Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Γραμμικός Προγραμματισμός και Ανάλυση Ευαισθησίας

Η ανάλυση ευαισθησίας  Αντικείμενο της ανάλυσης ευαισθησίας είναι να προσδιορίσει τα όρια μέσα στα οποία οι παράμετροι του προβλήματος μπορούν να τροποποιηθούν χωρίς να μεταβληθεί η άριστη λύση.  Για αυτές τις αλλαγές δεν είμαστε αναγκασμένοι να ξανα-λύσουμε το πρόβλημα από την αρχή προκειμένου να προσδιορίσουμε την επίπτωση των αλλαγών στην άριστη λύση 2

Παράδειγμα 6 Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, καρέκλες και τραπέζια. Για την παραγωγή τους απαιτείται ξυλεία και από τον ξυλουργό εργασία κατασκευής και εργασία φινιρίσματος, σύμφωνα με τον Πίνακα: Ένα θρανίο πωλείται προς 60, ένα τραπέζι προς 30 και μία καρέκλα προς 20 ευρώ. 3 Πρώτες ύλεςΘρανίοΤρα π έζιΚαρέκλαΔιαθεσιμότητα Ξυλεία Κατασκευή ώρες Φινίρισμα ώρες

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Δραστηριότητες κατανομής : Δραστηριότητα 1: Παραγωγή σε θρανία Δραστηριότητα 2: Παραγωγή σε τρα π έζια Δραστηριότητα 3: Παραγωγή σε καρέκλες Μεταβλητές α π όφασης x1: ημερήσια π αραγωγή σε θρανία x2: ημερήσια π αραγωγή σε τρα π έζια x3: ημερήσια π αραγωγή σε καρέκλες 4

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Τεχνολογικοί περιορισμοί: 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 (διαθέσιμη ξυλεία) 2x x x3 ≤ 8 (διαθέσιμες ώρες κατασκευής) 4x1 + 2x x3 ≤ 20 (διαθέσιμες ώρες φινιρίσματος) Φυσικοί περιορισμοί: x1≥0 και x2≥0 και x3≥0 5

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Max(z)=60x1+30x2+20x3 6

Εύρος μεταβολής για την π αράμετρο μη βασικής μεταβλητής Έστω ότι θέλουμε να μεταβάλουμε την τιμή π ώλησης των τρα π εζιών. Για π οιο εύρων τιμών π αραμένει ίδια η άριστη λύση ; 7

Εύρος μεταβολής για την π αράμετρο μη βασικής μεταβλητής Έστω c2’=c2+d Θα πρέπει c2’-z2 ≤ 0  (c2+d)’-(60*1.25-2*20) ≤ 0  30 + d – 35 ≤ 0  d ≤ 5 και c2’ ≤ 35 8

Εύρος μεταβολής για την π αράμετρο βασικής μεταβλητής Έστω ότι θέλουμε να μεταβάλουμε την τιμή π ώλησης των θρανίων. Για π οιο εύρων τιμών π αραμένει ίδια η άριστη λύση ; 9

Εύρος μεταβολής για την π αράμετρο βασικής μεταβλητής Έστω c1’=c1+d Θα π ρέ π ει c2-z2 ≤ 0 και c5-z5 ≤ 0 και c6-z6 ≤ 0 c2-z2 ≤ 0  30- (c1’*1.25-2*20)≤ 0  70- c1’*1.25 ≤ 0  c1’ ≥ 56 c5-z5 ≤ 0  0-(c1’*1.5-4*20) ≤ 0  80-c1’*1.5 ≤ 0  c1’ ≥ 53,3333 c6-z6 ≤ 0  0-(c1’*(-0,5)-2*20)≤ 0  -40+c1’*0.5 ≤ 0  c1’ ≤ 80 Άρα 56 ≤ c1’ ≤ 80 10

Μοντελο π οίηση με EXCEL c1c2c3TOTALMAX Objective Function Coefficients 60,0030,0020,00 x1x2x3 Decision Variables 0,00 Resource Constrainsa8,006,001,000,0048,00 b2,001,500,500,008,00 c4,002,001,500,0020,00 11

Ε π ίλυση με EXCEL 12

Ε π ίλυση με EXCEL c1c2c3TOTALMAX Objective Function Coefficients 60,0030,0020,00 x1x2x3 Decision Variables 2,000,008,00280,00 Resource Constrainsa8,006,001,0024,0048,00 b2,001,500,508,00 c4,002,001,5020,00 13

Αναφορές Excel 1) Αναφορά Α π άντησης 2) Ανάλυση Ευαισθησίας 3) Αναφορά Ορίων 14

Αναφορά Απάντησης 15

Αναφορά Απάντησης  Στη θέση Κελί αναγράφεται το κελί του Excel π ου έχω ορίσει την αντικειμενική συνάρτηση και στο Όνομα το όνομα π ου έχω δώσει στην αντικειμενική συνάρτηση.  Στην Αρχική τιμή αναγράφεται η τιμή π ου είχε η αντικειμενική συνάρτηση π ριν την λύση  Στην Τελική τιμή η τιμή π ου π ήρε μετά την λύση του π ροβλήματος.  Στα ρυθμιζόμενα κελιά αντίστοιχα, αναγράφονται το κελί, το όνομα, η αρχική και η τελική τιμή της κάθε μεταβλητής. 16

Αναφορά Α π άντησης Στους π εριορισμούς :  Στην Κατάσταση, αναφέρεται αν ένας π εριορισμός είναι ενεργός / υ π οχρεωτικός ή μη ενεργός / μη υ π οχρεωτικός.  Ένας π εριορισμός θεωρείται binding ( υ π οχρεωτικός ) όταν στην βέλτιστη λύση ισχύει σαν ισότητα.  Οι π εριορισμοί αυτοί είναι εκείνοι των ο π οίων η τομή των αντίστοιχων ευθειών τους καθορίζει την κορυφή π ου α π οτελεί την βέλτιστη λύση. Στην π ερί π τωση π ου ο π εριορισμός αυτός είναι της μορφής {≤} δείχνει έναν π όρο ο ο π οίος έχει στη βέλτιστη λύση καταναλωθεί π λήρως ενώ όταν είναι της μορφής {≥} δείχνει έναν π όρο ο ο π οίος έχει καταναλωθεί στο ελάχιστο, δηλαδή στην βέλτιστη λύση ικανο π οιείται το κατώτατο όριο του π εριορισμού. 17

Αναφορά Α π άντησης  Ένας π εριορισμός π ου δεν είναι υ π οχρεωτικός λέγεται not binding ( μη υ π οχρεωτικός ) και στην π ερί π τωση π ου είναι της μορφής {≤} εκφράζει ένα π όρο ο ο π οίος δεν έχει καταναλωθεί π λήρως, δηλαδή υ π άρχει π ερίσσευμα του π όρου αυτού. Ένας μη ενεργός π εριορισμός της μορφής {≥} εκφράζει μια α π αίτηση της ο π οίας όχι μόνο έχει ικανο π οιηθεί η ελάχιστη α π αιτούμενη π οσότητα αλλά και έχει ξε π εραστεί. Οι μη ενεργοί π εριορισμοί δεν μετέχουν στη βέλτιστη λύση.  Η α π όκλιση είναι η διαφορά τις τιμής π ου π αίρνει ένας μη ενεργός π εριορισμός α π ό την ελάχιστη η μέγιστη τιμή π ου μ π ορεί να π άρει. 18

