Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Γενική μορφή συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου Όπου Δ(s)=0 είναι η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος. Οι πόλοι και τα μηδενικά της Τ(s) καθορίζουν την απόκριση του συστήματος Για ένα σύστημα κλειστού βρόχου, οι πόλοι της αντίστοιχης συνάρτησης Τ(s) είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης Δ(s)=0 και οι πόλοι της παράστασης Η έξοδος στο πεδίο της συχνότητας για ένα σύστημα με κέρδος=1, χωρίς επαναλαμβανόμενες ρίζες και για βηματική είσοδο δίνεται σε μορφή αναπτύγματος σε μερικά κλάσματα Όπου είναι προσδιοριστέοι συντελεστές

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Οι ρίζες του συστήματος θα πρέπει να είναι είτε πραγματικές είτε ζεύγη συζυγών μιγαδικών Από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace καταλήγουμε στην παρακάτω χρονική απόκριση του συστήματος Όπου η σταθερά εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών Η χρονική απόκριση του συστήματος περιλαμβάνει έναν όρο που αντιστοιχεί στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας (steady state term) και έναν μεταβατικό όρο (transient term), οποίος αποτελείται συνήθως από κάποιους εκθετικού όρους και ένα αποσβεννύμενο ημιτονοειδή όρο

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές (η βηματική του απόκριση να συγκλίνει απόλυτα) πρέπει τα πραγματικά μέρη των πόλων να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (left-hand s-plane). Στα επόμενα γραφήματα φαίνεται η κρουστική απόκριση για διάφορες θέσεις των πόλων Η πληροφορία από τη γνώση των σχετικών θέσεων των πόλων αποτελεί μια γραφική μέθοδο προσδιορισμού της γενικότερης συμπεριφοράς του Συνήθως η ανάλυση και η σχεδίαση συστημάτων γίνεται στο πεδίο της συχνότητας Οι πόλοι καθορίζουν τη μορφή της αντίστοιχης συνάρτησης ενώ τα μηδενικά καθορίζουν την επίδραση των επιμέρους συναρτήσεων. (Τοποθετώντας ένα μηδενικό κοντά σε ένα πόλο, ελαττώνεται ο συντελεστής με τον οποίο συμμετέχει στην απόκριση του συστήματος η συνάρτηση που αντιστοιχεί στον πόλο αυτό.

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Α) ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων με αρνητικό πραγματικό μέρος

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Β) ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων με μηδενικό πραγματικό μέρος

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Γ) ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων με θετικό πραγματικό μέρος

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Δ) αρνητικός πραγματικός πόλος

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Ε) θετικός πραγματικός πόλος

Χρονική απόκριση και θέση των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο ΣΤ) μηδενικός πραγματικός πόλος

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας ενός ευσταθούς συστήματος κλειστού βρόχου είναι συνήθως πολλές φορές μικρότερο από το σφάλμα σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου. Σφάλμα Όταν και στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Βηματική συνάρτηση εισόδου (step input) πλάτους Α Αν Ν>0 τότε και το μόνιμο σφάλμα τείνει στο 0 Ο τύπος του συστήματος είναι ίσος με τον αριθμό Ν (πλήθος ολοκληρωτών) Συνεπώς για ένα σύστημα Τύπου-0 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι Η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς είναι

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Συντελεστής σφάλματος θέσης (position error constant) Συνεπώς το σφάλμα θέσης ενός συστήματος Τύπου 1ή μεγαλύτερου είναι μηδενικό Σφάλμα θέσης (position error ή tracking error)

Π.χ. Τύπου 1 Και η μοναδιαία βηματική απόκριση του κλειστού Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Π.χ. Τύπου 0 Και η μοναδιαία βηματική απόκριση του κλειστού

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Είσοδος συνάρτησης κλίσης ή είσοδος ράμπας (Ramp Input) με κλίση Α ή Όπου - ο συντελεστής σφάλματος ταχύτητας (velocity error constant) Για ένα σύστημα Τύπου-0 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας απειρίζεται Για ένα σύστημα Τύπου-1 το σφάλμα είναι Σφάλμα ταχύτητας (velocity error)

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Συνεπώς το σφάλμα θέσης ενός συστήματος Τύπου 2ή μεγαλύτερου είναι μηδενικό. Όταν Ν=1, το σφάλμα είναι πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός. Παρόλα αυτά η ταχύτητα της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας ισούται με την ταχύτητα της αντίστοιχης εισόδου Π.χ. Τύπου 2 Π.χ. Τύπου 1

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Είσοδος παραβολικής συνάρτησης ή είσοδος επιτάχυνσης (Αacceleration Input) Όπου - ο συντελεστής σφάλματος ταχύτητας (velocity error constant) Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας απειρίζεται για Ν=1 Για Ν=2 έχουμε Η συνάρτηση είναι της μορφής και το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας είναι Για το σφάλμα επιτάχυνσης στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας είναι 0 !!! Αρκεί το κλειστό σύστημα να είναι ευσταθές!!!!!!!

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Π.χ. Τύπου 2...και με zoom Π.χ. Τύπου 0 Π.χ. Τύπου 1

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Τύπος συστήματος 0 1 2

Παράδειγμα Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για βηματική είσοδο όταν είναι Όταν τότε έχουμε ένα σύστημα πρώτου τύπου και το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι 0

Παράδειγμα Για είσοδο ράμπα, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι με Για τριγωνική είσοδο η απόκριση είναι

Οι συντελεστές σφαλμάτων περιγράφουν ουσιαστικά τη δυνατότητα ενός συστήματος να ελαττώσει το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, Χρειάζεται προσοχή έτσι ώστε να διατηρείται και η χρονική απόκριση σε αποδεκτά επίπεδα. Και θα πρέπει να ελέγχουμε αν το σύστημα είναι ευσταθές! Π.χ. το σύστημα δεύτερου τύπου (με μοναδιαία αρνητική ανάδραση) ενώ θα περιμέναμε ότι θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης εντούτοις αυτό δεν συμβαίνει γιατί το κλειστό σύστημα είναι ασταθές.

Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση συστημάτων με μη μοναδιαία ανάδραση Εάν τότε το dc κέρδος της H(s) είναι Ο συντελεστής είναι ένας συντελεστής μετατροπής μονάδων. Αν θέσουμε τότε έχουμε τις παρακάτω μετατροπές (!! Για το dc κέρδος ή για τους υπολογισμούς στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας

Το παραπάνω σύστημα είναι ένα σύστημα ελέγχου ταχύτητας και πρέπει να έχουμε μετατροπή από rad/sec σε volts.

Το σφάλμα για το αρχικό σύστημα είναι όπου και επομένως Οπότε το σφάλμα θέσης (το σφάλμα σε βηματική είσοδο είναι)

Παράδειγμα – σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Εάν και Να προσδιοριστεί μια κατάλληλη τιμή για το και στη συνέχεια να υπολογιστεί το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας για βηματική είσοδο Όπως είδαμε, μια κατάλληλη επιλογή είναι και

Παράδειγμα – σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Που είναι ίσο με 5.9% της βηματικής συνάρτησης εισόδου

Παράδειγμα – ένα σύστημα κλειστού βρόχου Το σφάλμα σε αυτή την περίπτωση είναι όπου Ποιο το κέρδος K για να έχουμε το ελάχιστο δυνατό σφάλμα θέσης? Το σφάλμα ελαχιστοποιείται (μηδενίζεται) όταν

