Σήματα και Συστήματα 11 10η διάλεξη

Σήματα και Συστήματα 12 Εισαγωγικά (1) Έστω γραμμικό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση: Αν η είσοδος είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων απλών σημάτων η έξοδος του συστήματος θα είναι γραμμικός συνδυασμός των αποκρίσεων Άρα

Σήματα και Συστήματα 13 Εισαγωγικά (2) Πλεονεκτήματα 1. Αν γνωρίζουμε τις αποκρίσεις του συστήματος στις εισόδους ο προσδιορισμός της αποκρίσεως σε κάποιο άλλο σήμα μπορεί να αναχθεί σε ένα πρόβλημα αναπτύξεως του σήματος αυτού σε γραμμικό συνδυασμό των σημάτων. 2. Αν κάθε επιτρεπόμενη είσοδος στο σύστημα μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των τότε γνωρίζοντας πως αποκρίνεται το σύστημα στις εισόδους πρακτικά γνωρίζουμε την εν γένει συμπεριφορά του συστήματος

Σήματα και Συστήματα 14 Εισαγωγικά (3) Δοθέντων ενός σήματος x(t) και ενός συνόλου απλών σημάτων υπάρχουν αριθμοί a 1, a 2,…,a N τέτοιοι ώστε Αν όχι τότε ποιοι είναι εκείνοι οι αριθμοί με τους οποίους επιτυγχάνεται η καλύτερη προσέγγιση; ?

Σήματα και Συστήματα 15 Παρατήρηση Το γεγονός ότι ένα σήμα μπορεί να προσεγγίζει ικανοποιητικά ένα άλλο δεν σημαίνει ότι του μοιάζει. Η προσέγγιση ενός σήματος έχει σχέση με την απόσταση των δύο σημάτων ενώ η ομοιότητα έχει σχέση με την μορφή τους.

Σήματα και Συστήματα 16 Μαθηματικοί ορισμοί (1) 1. Βάση διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο στοιχείων w 1, w 2, …,w Ν, του διανυσματικού χώρου Χ ονομάζεται βάση του χώρου Χ αν για κάθε στοιχείο x του χώρου υπάρχουν αριθμοί α 1, α 2,…,α Ν τέτοιοι ώστε Ο αριθμός Ν που εκφράζει το ελάχιστο πλήθος στοιχείων που αποτελούν μία βάση ονομάζεται διάσταση του διανυσματικού χώρου

Σήματα και Συστήματα Απόσταση διανυσματικού χώρου Μία συνάρτηση που ορίζεται στο χώρο ΧxΧ και παίρνει τιμές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ονομάζεται απόσταση αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες 1.d(x,y)= 0 αν και μόνο αν x=y 2.d(x,y)= d(y,x) 3.d(x,y) d(x,z)+d(z,y) προκύπτει εύκολα ότι η απόσταση είναι μη αρνητικός αριθμός Μαθηματικοί ορισμοί (2)

Σήματα και Συστήματα 18 Μαθηματικοί ορισμοί (3) Η απόσταση μεταξύ δύο σημάτων είναι ένα μέτρο του πόσο διαφέρουν οι τιμές που παίρνουν τα δύο σήματα στο ίδιο χρονικό διάστημα. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση δύο σημάτων τόσο περισσότερο απέχουν συνολικά οι τιμές των δύο σημάτων. Παράδειγμα: Η απόσταση για κατά τμήματα συνεχή πραγματικά ή μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου που ορίζονται στο διάστημα [a,b] μπορεί να οριστεί ως εξής: Μέση τετραγωνική απόκλιση των αντίστοιχων τιμών των σημάτων x(t) και y(t) πολλαπλασιασμένη επί το εύρος t b -t a του διαστήματος [t a,t b ].

Σήματα και Συστήματα 19 Απόσταση είναι επίσης μέγιστη κατ’απόλυτη τιμή στιγμιαία απόκλιση των σημάτων x(t) και y(t) στο διάστημα [t a,t b ]. Μαθηματικοί ορισμοί (4)

Σήματα και Συστήματα 110 Προσέγγιση σήματος (1) Προσέγγιση σήματος από γραμμικό συνδυασμό απλών σημάτων Τα σήματα συνεχούς χρόνου τα οποία συναντώνται σε εφαρμογές ανήκουν σε διανυσματικούς χώρους για τους οποίους δεν υπάρχει πεπερασμένης διαστάσεως βάση. Σε αυτήν την περίπτωση για οποιαδήποτε επιλογή των τιμών των παραμέτρων a 1, a 2,…, a Ν θα αντιστοιχεί απλώς μία προσέγγιση του σήματος x(t) από γραμμικό συνδυασμό των σημάτων w 1, w 2,…, w Ν : Χρησιμοποιώντας την απόσταση, μπορεί κάποιος να αποφανθεί πόσο καλή είναι η προσέγγιση του σήματος

Σήματα και Συστήματα 111 Προσέγγιση σήματος (2) Έστω το σήμα που προσεγγίζει το x(t) Η απόσταση μπορεί να εκφρασθεί σαν μία συνάρτηση των παραμέτρων a 1, a 2,…,a Ν, Έχοντας ορίσει μια απόσταση μπορεί κανείς να αποφανθεί αν μία προσέγγιση είναι καλύτερη από μία άλλη.