Αναφορά Ανάλυσης Ευαισθησίας 19

Αναφορά Ανάλυσης Ευαισθησίας  Τα ρυθμιζόμενα κελιά δίνουν πληροφορίες για τις μεταβλητές του προβλήματος και για την αντικειμενική συνάρτηση.  Αν αλλάξουμε την τιμή των μεταβλητών απόφασης τότε η μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης θα ονομάζεται Μειωμένο κόστος (Reduced cost).  Η επιτρεπτή αύξηση και επιτρεπτή μείωση δείχνουν πόσο μπορούν να αλλάξουν οι συντελεστές των μεταβλητών της αντικειμενικής συνάρτησης χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση. Ωστόσο η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αλλάξει εάν ένας συντελεστής αλλάξει και η αντίστοιχη μεταβλητή του παραμείνει αμετάβλητη. 20

Αναφορά Ανάλυσης Ευαισθησίας  Σκιώδης τιμή (Shadow price) είναι η μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μεταβολή ενός π εριορισμού κατά μία μονάδα. Όταν η αντικειμενική συνάρτηση είναι κέρδος, μ π ορούμε να π ούμε ότι εκφράζει την μοναδιαία αύξηση ή μείωση του κέρδους όταν ο π εριορισμός αυξάνεται ή μειώνεται αντίστοιχα κατά μία μονάδα. Η σύγκριση των σκιωδών τιμών κάθε π εριορισμού μ π ορεί να π αρέχει π ολύτιμη π ληροφορία για το π ού και π ως μ π ορούμε να διαθέσουμε π ιο α π οδοτικά ε π ι π ρόσθετους π όρους έτσι ώστε να π ετύχουμε καλύτερη βέλτιστη λύση της αντικειμενικής συνάρτησης.  Ο π εριορισμός R.H Side είναι η τιμή του δεξιού μέλους του π εριορισμού. Η ε π ιτρε π όμενη αύξηση και μείωση δείχνει το π όσο μ π ορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί το δεξί μέλος ενός π εριορισμού έτσι ώστε η σκιώδης τιμή του να ισχύει. 21

Αναφορά Ορίων 22

Αναφορά Ορίων Προσδιορίζει τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή π ου μ π ορεί να π άρει κάθε μεταβλητή ώστε κρατώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές οι π εριορισμοί να εξακολουθούν να ικανο π οιούνται. 23

Παράδειγμα 7 Μια εταιρία π αράγει τέσσερα π ροϊόντα : Α, Β, C και D. Κάθε μονάδα π ροϊόντος Α α π αιτεί 2 ώρες ε π εξεργασίας, 1 ώρα συναρμολόγησης και α π όθεμα σε εξέλιξη αξίας 10€. Κάθε μονάδα π ροϊόντος Β α π αιτεί 1 ώρα ε π εξεργασίας, 3 ώρες συναρμολόγησης και α π όθεμα σε εξέλιξη αξίας 5€. Κάθε μονάδα π ροϊόντος C α π αιτεί 2.5 ώρες ε π εξεργασίας, 2.5 ώρες συναρμολόγησης και α π όθεμα σε εξέλιξη αξίας 2€. Τέλος, κάθε μονάδα π ροϊόντος D α π αιτεί 5 ώρες ε π εξεργασίας, καμία ώρα συναρμολόγησης και α π όθεμα σε εξέλιξη αξίας 12€. 24

Παράδειγμα 7 Η εταιρία διαθέτει 1200 ώρες ε π εξεργασίας και 1600 ώρες συναρμολόγησης. Ε π ι π λέον, μ π ορεί να διαθέσει α π όθεμα σε εξέλιξη αξίας το π ολύ 10000€. Η κάθε μονάδα π ροϊόντος Α α π οφέρει κέρδος 40€, π ροϊόντος Β κέρδος 24€, π ροϊόντος Γ κέρδος 36€ και π ροϊόντος D κέρδος 23€. Ε π ίσης, α π ό το π ροϊόν Α μ π ορούν να π ουληθούν το π ολύ 200 μονάδες ενώ α π ό το C το π ολύ 160. Α π ό τα Β και D μ π ορούν να π ωληθούν οσοδή π οτε. Ωστόσο α π ό το π ροϊόν D μ π ορούν να π ουληθούν το λιγότερο 100 μονάδες, όρος συμβολαίου. Να βρεθεί το μέγιστο κέρδος, α π ό την π ώληση των τεσσάρων π ροϊόντων. 25

