Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων Γεωμορφολογία Τοπογραφία Ενότητα 2: Μονάδες μέτρησης και αριθμητικά συστήματα Γρηγόριος Βάρρας Αν. Καθηγητής Άρτα, Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Χρηματοδότηση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Ηπείρου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Η Τοπογραφία ασχολείται με τη μέτρηση της επιφάνειας της γης. Για το σκοπό αυτό μετρούνται μήκη και γωνίες. Τα στοιχεία αυτά, στη συνέχεια, μεταφέρονται στο γραφείο, όπου υφίστανται επεξεργασία, για να υπολογισθούν τα χρήσιμα μεγέθη, που αφορούν τη μελέτη, η οποία εξαρτάται από την Τοπογραφική αποτύπωση Κατά τους υπολογισμούς γραφείου, υπολογίζονται επιφάνειες εκτάσεων και όγκοι εδαφικού υλικού. Για να γίνουν όλες οι μετρήσεις και στη συνέχεια όλοι οι υπολογισμοί, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις κατάλληλες φυσικές μονάδες των μεγεθών, τα οποία πραγματευόμαστε. 4 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ  Το πλήθος των ψηφίων, που χρησιμοποιεί κάθε αριθμητικό σύστημα, δίνει το όνομά του στο ίδιο το αριθμητικό σύστημα. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιούμε δέκα ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα χρησιμοποιούμε οκτώ ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7) κ.ο.κ.  Ο αριθμός των ψηφίων του συστήματος είναι η λεγόμενη «βάση» του αριθμητικού συστήματος.  Το πρώτο ψηφίο κάθε αριθμητικού συστήματος είναι υποχρεωτικά το 0 (ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) και το δεύτερο το 1 (ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού). Επομένως κάθε σύστημα πρέπει να περιέχει υποχρεωτικά αυτά τα δύο ψηφία. Το αριθμητικό σύστημα με τα λιγότερα ψηφία είναι το δυαδικό σύστημα και χρησιμοποιεί μόνο τα υποχρεωτικά ψηφία 0 και 1. 5 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ  Για περισσότερα αντικείμενα χρησιμοποιείται συνδυασμός των διατιθέμενων συμβόλων, με παράθεση από δεξιά προς τα αριστερά. Κάθε ψηφίο παριστά, ανάλογα με τη θέση του, δυνάμεις της βάσης β του αριθμητικού συστήματος. Το πρώτο από δεξιά ψηφίο παριστά τη μηδενική δύναμη της βάσης (β 0, δηλαδή μονάδες), το δεύτερο ψηφίο παριστά την πρώτη δύναμη της βάσης (β 1 ), το τρίτο ψηφίο τη δεύτερη δύναμη της βάσης (β 2 ) κ.ο.κ.  Υπάρχει η δυνατότητα γραφής και κλασματικών αριθμών σε κάθε αριθμητικό σύστημα. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή υποδιαστολής μετά το πρώτο (στα δεξιά) ψηφίο και την παράθεση ψηφίων, που παριστούν αρνητικές δυνάμεις της βάσης του αριθμητικού συστήματος. Το πρώτο κλασματικό ψηφίο (μετά την υποδιαστολή) παριστά την –1 δύναμη της βάσης (β -1 ), το δεύτερο κλασματικό ψηφίο παριστά την –2 δύναμη της βάσης (β -2 ) κ.ο.κ. 6 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κάθε αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιείται σε εφαρμογές, όπου αποδίδει καλύτερα από ότι η χρήση άλλου συστήματος. Το δεκαδικό σύστημα είναι το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο σαν μετρικό σύστημα, δηλαδή για να εκφρασθούν σε αυτό οι διάφορες μονάδες μέτρησης και τα παράγωγά τους. Το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα είναι χρήσιμα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Το δωδεκαδικό και το εξηκονταδικό σύστημα χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των αγγλοσαξονικών μονάδων (π.χ. μοίρες). 7 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΠΟ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ Έστω ένας αριθμός α, με κ ψηφία, σε κάποιο αριθμητικό σύστημα με βάση β. Για να τον μετατρέψουμε σε δεκαδικό, κάνουμε την εξής διαδικασία: Για κάθε ψηφίο ψν (στη θέση ν από τα δεξιά) υπολογίζουμε το γινόμενο: Το άθροισμα όλων των παραπάνω γινομένων αποτελεί τον αριθμό εκφρασμένο στο δεκαδικό σύστημα. Ο ολικός τύπος της μετατροπής σε δεκαδικό αριθμό Δ είναι: 8 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΠΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΕ ΑΛΛΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό α σε κάποιο άλλο αριθμητικό σύστημα με βάση β, κάνουμε την εξής διαδικασία: Εκτελούμε την ακέραια διαίρεση α/β. Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το πρώτο (από δεξιά) ψηφίο του ζητούμενου αριθμού. Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται ξανά δια β. Το νέο υπόλοιπο είναι το δεύτερο ψηφίο (πάντα από δεξιά) του ζητούμενου αριθμού. Το νέο πηλίκο διαιρείται ξανά δια β και το νέο υπόλοιπο είναι το τρίτο ψηφίο του ζητούμενου αριθμού. Η διαδικασία της διαίρεσης των διαδοχικών πηλίκων επαναλαμβάνεται μέχρι να καταλήξουμε σε μηδενικό πηλίκο. Το τελευταίο υπόλοιπο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού στο νέο αριθμητικό σύστημα. 9 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μόνο τα υποχρεωτικά ψηφία (0 και 1). Αυτά μπορούν να αριθμήσουν μέχρι 1 αντικείμενο. Για να απαριθμήσουμε δύο αντικείμενα στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε διψήφιο αριθμό. Συνεπώς η ποσότητα 2 στο δυαδικό σύστημα παριστάνεται σαν [10] 2. Πράγματι, αφού η βάση του συστήματος είναι β=2, ο αριθμός [10] 2 αναλύεται ως εξής: Το δυαδικό σύστημα είναι πολύ χρήσιμο για εφαρμογές στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Σε κάθε στοιχείο ενός κυκλώματος μπορεί να υπάρχει τάση είτε να μην υπάρχει. Η ύπαρξη τάσης αντιστοιχεί με το ψηφίο 1 και η μη ύπαρξη με το ψηφίο 0 του δυαδικού αριθμητικού συστήματος. 10 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΟΚΤΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Το οκταδικό σύστημα χρησιμοποιεί οκτώ ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7) για την παράσταση των αριθμών. Συνεπώς η μέγιστη ποσότητα, που μπορεί να εκφρασθεί με μονοψήφιο οκταδικό αριθμό είναι το 7. Εάν θέλουμε να γράψουμε την ποσότητα 8 στο οκταδικό σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε τον διψήφιο αριθμό [10] 8. Κάθε ψηφίο στη θέση κ (από τα δεξιά) ενός αριθμού στο οκταδικό σύστημα αντιπροσωπεύει το γινόμενό του με την δύναμη 8 κ Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΔΕΚΑΕΞΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Το δεκαεξαδικό σύστημα είναι επίσης πολύ χρήσιμο στους Η/Υ. Για μεγαλύτερη ταχύτητα κατασκευάσθηκαν καλώδια, τα οποία περιέχουν 4 μονωμένα σύρματα, οπότε κατά τη μεταφορά γίνονται απευθείας μεταβιβάσεις τετραψήφιων δυαδικών αριθμών. Επειδή όμως 2 4 =16, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 16, που ονομάζεται δεκαεξαδικό σύστημα. Τα σύμβολα, που αποτελούν τα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήματος είναι τα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Η αντιστοιχία των συμβόλων – γραμμάτων είναι: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F= Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΞΗΚΟΝΤΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Η βάση του συστήματος είναι το 60. Παράδειγμα χρήσης του εξηκονταδικού συστήματος είναι στη μέτρηση του χρόνου. Ο χρόνος γράφεται πάντα σαν τριψήφιος εξηκονταδικός αριθμός. Το πρώτο «ψηφίο» του αριθμού παριστά τις μονάδες μέτρησης του χρόνου. Μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (sec). Το πρώτο πολλαπλάσιο του δευτερόλεπτου είναι το πρώτο λεπτό, που ισούται με 60 1 δευτερόλεπτα. Τα λεπτά επομένως γράφονται σαν το δεύτερο «ψηφίο» του αριθμού. Επόμενο πολλαπλάσιο του δευτερόλεπτου είναι η ώρα, που ισούται με 60 2 δευτερόλεπτα. Οι ώρες αποτελούν το τρίτο «ψηφίο» του αριθμού. 13 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ - ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 14 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ Μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο (mètre, m). Μερικά πολλαπλάσια είναι: 1 km = 1 kilomètre = 103 mètres = 1,000 mètres. Το γνωστό χιλιόμετρο. Μερικά υποπολλαπλάσια είναι : 1 dm = 1 decimètre = 10-1 mètre = 0.1 mètre. Το γνωστό δεκατόμετρο. 1 cm = 1 centimètre = 10-2 mètre = 0.01 mètre. Το γνωστό εκατοστόμετρο. 