Πιθανότητες

Τυχαίο Πείραμα όσες φορές και να γίνει κρατώντας τις συνθήκες σταθερές, το αποτέλεσμά του δεν είναι πάντα το ίδιο

Δειγματικός Χώρος (Sample Space) Το σύνολο που περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός τέτοιου πειράματος Συμβολίζουμε με Ω. Μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο

Παραδείγματα το φύλο του νεογέννητου παιδιού Ω = { Α, Κ } η ρίψη ενός ζαριού, Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } το ύψος των ατόμων μιας περιοχής Ω = [0,  ) αριθμός των αποικιών ενός μύκητα σε μία καλλιέργεια, Ω = { 0, 1, 2, 3,... }

Γεγονότα ή Ενδεχόμενα (events) Τα υποσύνολα του δειγματικού χώρου, Συμβολίζονται συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ,.. Απλά γεγονότα αποτελούνται από ένα μόνο σημείο Σύνθετα γεγονότα περιλαμβάνουν περισσότερα σημεία

Γεγονότα (γραφική απεικόνηση)

Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Πραγματοποιείται το Α και το Β Πραγματοποιείται η Α  Β (τομή) Ω Α Β

Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Πραγματοποιείται το Α ή το Β (ή και τα δύο) Πραγματοποιείται η Α  Β (ένωση) Ω Α Β

Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Δεν πραγματοποιείται το Α Πραγματοποιείται το Α c (συμπλήρωμα) Ω Α ΑcΑc

Κάποιες ιδιότητες i) Α  Β τότε "πραγματοποίηση του Α" σημαίνει "πραγματοποίηση του Β« οπωσδήποτε ii) Α  Β=  τότε "πραγματοποίηση του Α" σημαίνει "μη πραγματοποίηση του Β" και "πραγματοποίηση του Β" σημαίνει "μη πραγματοποίηση του Α" Ασυμβίβαστα

Ασυμβίβαστα Γεγονότα Ω Α Β Α  Β= 

Αδύνατο / Βέβαιο γεγονός Το Ω ονομάζεται βέβαιο γεγονός (sure event) – πραγματοποιείται πάντα Το κενό σύνολο  ονομάζεται αδύνατο γεγονός (impossible event) – δεν πραγματοποιείται ποτέ

Πιθανότητες (probabilities) (ορισμός) Στατιστικός ορισμός Α-priori ορισμός Υποκειμενικός ορισμός;; Όπως και να οριστεί η πιθανότητα, πρέπει να έχει κάποιες ιδιότητες, να υπακούει σε κάποιους κανόνες, π.χ. 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 (0% - 100%)

Στατιστικός ορισμός Πιθανότητα ενός γεγονότος Α, είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του Α, όταν το πείραμα επαναληφθεί πάρα πολλές (άπειρες!) φορές, κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες Η πιθανότητα δηλαδή εκτιμάται σε ένα δείγμα από τη σχετική συχνότητα.

Α-priori ορισμός Αν ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος και αποτελείται από k απλά γεγονότα, δηλ. Ω = { ω 1, ω 2,..., ω k } τότε αν όλα τα αποτελέσματα του πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης (ισοπίθανα), η πιθανότητα του καθενός είναι ίση με 1/k

Ιδιότητες i) 0  P(A)  1 (η πιθανότητα είναι πάντα αριθμός μεταξύ 0 και 1) ii) P(Ω) = 1 και P(  ) = 0 (η πιθανότητα του βέβαιου γεγονότος είναι 1 και του αδύνατου γεγονότος 0)

Ιδιότητες iii) Αν Α  Β τότε Ρ(Α)  Ρ(Β) (Οταν η πραγματοποίηση του Α σημαίνει ταυτόχρονα και την πραγματοποίηση του Β, τότε το Β είναι περισσότερο "πιθανό" από το Α) iv) Αν Α  Β=  τότε Ρ(Α  Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β). (Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο, είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων που έχουν να συμβούν το καθένα χωριστά).

Ιδιότητες v) Γενικά Ρ(Α  Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α  Β) προσθετικό θεώρημα vi) Ρ(Α c ) + Ρ(Α)= 1 (H πιθανότητα του συνόλου και η πιθανότητα του συμπληρώματός του έχουν άθροισμα 1)

Πιθανότητα υπό συνθήκη Έστω ότι έχουμε μια πληροφορία για το αποτέλεσμα ενός πειράματος Μας λένε δηλαδή, ότι συνέβη το γεγονός Β. Τότε η πιθανότητα να συμβεί το Α ενώ γνωρίζουμε οτι συνέβη το Β ονομάζεται Δεσμευμένη Πιθανότητα (conditional probability) του Α, δοθέντος του Β Συμβολίζουμε με Ρ(Α/Β)

Ορισμός (εννοείται βέβαια οτι Ρ(Β)  0) Από τον τύπο αυτό προκύπτει ο τύπος Ρ(Α  Β) = P(Α|Β). Ρ(Β)

Ανεξάρτητα γεγονότα Υπάρχουν περιπτώσεις που η πληροφορία μας για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος Β δεν αλλάζει την πιθανότητα του γεγονότος Α, που μας ενδιαφέρει, δηλαδή P(Α|Β) = Ρ(Α) Τότε τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα (independent)

Βασική ιδιότητα ανεξαρτησίας Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα όταν Ρ(Α  Β) = P(Α). Ρ(Β) Η ιδιότητα επεκτείνεται σε n γεγονότα. Αν τα Α 1,…,Α n είναι ανεξάρτητα τότε Ρ(Α 1  …  Α n ) = P(Α 1 )…Ρ(Α n )