματος K 3,4 ; Κάθε μέρος μπορεί να χρωματιστεί με το ίδιο χρώμα –Κάθε γράφημα που μπορεί να χρωματιστεί με 2 χρώματα είναι διμερές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Χρωματισμός γραφημάτων Το πρόβλημα είναι δύσκολο –Δεν έχουμε τρόπο να το λύσουμε γρήγορα –Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να ψάχνουμε μία μία τις κορυφές Έχει ποικίλες πρακτικές εφαρμογές

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων Πώς μπορούν να προγραμματιστούν οι τελικές εξετάσεις ώστε κανένας φοιτητής να μην έχει 2 εξετάσεις την ίδια μέρα; Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα –Κορυφές: μαθήματα –Ακμές: κάποιος φοιτητής πρέπει να παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα –Κάθε χρονικό διάστημα εξέτασης: διαφορετικό χρώμα –Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων  χρωματισμός του γραφήματος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα Ανάθεση συχνοτήτων σε τηλεοπτικούς σταθμούς Στους σταθμούς ανατίθενται τα κανάλια 2 έως 12 έτσι ώστε να μην υπάρχουν σταθμοί σε απόσταση 150 χλμ που να λειτουργούν στο ίδιο κανάλι Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα –Κορυφές: σταθμοί –Ακμές: σταθμοί βρίσκονται εντός απόστασης 150 χλμ –Κανάλια: διαφορετικά χρώματα –Ανάθεση καναλιών  χρωματισμός του γραφήματος

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα 3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός Εναλλακτικός χρωματισμός

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα

e 6 a 4 b 4 c 4 f 4 h 4 i 4 d 2 g 2 j 2

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Γραφήματα ΓράφημαΚορυφέςΑκμές ΕπικοινωνίαΤηλέφωνα, υπολογιστέςΚαλώδια οπτικής ίνα ΚύκλωμαΠύλες, Καταχωρητές, Επεξεργαστές Καλώδια Μηχανική κατασκευήΑρμοίΣκοινιά, ελατήρια, δέσμες Υδραυλική κατασκευήΔεξαμενές, ΑντλίεςΣωληνώσεις ΟικονομικάΜετοχές, Χρηματικές μονάδεςΣυναλλαγές ΜεταφορέςΔιασταυρώσεις, ΑεροδρόμιαΑυτοκινητόδρομοι, Πτήσεις ΧρονοδρομολόγησηΕργασίεςΠεριορισμοί προτεραιότητας Συστήματα λογισμικούΣυναρτήσειςΚλήσεις συναρτήσεων InternetΙστοσελίδεςΥπερσύνδεσμοι ΠαιχνίδιαΘέσεις στην επιφάνεια (π.χ., στη σκακιέρα) Κινήσεις σύμφωνες με κανόνες Κοινωνικά δίκτυαΆτομα, Ηθοποιοί, ΤρομοκράτεςΦιλία, Ταινίες, Σύνδεσμοι Δίκτυα αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών ΠρωτεΐνεςΑλληλεπιδράσεις Γενετικά δίκτυαΓονίδιαΑλληλεπιδράσεις βάσει κανόνων Νευρωνικά δίκτυαΝευρώνεςΣυνάψεις Μεταδοτική ασθένειαΆτομαΜολύνσεις Δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειαςΣταθμοί μετάδοσηςΚαλώδια Χημικές ενώσειςΜόριαΧημικοί δεσμοί