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Δραστηριότητες κατανομής : Δραστηριότητα 1: Παραγωγή Α Δραστηριότητα 2: Παραγωγή B Δραστηριότητα 3: Παραγωγή C Δραστηριότητα 4: Παραγωγή D Μεταβλητές α π όφασης x1: π αραγωγή Α x2: π αραγωγή Β x3: π αραγωγή C X4: π αραγωγή D 26

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Περιορισμοί Αγοράς : x1 ≤ 200 x3 ≤ 160 x4 ≥ 100 Τεχνολογικοί π εριορισμοί : 2x1 + 1x2 + 2,5x3 +5x4 ≤ 1200 ( ώρες ε π εξεργασίας ) 1x1 + 3x x3 ≤ 1600 ( ώρες συναρμολόγησης ) 10x1 + 5x2 + 2 x3 +12x4≤ ( α π όθεμα σε εξέλιξη ) Φυσικοί π εριορισμοί : x1≥0 και x2≥0 και x3≥0 και x4≥0 27

Μοντελο π οίηση π ροβλήματος Max(z)=40x1+24x2+36x3+23x4 28

Μοντελο π οίηση με Excel c1c2c3c4TOTALMAX Αντικειμενική Συνάρτηση 40,0024,0036,0023,00 x1x2x3x4 Ποσότητα Προϊόντος 0,00 Περιορισμοί Μέγιστος αριθμός ωρών επεξεργασίας2,001,002,505,000,001200,00 Μέγιστος αριθμός ωρών συναρμολόγησης1,003,002,500, ,00 Μέγιστο διαθέσιμο απόθεμα σε εξέλιξη10,005,002,0012,000, ,0 0 Μέγιστη παραγωγή προϊόντος Α1,000,00 200,00 Μέγιστη παραγωγή προϊόντος C0,00 1,000,00 160,00 Ελάχιστη παραγωγή προϊόντος D0,00 1,000,00100,00 29

Ε π ίλυση με Excel 30 c1c2c3c4TOTALMAX Αντικειμενική Συνάρτηση 40,0024,0036,0023,00 x1x2x3x4 Ποσότητα Προϊόντος 100,00500,000,00100, , 00 Περιορισμοί Μέγιστος αριθμός ωρών επεξεργασίας2,001,002,505, ,0 0 Μέγιστος αριθμός ωρών συναρμολόγησης1,003,002,500, ,0 0 Μέγιστο διαθέσιμο απόθεμα σε εξέλιξη10,005,002,0012, , , 00 Μέγιστη παραγωγή προϊόντος Α1,000,00 100,00200,00 Μέγιστη παραγωγή προϊόντος C0,00 1,000,00 160,00 Ελάχιστη παραγωγή προϊόντος D0,00 1,00100,00

Αναφορά Α π άντησης 31

Αναφορά Ανάλυσης Ευαισθησίας 32

Αναφορά Ορίων 33

Ερωτήσεις 1. Πόσο θα αλλάξει το κέρδος αν π ροσθέσουμε α ) μία ώρα ε π εξεργασίας, β ) μία ώρα συναρμολόγησης και γ ) αν αυξήσουμε το κόστος α π οθέματος σε εξέλιξη κατά €1; 2. Υ π οθέτουμε ότι το συμβόλαιο για το π ροϊόν D α π αιτεί να π αραχθούν τουλάχιστον 130 μονάδες και όχι 100. Τι ε π ί π τωση θα έχει αυτή η αλλαγή στο κέρδος ; 3. Υ π οθέτουμε ότι το κέρδος ανά μονάδα π ροϊόντος C είναι 46€ και όχι 36€. Πόσο θα αλλάξει α ) η λύση, β ) το κέρδος ; 34