Παράδειγμα – ένα σύστημα κλειστού βρόχου

Δείκτες απόδοσης (Performance Indices) Ο δείκτης απόδοσης ενός συστήματος αποτελεί ένα ποσοτικό μέτρο εκτίμησης της απόδοσης του συστήματος αυτού και επιλέγεται με σκοπό να δοθεί έμφαση στις βασικές προδιαγραφές που απαιτούνται από το συγκεκριμένο σύστημα Ένα σύστημα θεωρείται ως βέλτιστο σύστημα ή σύστημα βέλτιστου ελέγχου, όταν οι τιμές των αντίστοιχων παραμέτρων έχουν ρυθμιστεί έτσι ώστε ο δείκτης απόδοσης να φθάνει σε μια ακραία τιμή, συνήθως ελάχιστη Ένας δείκτης απόδοσης θα πρέπει να είναι πάντοτε μία μη αρνητική ποσότητα (θετικός ή μηδέν). Το βέλτιστο σύστημα είναι εκείνο για το οποίο ο δείκτης αυτός γίνεται ελάχιστος. Διαφορετικοί δείκτες οδηγούν συνήθως σε διαφορετικά «βέλτιστα» συστήματα

Δείκτες απόδοσης (Performance Indices) Α) Τετραγωνικό σφάλμα (Integral of the Square of the error Error ISE) Τετραγωνικό σφάλμα Το άνω όριο επιλέγεται συνήθως τέτοιο ώστε το σύστημα να πλησιάζει την μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. – συνήθως επιλέγουμε να είναι ίσο με το χρόνο αποκατάστασης Η βέλτιστη τιμή του δείκτη επιτυγχάνεται για τη βέλτιστη δυνατή τιμή του αντίστοιχου συντελεστή απόσβεσης Το τετραγωνικό σφάλμα μπορεί να μετρηθεί εύκολα με ένα ένα κύκλωμα τετραγωνισμού (squaring circuit) Από μαθηματική σκοπιά είναι αρκετά βολικό κατά τη διαδικασία ανάλυσης και υπολογισμού (δυνατότητα παραγώγισης)

Δείκτες απόδοσης (Performance Indices) Υπολογισμός τετραγωνικού σφάλματος (για μοναδιαία βηματική είσοδο)

Δείκτες απόδοσης (Performance Indices) Β) Απόλυτο σφάλμα (Integral of the Absolute magnitude of the Error, IAE) Απόλυτο σφάλμα Ο δείκτης αυτός θεωρείται ιδιαίτερα χρήσιμος κατά την εξομοίωση συστημάτων με υπολογιστή. Γ) Μέσο απόλυτο σφάλμα (Integral of Time multiplied by Absolute Error ITAE) Μέσο απόλυτο σφάλμα Ο δείκτης αυτός περιορίζει την επίδραση των μεγάλων τιμών των αρχικών σφαλμάτων στην τιμή του αντίστοιχου ολοκληρώματος και επιπλέον δίνει έμφαση στα σφάλματα που εμφανίζονται κατά την εξέλιξη της απόκρισης του συστήματος Δ) Μέσο τετραγωνικό σφάλμα (Integral of Time multiplied by the Squared Error ITAE) Μέσο τετραγωνικό Παρόμοιος δείκτης με το μέσο απόλυτο σφάλμα

Δείκτες απόδοσης (Performance Indices) Το μέσο απόλυτο σφάλμα αποτελεί την καλύτερη επιλογή ως δείκτης απόδοσης, εξαιτίας του γεγονότος ότι η ελάχιστη τιμή του γίνεται εύκολα διακριτή καθώς μεταβάλλονται οι παράμετροι του αντίστοιχου συστήματος. Η γενική μορφή του ολοκληρώματος ενός δείκτη απόδοσης είναι όπου f είναι μια συνάρτηση του σφάλματος, της εισόδου, της εξόδου και του χρόνου Μπορούν να οριστούν διάφοροι δείκτες παίρνοντας συνδυασμούς των μεταβλητών του συστήματος και του χρόνου. Αξίζει να σημειωθεί ότι η ελαχιστοποίηση του απόλυτου και του τετραγωνικού σφάλματος έχουν ιδιαίτερη σημασία. Οι δείκτες απόδοσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου.

Παράδειγμα – κριτήρια απόδοσης συστήματος Δευτεροβάθμιο σύστημα Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι μεταβολές τριών δεικτών (τετραγωνικό σφάλμα ISE, μέσο απόλυτο σφάλμα ΙΤΑΕ και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ITSE) Από τις καμπύλες φαίνεται ότι για τα ISE και ITSE δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί που έχουμε ελαχιστοποίηση. Για το μέσο απόλυτο σφάλμα για ζ=0.7 έχουμε ελαχιστοποίηση, και οδηγεί σε ένα σύστημα με ταχεία απόκριση με ποσοστό υπερύψωσης 4.6%.

