Τοπικά ακρότατα Τοπικό μέγιστο –Τοπικό ελάχιστο.
Έστω η συνάρτηση f(x,y), δύο μεταβλητών, που είναι ορισμένη σε ένα σημειοσύνολο τ. Έστω ακόμη (x 0,y 0 ) ένα εσωτερικό σημείο του τ. Αν υπάρχει περιοχή γύρω από το σημείο (x 0,y 0 ), τέτοια ώστε για κάθε σημείο (x,y) της περιοχής αυτής να ισχύει: f(x,y)< f(x 0,y 0 ), η θέση (x 0,y 0 ) λέγεται θέση τοπικού μεγίστου της συνάρτησης f(x,y).
Η τιμή f(x 0,y 0 ) λέγεται τοπικό μέγιστο της συνάρτησης στη θέση (x 0,y 0 ). Αντίστοιχα, αν για κάθε σημείο (x,y) ισχύει f(x,y)> f(x 0,y 0 ) έχουμε τοπικό ελάχιστο. Με την ορολογία τοπικό ακρότατο εννοούμε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο.
Έστω η συνάρτηση f(x,y) που είναι μια φορά συνεχώς παραγωγίσιμη στο σημειοσύνολο τ. Τα σημεία (α, β) που ικανοποιούν τις εξισώσεις: f x (x,y) =0, f y (x,y) =0 ονομάζονται κρίσιμα σημεία ή στάσιμα σημεία.
Αν επιπλέον η συνάρτηση f(x,y) είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη και στη θέση (α, β) (κρίσιμο σημείο) είναι: > 0 τότε στη θέση αυτή υπάρχει τοπικό ακρότατο.
Αν στη θέση (α, β) είναι fxx>0 έχουμε τοπικό ελάχιστο. Αν f xx <0 έχουμε τοπικό μέγιστο. (Τα ίδια ισχύουν και για την f yy ).
Αν στο κρίσιμο σημείο (α,β) είναι: <0 τότε δεν έχουμε ακρότατο στη θέση (α,β). Στην περίπτωση αυτή το σημείο (α,β) λέγεται στατικό σημείο σάγματος ή σαγματικό σημείο
Αν, τέλος στο κρίσιμο σημείο (α,β) είναι: = 0, τότε μπορεί να έχουμε ακρότατο εκεί μπορεί και όχι.