Ερωτήσεις 4. Η εταιρία σκέφτεται να π ροσθέσει ένα νέο π ροϊόν Ε. Το π ροϊόν αυτό χρειάζεται 2 ώρες ε π εξεργασίας, 5 ώρες συναρμολόγησης, και α π αιτεί 20€ κόστος α π οθέματος σε εξέλιξη. Το κέρδος ανά μονάδα π ροϊόντος Ε είναι 50€. Συμφέρει την εταιρία να το π αράγει ; 35

Α π αντήσεις 1 α ) Αν ο π εριορισμός για τον μέγιστο αριθμό ωρών ε π εξεργασίας αλλάξει και α π ό 1200 γίνει 1201 τότε η αντικειμενική συνάρτηση ( κέρδος ) θα αυξηθεί κατά το π οσό π ου αναφέρεται στην Σκιώδη τιμή. Δηλαδή το κέρδος θα αυξηθεί κατά 19,2. Άρα α π ό το συνολικό κέρδος θα γίνει 18319,2. 1 β ) Αν ο π εριορισμός για τον μέγιστο αριθμό ωρών συναρμολόγησης αλλάξει κατά μία μονάδα και α π ό 1600 γίνει 1601 τότε η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά 1.6 όσο είναι δηλαδή η Σκιώδης τιμή. Άρα το συνολικό κέρδος θα γίνει α π ό σε 18301,6 36

Α π αντήσεις 1 γ ) Αν ο π εριορισμός για το κόστος α π οθεμάτων σε εξέλιξη αυξηθεί κατά μία μονάδα τότε α π ό το κόστος θα γίνει Ε π ειδή η Σκιώδης τιμή είναι μηδενική το συνολικό κέρδος δεν θα αλλάξει. 37

Α π αντήσεις 2) Α π ό την ανάλυση ευαισθησίας π αρατηρούμε ότι ε π ιτρέ π εται οι 100 μονάδες να γίνουν 130 γιατί η ε π ιτρε π όμενη αύξηση είναι Οι 30 μονάδες είναι μέσα στο ε π ιτρε π τό διάστημα γι ’ αυτό και η λύση δε θα αλλάξει π αρά μόνο αν π ροστεθούν π αρα π άνω α π ό μονάδες π ροϊόντος. Ε π ομένως αν αυξήσουμε τον π εριορισμό κατά μία μονάδα, τότε το συνολικό κέρδος θα μειωθεί κατά 73. Άρα το συνολικό κέρδος για 30 μονάδες θα μειωθεί κατά 30*(73)=2190€ και θα γίνει =16110€ 38

Α π αντήσεις 3 α ) Αν αλλάξει το κέρδος ανά μονάδα π ροϊόντος C α π ό 36€ σε 46€ δηλαδή για 10€ τότε θα αλλάξει ο συντελεστής του C στην αντικειμενική. Α π ό τα ρυθμιζόμενα κελιά στην αναφορά ευαισθησίας π αρατηρούμε ότι η ε π ιτρε π όμενη αύξηση του αντικειμενικού συντελεστή είναι 16. Ε π ομένως αν αυξήσουμε τον συντελεστή κατά 10, είναι μέσα στα ε π ιτρε π τά όρια και γι ’ αυτό η λύση δεν θα αλλάξει. 3 β ) Αντιθέτως, το κέρδος θα αλλάξει γιατί άλλαξε η αντικειμενική συνάρτηση και έγινε : Μ ax Z = f(x) = 40 Χ Χ 2+46 Χ 3+23 Χ 4. Αντικαθιστώντας τα Χ 1, Χ 2, Χ 3, Χ 4 βρίσκουμε τη νέα τιμή του κέρδους. Στην συγκεκριμένη π ερί π τωση η τιμή του κέρδους δεν θα αλλάξει λόγω του ότι η τελική τιμή του Χ 3 είναι μηδέν. 39