Σήματα και Συστήματα 112 Προσέγγιση σήματος (3) Το πρόβλημα προσδιορισμού της βέλτιστης προσεγγίσεως ανάγεται στην εύρεση των τιμών των παραμέτρων Άρα που ελαχιστοποιούν την συνάρτηση Η μέθοδος προσδιορισμού της βέλτιστης προσεγγίσεως εξαρτάται από την απόσταση που έχει επιλεγεί. Παρατήρηση:

Σήματα και Συστήματα 113 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (1) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Απόσταση: Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων Η βέλτιστη προσέγγιση επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας τις τιμές των παραμέτρων α 1, α 2,…, α Ν για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση

Σήματα και Συστήματα 114 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (2) Οι βέλτιστες τιμές των α 1, α 2,…, α Ν προκύπτουν από τις συνθήκες βελτίστου Παρατήρηση: στην περίπτωση που εξετάζουμε, το ακρότατο της συναρτήσεως αυτής είναι και το ελάχιστο

Σήματα και Συστήματα 115 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (3) Οι προηγούμενες εξισώσεις γράφονται σε μορφή πίνακα: Εσωτερικό γινόμενο:, Ετσι, ο προσδιορισμός της βέλτιστης προσεγγίσεως με κριτήριο την μέση τετραγωνική απόκλιση ανάγεται στην επίλυση ως προς α 1, α 2, …, α Ν του γραμμικού συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων.

Σήματα και Συστήματα 116 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (4) Αν τα σήματα w 1, w 2,…, w Ν είναι ορθογώνια (orthogonal) μεταξύ τους, τα εσωτερικά γινόμενά τους μηδενίζονται και το αλγεβρικό σύστημα γίνεται: διότι Η βέλτιστη λύση προκύπτει από:

Σήματα και Συστήματα 117 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (5) Αν οι συναρτήσεις w i, i=1,2,…,N είναι ορθοκανονικές (orthonormal) τότε: και τότε οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων α 1, α 2, …, α Ν. υπολογίζονται από τις σχέσεις

Σήματα και Συστήματα 118 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (6) Μέθοδος minmax Απόσταση: Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων Κρίτηριο Chebyshev

Σήματα και Συστήματα 119 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου (7) Tο πρόβλημα βελτιστοποιήσεως γίνεται: Πρόβλημα minmax Παρατήρηση: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης με αυτή τη μέθοδο επιλύεται κατά κανόνα με εφαρμογή επαναληπτικών αριθμητικών μεθόδων

Σήματα και Συστήματα 120 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (1) Θεώρημα Αν Χ υποδηλώνει ένα διανυσματικό χώρο σημάτων διακριτού χρόνου που ορίζονται σε ένα πεπερασμένο διάστημα χρόνου [n a,n b ], τότε κάθε σύνολο n a -n b +1 γραμμικώς ανεξαρτήτων σημάτων w ι [n] i=1,2,…,n a - n b +1 αποτελούν βάση του χώρου X.

Σήματα και Συστήματα 121 Παρατήρηση : Στην περίπτωση σημάτων που ορίζονται σε μεγάλο χρονικό διάστημα η αναπαράσταση τους από γραμμικό συνδυασμό απλών σημάτων είναι δυνατή μόνο αν χρησιμοποιηθεί ένα μεγάλο πλήθος τέτοιων σημάτων. Γι’ αυτό και προτιμάται, όπως στα σήματα συνεχούς χρόνου, η προσέγγιση του σήματος δηλάδή ο προσδιορισμός των α i για τα οποία υπάρχει βέλτιστη προσέγγιση Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (2)

Σήματα και Συστήματα 122 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (2) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Απόσταση: Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων Η βέλτιστη προσέγγιση επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας τις τιμές των παραμέτρων α 1, α 2,…, α Ν για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση

Σήματα και Συστήματα 123 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (3) Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων a 1, a 2,…, a N, προκύπτουν από τις συνθήκες βέλτιστου i=1,2,…N ή αλλιώς Σε μορφή πίνακα:

Σήματα και Συστήματα 124 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (4) Εσωτερικό γινόμενο πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου: Αν τα σήματα w 1, w 2, …,w Ν είναι ορθογώνια (orthogonal) μεταξύ τους, τότε το πρόβλημα βελτιστοποίησης ανάγεται στο πρόβλημα επίλυσης Ν ανεξάρτητων αλγεβρικών εξισώσεων

Σήματα και Συστήματα 125 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (5) Αν οι συναρτήσεις w i, i=1,2,…,N είναι ορθοκανονικές (orthonormal) τότε: και Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων α 1, α 2, …,α Ν υπολογίζονται ως εξής:

Σήματα και Συστήματα 126 Μέθοδος minmax Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου (6) Απόσταση: Η βέλτιστη προσέγγιση είναι Και είναι η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης Και σε αυτήν την περίπτωση η λύση προκύπτει από την εφαρμογή επαναληπτικών αριθμητικών μεθόδων

Σήματα και Συστήματα 127 Ομοιότητα σημάτων Δύο σήματα x(τ) και y(τ) είναι όμοια (similar) αν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός α και μία χρονική μετατόπιση τ* τέτοια ώστε υπάρχουν ένας αριθμός α και μία χρονική στιγμή τ* τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ των σημάτων x(τ) και αy(τ+τ*) είναι μηδέν

Σήματα και Συστήματα 128 Για να μπορεί κάποιοςνα αποφανθεί πόσο μοιάζει ένα σήμα με ένα άλλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μέτρο ομοιότητας (similarity measure) : Όσο μικρότερη είναι η τιμή του s(x,y) τόσο περισσότερο μοιάζουν τα δύο σήματα x(t) και y( τ ), είναι δε εντελώς όμοια αν s(x,y)=0. Ομοιότητα σημάτων

Σήματα και Συστήματα 129 Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου (1) Χρησιμοποιώντας την απόσταση το μέτρο ομοιότητας των σημάτων x(t) και y(t) ορίζεται από την έκφραση

Σήματα και Συστήματα 130 Μαθηματικοί ορισμοί Ετεροσυσχέτιση (cross-correlation) των σημάτων x(t) και y(t), Αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) τού σήματος x(t)

Σήματα και Συστήματα 131 Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου (2) Το μέτρο ομοιότητας είναι ίσο με Μέγιστη τιμή της συναρτήσεως ετεροσυσχετίσεως R xy (τ). όπου συντελεστής συσχετίσεως (correlation factor) των σημάτων x(t) και y(t)

Σήματα και Συστήματα 132 Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου (3) Η ελάχιστη τιμή της αποστάσεως επιτυγχάνεται όταν ικανοποιείται η συνθήκη βέλτιστου ή Η λύση είναι:

Σήματα και Συστήματα 133 Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου (4) Παρατηρήσεις: Όσο μεγαλύτερη είναι η μέγιστη τιμή του συντελεστού συσχετίσεως δύο σημάτων τόσο περισσότερο μοιάζουν τα σήματα αυτά. Η ετεροσυσχέτιση είναι ένας έμμεσος τρόπος να εκτιμηθεί η ομοιότητα των σημάτων x(t) και y(t). Η τιμή τ* της παραμέτρου τ για την οποία η ετεροσυσχέτιση R xy (τ) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της εκφράζει την χρονική μετατόπιση του σήματος y(t) για την οποία το μέτρο ομοιότητας s(x,y) γίνεται ελάχιστο.

Σήματα και Συστήματα 134 Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου (1) Σε αντιστοιχία με τα σήματα συνεχούς χρόνου, το μέτρο ομοιότητας 2 σημάτων είναι Χρησιμοποιώντας την απόσταση το μέτρο ομοιότητας γίνεται

Σήματα και Συστήματα 135 Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου (2) Ακολουθώντας τα ίδια βήματα όπως στα σήματα συνεχούς χρόνου προκύπτει ότι η τιμή της α για την οποία ελαχιστοποιείται η απόσταση είναι R xy [k*]: μέγιστη τιμή της συναρτήσεως ετεροσυσχετίσεως των δύο σημάτων x[n] και y[n] που ορίζεται από την σχέση R y [k]: συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος y[n] που ορίζεται από την σχέση

Σήματα και Συστήματα 136 Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου (3) συντελεστής συσχετίσεως των σημάτων x[n] και y[n] : Το μέτρο ομοιότητας γίνεται: Παρατήρηση: Όταν τα αθροίσματα στην συνάρτηση ετεροσυσχέτισης και αυτοσυσχέτισης απειρίζονται τότε αυτές ορίζονται από τις σχέσεις