15 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΩΝ. Το μήκος είναι μονοδιάστατο διάνυσμα με διάσταση [L]. Το κυρίαρχο παγκόσμιο πρότυπο μήκος είναι το μέτρο (metre). Ένα μέτρο ορίζεται σαν ,73 μήκη κύματος σε κενό αέρος από την ανεμπόδιστη διάσπαση 2p 10 -5d 5 του στοιχείου 86 Kr. Πολλαπλάσια του μέτρου είναι:  1 decamètre (dam) = 10 mètres  1 hectomètre (hm) = 100 mètres  1 kilomètre (km) = 1000 mètres Υποπολλαπλάσια του μέτρου είναι:  1 decimètre (dm) = 1/10 mètre  1 centimètre (cm) = 1/100 mètre  1 millimètre (mm) = 1/1000 mètre 16 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΩΝΙΩΝ Μοίρα είναι η μονάδα μέτρησης γωνιών, που ισούται με του 1/360 πλήρους κύκλου. Βαθμός είναι η μονάδα μέτρησης γωνιών που αποτελεί το της 1/100 ορθής γωνίας. Το rad είναι η γωνία που βαίνει σε τόξο ίσου μήκους με την ακτίνα ενός κύκλου. 17 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΒΑΘΜΩΝ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ Κάθε ημικύκλιο ισούται με 200 βαθμούς. Επίσης το ίδιο τόξο ισούται με π ακτίνια. Όταν, λοιπόν, μετρήσουμε ένα τόξο ίσο με β βαθμούς, με την απλή μέθοδο των τριών θα υπολογίσουμε την γωνία σε x ακτίνια : Αντίστροφα, αν έχουμε τη μέτρηση μιας γωνίας σε χ ακτίνια, επιλύοντας την παραπάνω συνάρτηση ως προς β έχουμε: 18 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΟΙΡΩΝ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ Αν έχουμε μια γωνία ίση με μ ο και η ίδια γωνία αντιστοιχεί σε x ακτίνια, θα ισχύει η σχέση μετατροπής σε ακτίνια: Επιλύοντας την παραπάνω σχέση ως προς μ έχουμε τον τύπο μετατροπής ακτινίων σε μοίρες: 19 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΒΑΘΜΩΝ ΣΕ ΜΟΙΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ Η αντιστοιχία μεταξύ βαθμών και μοιρών, βρίσκεται θεωρώντας σαν βάση την ορθή γωνία, ως εξής: μια ορθή γωνία ισούται με 100 βαθμούς ή με 90 μοίρες. Άρα κάθε βαθμός αντιστοιχεί σε 90/100= 9/10 μοίρες. Με τον ίδιο συλλογισμό, κάθε μοίρα αντιστοιχεί σε 10/9 βαθμούς. Συνεπώς, η αμοιβαία μετατροπή β βαθμών σε μ μοίρες γίνεται με τους τύπους: 20 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Η επιφάνεια σαν φυσική έννοια έχει δύο διαστάσεις μήκους, δηλαδή Ε= L·L. Επομένως, θα χρησιμοποιεί σαν μονάδες, τα τετράγωνα των μονάδων μήκους. Η μονάδα μέτρησης των επιφανειών στο δεκαδικό σύστημα είναι το τετραγωνικό μέτρο (m2). Ένα τετραγωνικό μέτρο είναι μια τετραγωνική επιφάνεια με πλευρές ίσες με 1m. Τα πολλαπλάσια της μονάδας είναι: 1 άριο = 100 m 2 1 στρέμμα = 1,000 m 2 1 εκτάριο = 10,000 m 2 1 km2 = 106 m2 = 1,000,000 m 2 21 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΟΓΚΩΝ Η φυσική έννοια του όγκου είναι μέγεθος τριών διαστάσεων μήκους, δηλαδή V={L·L·L}. Άρα, οι μονάδες μέτρησης κάθε διάστασης του μεγέθους θα είναι μονάδες μέτρησης μήκους. Τελικά, η μονάδα μέτρησης του όγκου θα είναι η μονάδα μέτρησης του μήκους υψωμένη στην τρίτη δύναμη. Με τους παραπάνω συλλογισμούς βλέπουμε ότι η μονάδα όγκου στο δεκαδικό σύστημα είναι το ένα κυβικό μέτρο (m 3 ). Η φυσική έννοια του κυβικού μέτρου είναι ένας κύβος με πλευρές 1m. Μερικά χρησιμοποιούμενα υποπολλαπλάσια του κυβικού μέτρου είναι: 1 cm3 = m 3 κυβικό εκατοστό 1 liter = m 3 λίτρο 22 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Βιβλιογραφία Αποστολάκης Κ., Τοπογραφία, Μετρήσεις-Σφάλματα-Τριγωνισμός - Οδεύσεις - Αποτυπώσεις-Υπολογισμός Εμβαδών και Όγκων, Εκδόσεις Α. Σταμούλης, Πειραιάς, 501 σελίδες. Βλάχος Δ., Τοπογραφία, Τόμος Α’- Όργανα και Μέθοδοι Μετρήσεων, Θεσσαλονίκη, 418 σελίδες. Βλάχος Δ., Τοπογραφία, Τόμος Β’- Τοπογραφικές Χαρτογραφήσεις, Θεσσαλονίκη, 368 σελίδες. Νίκου Ν., Τοπογραφία Ι, Εκδόσεις Art of Text, Θεσσαλονίκη, 206 σελίδες. Νίκου Ν., Τοπογραφία IΙ, Θεωρία-Εφαρμογές, Εκδόσεις Γιαχούδη, Θεσσαλονίκη, 212 σελίδες. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου.. Έκδοση: 1.0, Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Μυριούνης Χρήστος Άρτα, Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου