Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα επικοινωνίας σε πολύ μεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήματα ψηφιακής μορφής, δηλαδή, σήματα που δημιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα περισσότερα σήματα στην πράξη είναι αναλογικά. Η μετάδοση των σημάτων αυτών σε ψηφιακή μορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήματα να μετατραπούν σε ψηφιακά. Η διαδικασία της μετατροπής αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά ονομάζεται αναλογική σε ψηφιακή μετατροπή (A/D analog to digital conversion) ή κωδικοποιήσης κυματομορφής. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυματομορφής, παλμοκωδική διαμόρφωση και η διαμόρφωση δέλτα. Σεραφείμ Καραμπογιάς

Σ Υ Σ Τ Η Μ Α PC M Παλμοκωδική Διαμόρφωση (PCM) ΔειγματολήπτηςΚβαντιστής Η Παλμοκωδική διαμόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλούστερο σχήμα κωδικοποιήσης κυματομορφής. Ένας παλμοκωδικός διαμορφωτής παλμών αποτελείται από τρία βασικά μέρη: ένα δειγματολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Κωδικοποιητής Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-2 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Επειδή σχεδόν όλα τα κανάλια επικοινωνίας που συναντάμε στην πράξη είναι ικανά να μεταδίδουν ηλεκτρικά σήματα (κυματομορφές). Ψηφιακός Διαμορφωτής - Αποδιαμορφωτής Στο άλλο άκρο της λήψης ενός ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας, ο ψηφιακός αποδιαμορφωτής επεξεργάζεται τις αλλοιωμένες από το κανάλι διαβιβασμένες κυματομορφές και εκτιμά το διαβιβασμένο δυαδικό ψηφίο. Ψηφιακός διαμορφωτής Ο πρωταρχικός ρόλος του ψηφιακού διαμορφωτή είναι να απεικονίζει τις δυαδικές ακολουθίες σε κυματομορφές σήματος. Ο ψηφιακός διαμορφωτής μπορεί απλώς να απεικονίζει το δυαδικό ψηφίο 0 στην κυματομορφή s 0 ( t ) και το δυαδικό ψηφίο 1 στην κυματομορφή s 1 ( t ). Αναλογικό σήμα Κανάλι Αναλογικό σήμα Ψηφιακός αποδιαμορφωτής Δυαδική ακολουθία Δυαδική ακολουθία Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Ψηφιακός διαμορφωτής Ψηφιακός διαμορφωτής Ψηφιακός διαμορφωτής 11 0 Διαμόρφωσης Παλμών κατά Πλάτος ( Pulse Amplitude Modulation (PAM)) εκπομπή του 1 εκπομπή του 0 Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-4 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-5 Επειδή η ακολουθία πληροφορίας {α n } είναι τυχαία, η υ(t) είναι μία συνάρτηση δείγμα μίας τυχαίας διαδικασίας V(t) όπου Α είναι τυχαία ακολουθία με τιμές α 1, α 2, …, α Μ σε ένα μιαδικό σύστημα. Η μέση τιμή της τυχαίας διαδικασίας, V ( t ) είναι όπου α n είναι η ακολουθία τιμών και αντιστοιχούν στα σύμβολα πληροφορίας της πηγής, και g T (t) είναι κατάλληλα επιλεγμένος παλμός. Το ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα (βασικής ζώνης) γράφεται γενικά ως Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Όπου m A = a k P( a k ) η μέση τιμή της τυχαίας ακολουθίας A. Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή της είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ.

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-6 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας, V ( t ) είναι Ενγένει, υποθέτουμε ότι η ακολουθία πληροφορίας {α n } είναι στατική υπό την ευρεία έννοια με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R A (n) = E[a m a n + m ] επομένως επομένως η τυχαία διαδικασία V(t) είναι κυκλοστατική. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική συνάρτηση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-7 Η φασματική πυκνότητα ισχύος, S V ( f ), της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V(t), προσδιορίζεται αφού πρώτα βρεθεί η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R V (t + τ, t), για μία περίοδο Τ, και στη συνέχεια υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier της μέσης χρονικής τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. τελικά Τ 2 Τ 2 nΤ+TnΤ+T 2 nΤ+TnΤ+T 2 Η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι Τ 2 Τ 2 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-8 Ο μετασχηματισμός Fourier της χρονικής μέσης τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, δηλαδή, η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος είναι Αν S a ( f ) είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας {α n }, δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας πληροφορίας. και |G T ( f )| 2 είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της g T (t). Επίσης G T ( f ) είναι η απόκρισης συχνότητας του φίλτρου εκπομπής έχουμε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-9 Για να ελέγξουμε τη μορφή της φασματικής πυκνότητας του μεταδιδόμενου σήματος πρέπει να σχεδιασθούν κατάλληλα τα φασματικά χαρακτηριστικά του φίλτρου εκπομπής, |G T ( f )| 2, και τα φασματικά χαρακτηριστικά της ακολουθίας πληροφορίας {α n }, S a ( f ). Η φασματική πυκνότητα ισχύος, S V ( f ), της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V(t) είναι λοιπόν Αν τα σύμβολα πληροφορίας στην ακολουθία {a n } είναι αμοιβαία ασυσχέτιστα τότε όπου είναι η διακύμανση των συμβόλων πληροφορίας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-10 Αν η μέση τιμή m a = 0, η φασματική πυκνότητα είναι Διακριτό τμήμα του φάσματος Συνεχές τμήμα του φάσματος Η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος υ(t) όταν η ακολουθία συμβόλων πληροφορίας είναι ασυσχέτιστη είναι Το περιοδικό σήμα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier Επομένως η φασματική πυκνότητα μπορεί να εκφραστεί ως Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-11 Ορθογώνιος παλμός g T ( t ). Όταν το g T (t) είναι ο ορθογώνιος παλμός του σχήματος Ο μετασχηματισμός Fourier είναι και η φασματική πυκνότητα ενέργειας είναι Φασματική πυκνότητα ενέργειας |G T ( f )| 2 του g T ( t ). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-12 Δίνεται η δυαδική ακολουθία {b n } που αποτελείται από ασυσχέτιστες δυαδικές (±1) τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής και μοναδιαίας διακύμανσης. Δημιουργούμε τα σύμβολα a n = b n + b n – 1 τα οποία και μεταδίδουμε. Να καθοριστεί η φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας {α n } είναι Η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος εισόδου είναι και η αντίστοιχη φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-13 Φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας. Φασματική πυκνότητα ισχύος του αντίστοιχου διαμορφωμένου σήματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-14 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Αν υ(t) είναι το σήμα βασικής ζώνης ενός ψηφιακά διαμορφωμένου σήματος, το αντίστοιχο ζωνοπερατό σήμα είναι u(t) = υ(t) cos(2π f c t) Διαμόρφωση κατά πλάτος ενός ημιτονοειδούς φέροντος από σήμα βασικής-ζώνης. Σήμα βασικής ζώνης Ζωνοπερατό σήμα Φέρον