Παράδειγμα – σύστημα ελέγχου θέσης τηλεσκοπίου Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την επίδραση των διαταραχών επιλέγοντας κατάλληλα τον συντελεστή

Παράδειγμα – σύστημα ελέγχου θέσης τηλεσκοπίου ΄Έχοντας ως είσοδο τη διαταραχή παίρνουμε μετά από απλοποίηση του διαγράμματος Τυπικές τιμές για του συντελεστές είναι Οπότε υ φυσική συχνότητα θα είναι κύκλοι το δευτερόλεπτο Η χρονική απόκριση είναι Υψώνοντας την y(t) στο τετράγωνο και ολοκληρώνοντας έχουμε

Παράδειγμα – σύστημα ελέγχου θέσης τηλεσκοπίου Η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε συντελεστή απόσβεσης ζ=0.5 Η παράσταση αυτή (το τετραγωνικό σφάλμα) ελαχιστοποιείται εκεί που μηδενίζεται η παράγωγός του Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι καμπύλες μεταβολής του τετραγωνικού και του απολύτου σφάλματος. Η ελάχιστη τιμή του απολύτου σφάλματος επιτυγχάνεται για ! Διαφορετική επιλογή κριτηρίου οδηγεί σε διαφορετική βέλτιστη λύση Σχήμα 5.29 σελίδα 399

Αν και το κριτήριο του τετραγωνικού σφάλματος δεν είναι τόσο επιλεκτικό (-) σε σύγκριση με το κριτήριο του απολύτου σφάλματος, εντούτοις μπορούμε να το υπολογίσουμε αναλυτικά (+). Η ελάχιστη τιμή του απολύτου σφάλματος προσδιορίζεται από σχετικές μετρήσεις των τιμών που λαμβάνει το σφάλμα αυτό για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου που μας ενδιαφέρει Όπως αναφέρθηκε η βέλτιστη επιλογή των παραμέτρων εξαρτάται από την επιλογή του δείκτη απόδοσης! Οι συντελεστές για τους οποίους ελαχιστοποιείται το μέσο απόλυτο σφάλμα όταν έχουμε μοναδιαία βηματική είσοδο έχουν οριστεί για τη γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου

Η συνάρτηση αυτή έχει n πόλους και κανένα μηδενικό, και το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας είναι 0. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι βέλτιστοι συντελεστές για την T(s) με βάση το κριτήριο του μέσου απολύτου σφάλματος για βηματική είσοδο

Βηματική απόκριση για μια κανονικοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς, για βέλτιστες τιμές των συντελεστών. Η απόκριση δίνεται σε κανονικοποιημένες μονάδες χρόνου Κριτήριο Τετραγωνικού σφάλματος ISE Σχήμα 5.30α σελίδα 401

Βηματική απόκριση για μια κανονικοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς, για βέλτιστες τιμές των συντελεστών. Η απόκριση δίνεται σε κανονικοποιημένες μονάδες χρόνου Κριτήριο Απολύτου σφάλματος IΑE Σχήμα 5.30β σελίδα 401

Βηματική απόκριση για μια κανονικοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς, για βέλτιστες τιμές των συντελεστών. Η απόκριση δίνεται σε κανονικοποιημένες μονάδες χρόνου Κριτήριο Μέσου Απολύτου σφάλματος ITΑE Σχήμα 5.30γ σελίδα 402

Οι συντελεστές για τους οποίους ελαχιστοποιείται το μέσο απόλυτο σφάλμα όταν έχουμε είσοδο μοναδιαία συνάρτηση ράμπας έχουν οριστεί για τη γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου και συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα !Το σφάλμα ταχύτητας είναι μηδέν όπως μηδέν ήταν στην προηγούμενη περίπτωση το σφάλμα θέσης