Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 9

Για να εξετάσουμε την λειτουργία της κατανομής διακρίνουμε τις περιπτώσεις: – Αν ο πληθυσμός όπου παίρνουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή – Αν η τιμή της διασποράς του πληθυσμού είναι γνωστή.

(1)Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει γνωστή διασπορά(z κατανομή) Εστω Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ 2 Τότε η δειγματική κατανομή του ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2 /n Και έτσι η ποσότητα όπου n τυχαία δείγματα του πληθυσμού Ετσι οι τιμές του αριθμητικού μέσου που προέρχεται από κανονικό πληθυσμό με γνωστές τις τιμές των παραμέτρων μπορούν να ερμηνευτούν με βάση την έννοια της πιθανότητας

Παράδειγμα Εστω η διάρκεια μιας νόσου σε παιδιά ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 15 ημέρες και τυπική απόκλιση 4.Απο τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία ένα δείγμα μεγέθους n=20.Ζητάμε την πιθανότητα, η μέση διάρκεια της νόσου του δείγματος να είναι μεγαλύτερη των 17 ημερών.

Κατανομή κανονικού πληθυσμού, δειγματικής κατανομής αριθμητικού μέσου και τυποποιημένης κανονικής κατανομής

Έχουμε ότι Ζητάμε την πιθανότητα

Κεντρικό οριακό θεώρημα Θεωρούμε έναν πληθυσμό που αντιστοιχεί στις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ, με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ 2. Από τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n και έστω η τυχαία μεταβλητή των αριθμητικών μέσων των δειγμάτων. Τότε η δειγματική κατανομή του τείνει προς την κανονική κατανομή με μέση τιμή καθώς το μεγεθός του n αυξάνεται. Στην οριακή περίπτωση έχουμε:

Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει άγνωστη διασπορά(η t κατανομή) Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής αυτής είναι: βαθμούς ελευθερίας Το S αντιστοιχεί στην τιμή της τυπικής απόκλισης δείγματος Εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας δηλαδή από το μέγεθος του δείγματος

Παράδειγμα Εστω ότι οι τιμές του δείκτη της ανθρώπινης νοημοσύνης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 110 μονάδες νοημοσύνης Ζητάμε την πιθανότητα η μέση τιμή του δείκτη νοημοσύνης στο δείγμα να διαφέρει το πολύ 10 μονάδες από την μέση τιμή του πληθυσμού

Λύση(1) Χ, μ μέση τιμή του πληθυσμού και την μέση τιμή στο δείγμα των n=16 ατόμων Η μεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανομή η οποία έχει μέση τιμή μ=110 και άγνωστη διασπορά Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

Λύση(2) Το δείγμα ακολουθεί την t-κατανομή με ν=n-1=16- 1=15 βαθμούς ελευθερίας Υπολογίζουμε την τιμή S : Αρα η στατιστική

Λύση (3) Οπότε η πιθανότητα είναι μετατρέποντας τις τιμές σε τιμές t-κατανομής: Από τον πίνακα της t-κατανομής υπολογίζεται η ζητούμενη πιθανότητα που είναι :

Σύγκριση μέσων όρων z-κατανομή(όταν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H κάθε κανονική κατανομή ανάγεται στην τυπική κανονική κατανομή με την μετατροπή:  t-κατανομή( όταν δεν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H t κατανομή μοιάζει με την κανονική και το σχήμα της από τους β.ε.(το μέγεθος του δείγματος):

Παράδειγμα(1) Θέλουμε να εξετάσουμε την κατανομή του ύψους των ανδρών με ύψος 159 έως 184 που περιγράφεται από την κανονική κατανομή με μ=171,5 και σ=6,5. Λύση: Μετατρέπω τις τιμές σε z τιμές z=( )/6.5=-1.96 και z=( )/6.5=1.96 Δηλαδή το 95% του πληθυσμού έχει ύψος μεταξύ: *6.5=159 και *6.5=184.

Παράδειγμα(2) Η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης ενός συγκεκριμένου φαρμάκου δίνεται ότι είναι 2,5 ώρες. Σε ένα δείγμα η διάρκεια ανακούφισης 6 ασθενών μετά την χορήγηση φαρμάκου είναι : 2.2, 2.4, 4.9, 2.5, 3.7, 4.3 Άρα η Οπότε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο ανακούφισης ασθενών είναι ( *0.46, *0.46) ή (2.1, 4.5hrs) Ή υπάρχει 95% πιθανότητα η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης να βρίσκεται στο διάστημα αυτό.

H δειγματική κατανομή της διασποράς-Η x 2 κατανομή Ο πληθυσμός που επιλέγουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι η διασπορά που τους αντιστοιχεί είναι η Οπότε η δειγματική κατανομή της τ.μ. S 2 μελετάται μέσω της δειγματικής κατανομής μιας άλλης τ.μ. με x 2 και ορίζεται :

Παράδειγμα Εστω οι τιμές IQ μικρών παιδιών ηλικίας 5-10 ετών μιας χώρας ακολουθούν την κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=7 μονάδες IQ.Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα 41 παιδιών. Θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα: «οι τιμές του IQ στο δείγμα να έχουν τυπική απόκλιση μεγαλύτερη από οκτώ μονάδες IQ.»

Λύση Εστω S IQ η τυπική απόκλιση των τιμών του δείγματος Ζητάω την πιθανότητα P(S IQ >8) Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα μπορεί να προσδιοριστεί : Από τον πίνακα βρίσκουμε