Κατασκευή εργαλείου επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους με χρηση του λογισμικού πακέτου Μαtlab ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΑΓΓΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ:ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΒΟΓΙΑΤΖΗ ΤΜΗΜΑ:ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Ο Κεφάλαιο Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις  Δίνονται στοιχεία για τις πιο συχνά εμφανιζόμενες διαφορικές εξισώσεις 1 ης και 2 ης τάξης  1 ης τάξης 1. Χωριζομένων μεταβλητών 2. Γραμμικές 3. Πλήρεις 4. Bernoulli, Ricatti κτλ  2 ης τάξης 1. Ομογενείς 2. Μη ομογενείς 2 Ο Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους  Δίνονται στοιχεία για τις πιο συχνά εμφανιζόμενες διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους  1 ης τάξης  Γραμμικές πρώτης τάξης  2 ης τάξης

3 Ο Κεφάλαιο Περιβάλλον του Matlab και επίλυση διαφορικών εξισώσεων  Προσεγγιστική μέθοδος του Euler  Εντολή ode45  Παραδείγματα 4 Ο Κεφάλαιο Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους  Εντολή pdepe  Παραδείγματα 1. Διάδοση θερμότητας 2. Ωστικό κύμα

Διαφορικές εξισώσεις

Διαφορικές εξισώσεις 1 ης τάξης

1.2.2 Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών

Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Ακριβείς (πλήρεις) Διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρωτικοί παράγοντες

Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli-Ricatti

Διαφορικές εξισώσεις Clairaut

Διαφορικές εξισώσεις Lagrange

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης

Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους

Η έννοια της μερικής διαφορικής εξίσωσης

Προσεγγιστική επίλυση σε Matlab  Το MATLAB είναι ένα από τα χρησιμότερα επιστημονικά, υπολογιστικά και γραφιστικά προγράμματα-λογισμικά πακέτα, που χρησιμοποιείται σήμερα διεθνώς και ευρέως τόσο στα Μαθηματικά και στις άλλες Θετικές Επιστήμες, όσο και στην Τεχνολογία γενικότερα.  Ασχοληθήκαμε με δύο μεθόδους 1. Την μέθοδο του Euler 2. Την εντολή ode 45

Μέθοδος Euler

m.file που πραγματοποιεί τη μέθοδο Euler Εντολή function [y,t] = euler(fun,y0,t0,T,h) Οι εντολές πίσω από την συνάρτηση y(1) = y0; t(1) = t0; for i=1:ceil((T-t0)/h) y(i+1) = y(i) + h*feval(fun,t(i),y(i)); t(i+1) = t(i) + h; end; t=t'; y=y'; Ερμηνεία  Η συνάρτηση επιλύει μέσω της μεθόδου Euler την δ.ε. y'(t) = fun(y,t), y(t0)= y0  Η συνάρτηση fun(y,t) μέσω ενός m.file με ονομασία fun.m  y0=αρχική συνθήκη  Τ= μέγιστη τιμή του t (κανόνας τερματισμού)  T0=αρχικός χρόνος

Παράδειγμα Εντολές f t*sqrt(y); [y,t]=euler(f,4,1,2,0.1) Ερμηνεία y0=4 T=2 h=0.1 t0=1

Γραφική αναπαράσταση λύσης Εντολή >> plot(t,y,'o-') >> xlabel('t') >> ylabel('y') >> title('Solution to y''(t)=t sqrt(y), t in [1, 2], y(1)=4, via Eulers Method with h=0.1') Αποτέλεσμα

Σύγκριση πραγματικής και προσεγγιστικής λύσης Εντολή  Αποτέλεσμα

m.file που πραγματοποιεί την εντολή ode45 

Τα δεδομένα εισόδου και εξόδου έχουν ως εξής:  οdefun: η συνάρτηση f (t, y) (σαν m-file η ανώνυμη συνάρτηση)  t_span: το διάνυσμα [t 0, T ] όπου ανήκει το t – αυτό πρέπει να δοθεί με αγκυλες  y0: η αρχική τιμή y 0 (= y(t 0 ))  t_out: το διάνυσμα με τα σημεία t 0, t 1, t 2...  y_out: το διάνυσμα με τις προσεγγιστικές τιμές y 0, y 1, y 2... της λυσης  Η διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων έγκειται στο ότι για το m-file που γράψαμε, δίναμε και το βήμα h, ενώ στην ode45 δεν το δίνουμε. Η MATLAB επιλέγει της το βήμα με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση που παίρνουμε να έχει (απόλυτη) ακρίβεια

Παράδειγμα Εντολή  >> f y.*(2-y);  >> [t,y]=ode45(f,[0,1],3);  >> length(y) ans = 41  >> plot(t,y,'-rx')  >> xlabel('t')  >> ylabel('y')  >> title('Solution to y''(t)=y(2-y), t in [0, 1], y(0)=3') Ερμηνεία  Δηλώνουμε τη συνάρτηση  Καλούμε την ode45  Γραφική παράσταση της λύσης  Τίτλος στον άξονα χ  Τίτλος στον άξονα y  Λεζάντα πάνω από το γράφημα

Σύγκριση πραγματικής και προσεγγιστικής λύσης Εντολή  Ερμηνεία  Ορίζουμε την πραγματική λύση  Γράφημα της διαφορά πραγματικής λύσης-προσεγγιστικής  Τίτλος άξονα Χ

ΛύσηΣφάλματα

Εξίσωση θερμότητας 



Ορισμός κατάλληλων συναρτήσεων Ορισμός συνάρτησης eqn1.m  function [c,b,s] = eqn1(x, t,u,DuDx)  c = 1;  b = DuDx;  s = 0; Ερμηνεία  c(x,t,u,u_x )=1  b(x,t,u,u_x)=u χ  s(x,t,u,u_x)=0

Ορισμός συνάρτησης bc1.m και initial1.m  function [pl, ql, pr, qr] = bc1(xl, ul, xr, ur, t)  pl = ul;  ql = 0;  pr = ur-1;  qr = 0;  function value = initial1(x)  value = 2*x/(1+xˆ2); Ερμηνεία   function value = initial1(x)  value = 2*x/(1+xˆ2);

Κώδικας για την επίλυση του προβλήματος Εντολή x = linspace(0, 1, 20); t = linspace(0, 2, 10); u = surf(x,t,u); title(’Surface plot of solution.’); xlabel(’Distance x’); ylabel(’Time t’); Γραφική λύση

Γραφική αναπαράσταση της λύσης για προκαθορισμένο t Εντολή  fig = plot(x,u(1,:),’erase’,’xor’)  for k=2:length(t)  set (fig,’xdata’,x,’ydata’,u(k,:))  pause(.5)  end Γράφημα Με την παραπάνω διαδικασία, παρατηρούμε πόσο γρήγορα οι λύσεις για την εξίσωση θερμότητας προσεγγίζουν την διαμόρφωση ισορροπία τους. (Η διαμόρφωση ισορροπίας είναι εκείνη που παύει να αλλάζει στο χρόνο.

Ωστικό κύμα 

function value = degwave(x) %u t + (uˆ3 - uˆ2) x = u xx guess =.5; if x < -35 value = 1; else if x > 2 guess = 1/x; elseif x>-2.5 guess =.6; else guess = 1-exp(-2)*exp(x); end value = end function value1 = f(u,x) value1 = (1/u)+log((1-u)/u)-x;

Αποθήκευση της λύσης στο deglin.m  function [c, b, s] = deglin(x, t, u, DuDx)  c = 1;  b = DuDx - (3*degwave(x)ˆ2 - 2*degwave(x))*u;  s = 0; Οριακές συνθήκες στο degbc.m και αρχικές συνθήκες στο deginit.m  function [pl,ql,pr,qr] = degbc(xl,ul,xr,ur,t)  pl = ul;  ql = 0;  pr = ur;  qr = 0;  function value = deginit(x)  value = 1/(1+(x-5)ˆ2);

Αλγόριθμος επίλυσης m = 0; x = linspace(-50,50,200); t = linspace(0,10,100); u = flag = 1; while flag==1 a answer = input(’Finished iteration. View plot (y/n)’,’s’) if isequal(answer,’y’) figure(2) f ig = plot(x,u(1,:),’erase’,’xor’) for k=2:length(t) set(fig,’xdata’,x,’ydata’,u(k,:)) pause(.4) end else flag = 0; end

Βιβλιογραφία  Δασιος, Γ., Συνηθεις Διαφορικες Εξισωσεις, Πανεπιστημιο Πατρων (1991).  Δασιος, Γ. & Κυριακη, Κ., Μερικες Διαφορικες Εξισωσεις, Αθηνα (1994).  Kυβεντιδης, Θ., Διαφορικες Εξισωσεις, Τομοι Ι-ΙΙΙ, Εκδοσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονικη (1987).  Copson, E.T., Partial Differential Equations, Cambridge University Press (1975). 15. Courant, R. & Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, Vols I & II, Wiley Classic Edition, J. Wiley & Sons (1989).  16 Duff, G.F.D. & Naylor, D., Differential Equations of Applied Mathematics, 3rd Ed., McGraw- Hill Inc (1966).

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