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-15 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Περιγραφή στο χρονικό πεδίο Αλλαγή φάσης Διαμόρφωση παλμών κατά πλάτος - Το ζωνοπερατό σήμα Διαμόρφωση παλμών κατά πλάτος - Το σήμα βασικής ζώνης

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-16 Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Αν υ(t) είναι το σήμα βασικής ζώνης ενός ψηφιακά διαμορφωμένου σήματος, το αντίστοιχο ζωνοπερατό σήμα είναι u(t) = υ(t) cos(2π f c t) και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας U(t) = V(t) cos(2π f c t) είναι Η μέση τιμή του R U (t, t + τ) για μία περίοδο διάρκειας T δίνει Η φασματική πυκνότητα ισχύος του ζωνοπερατού σήματος είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-17 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Φάσματα σημάτων (α) βασικής ζώνης και (β) διαμόρφωμένου κατά πλάτος. Η διαμόρφωση κατά πλάτος του φέροντος από τις κυματομορφές βασικής ζώνης ολισθαίνει το φάσμα του σήματος βασικής ζώνης κατά f c

Σε ένα σύστημα επικοινωνίας, κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος T b, ένα σήμα γνωστής μορφής g T ( t ) φτάνει στο δέκτη. Το σήμα αυτό έχει μολυνθεί από θόρυβο, γνωστής φασματικής πυκνότητας ισχύος S NN (ω). Τα προσαρμοστικά φίλτρα χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των παλμών αυτών. Επιδιώκεται η μεγιστοποίηση του λόγου S 0 /N 0 τη στιγμή t 0 “στιγμή απόφασης” Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-18 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Το σήμα μηνύματος στην έξοδο του φίλτρου είναι και η μέση ισχύς του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-19 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο έτσι ο λόγος σήμα προς θόρυβο τη στιγμή λήψης της απόφασης t 0, γράφεται

Το εσωτερικό γινόμενο δύο σημάτων ορίζεται ως Το μέτρο ή norm ενός σήματος ισούται με το εσωτερικό γινόμενο του σήματος με τον εαυτό του. Ανισότητα του Schwarz ή επίσης ισχύει Η ισότητα ισχύει όταν Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-20 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-21 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο ο λόγος σήμα προς θόρυβο μπορεί να γραφεί ως αν θεωρήσουμε

Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-22 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν, δηλαδή, ή Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-23 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν, δηλαδή, ή Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-24 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Για την περίπτωση λευκού θορύβου έχουμε S N (ω) = Ν 0 /2 οπότε Γνωρίζουμε ότι τότε είναι και έτσι η κρουστική απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x(t) παρουσία προσθετικού λευκού Gaussian θορύβου είναι Γενικά αν το σήμα είναι x(t) και ο θόρυβος έχει φασματική πυκνότητα ισχύος S N (ω) τότε η απόκριση συχνότητας του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x(t) είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-25 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Εφαρμογή: Να βρεθεί το προσαρμοσμένο φίλτρο για το σήμα x(t) παρουσία προσθετικού λευκού Gaussian θορύβου Η κρουστική απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου στο πραγματικό σήμα x(t) παρουσία προσθετικού λευκού Gaussian θορύβου είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-26 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Έτσι η απόκριση συχνότητας του βέλτιστου φίλτρου είναι Γνωρίζουμε ότι και αν τότε είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-27 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Το διάγραμμα του συστήματος το οποίο υλοποιεί το φίλτρο είναι Για να είναι το φίλτρο αιτιατό πρέπει ή Καθυστέρηση Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-28 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

για τη στιγμή δειγματοληψίας t = t 0 έχουμε Αν y(t) είναι η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x(t) και ο θόρυβος έχει φασματική πυκνότητα ισχύος S N (ω) να βρεθεί ο λόγος σήμα προς θόρυβο στην έξοδο του φίλτρου. Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος εξόδου είναι Με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier προσδιορίζεται ο σήμα εξόδου Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-29 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο

Το SNR εξόδου είναι απλά ο λόγος της ισχύος του σήματος P s προς την ισχύ του θορύβου P n, δηλαδή, και για τη φασματική πυκνότητα του θορύβου στην έξοδο έχουμε η ισχύς του θορύβου στην έξοδο είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-30 Συστήματα που μεγιστοποιούν το λόγο σήμα προς θόρυβο