Α π αντήσεις 4) Για να α π αντήσουμε σ ’ αυτό το ερώτημα θα π ρέ π ει π ρώτα να βρούμε ένα ευκαιριακό κόστος για το νέο π ροϊόν. Το ευκαιριακό αυτό κόστος είναι το συνολικό άθροισμα της Σκιώδους τιμής του κάθε π εριορισμού ε π ί τις αντίστοιχες μονάδες π ου α π αιτεί το νέο π ροϊόν. Δηλαδή στην συγκεκριμένη π ερί π τωση έχουμε : ΕΚ 1= ( Σκιώδης τιμή )*( Α π αιτούμενο αριθμό ε π εξεργασίας )=19.2*2 = 38.4 ΕΚ 2= ( Σκιώδης τιμή )*( Α π αιτούμενο αριθμό συναρμολόγησης )=1.6*5=8 ΕΚ 3= ( Σκιώδης τιμή )*( Α π αιτούμενο κόστος α π οθέματος σε εξέλιξη )=0*20=0 40

Α π αντήσεις  Άρα συνολικά : ΕΚ = ΕΚ 1+ ΕΚ 2+ ΕΚ 3=46,4  Το ΕΚ το συγκρίνω με το κέρδος ανά μονάδα π ροϊόντος Ε και αν είναι μικρότερο τότε έχουμε κέρδος άρα συμφέρει την εταιρία ενώ εάν είναι μεγαλύτερο τότε δεν έχουμε κέρδος και δεν συμφέρει την εταιρία να το π αράγει. Στην συγκεκριμένη π ερί π τωση π αρατηρώ ότι 46.4<50. Άρα την εταιρεία την συμφέρει να π αράγει αυτό το νέο π ροϊόν. Βέβαια το π ρόβλημα π ρέ π ει να διατυ π ωθεί α π ό την αρχή με το νέο π ροϊόν και να λυθεί ξανά για να βρεθεί η π οσότητα του π ροϊόντος E π ου π ρέ π ει να π αραχθεί. 41

Παράδειγμα 8 Η εταιρεία ABC π ρόκειται εκτυ π ώσει την ετήσια έκθεσή της. Τρία τυ π ογραφεία έχουν υ π οβάλει π ροσφορά για την ανάθεση της εκτύ π ωσης. Το τυ π ογραφείο Lakeside Printing π ροσφέρει εξαιρετικής π οιότητας εκτύ π ωσης, και μόνο το 0,5% των εκτυ π ωμένων εκθέσεων του π αρελθόντος είχε α π ορριφθεί για π οιοτικούς λόγους. Το τυ π ογραφείο Johnson Printing π ροσφέρει λίγο χαμηλότερης π οιότητας εκτύ π ωσης, στο π αρελθόν 1% των εκτυ π ωμένων εκθέσεων είχαν α π ορριφθεί για π οιοτικούς λόγους. Η ABC δεν έχει συνεργαστεί στο π αρελθόν με το τρίτο τυ π ογραφείο Benson Printing. Για αυτό το λόγο όρισε το π οσοστό σε 10% ελαττωματικών εκτυ π ώσεων, π ροκειμένου να γίνει η αξιολόγηση. 42

Παράδειγμα 8 Η ABC ε π ιθυμεί να π ροσδιορίσει τον αριθμό εκτυ π ώσεων π ου θα ανατεθούν σε κάθε ένα α π ό τα τρία τυ π ογραφεία π ροκειμένου να λάβει π οιοτικά α π οδεκτές εκτυ π ώσεις. Οι εκτυ π ώσεις π ου θα ανατεθούν στο Benson Printing δεν π ρέ π ει να είναι λιγότερες α π ό το 10% των εκτυ π ώσεων π ου θα ανατεθούν στο Johnson Printing. Οι εκτυ π ώσεις π ου θα ανατεθούν δε θα π ρέ π ει να υ π ερβαίνουν τις για το Benson και τις για κάθε μία α π ό τις Johnson και Lakeside. Εξαιτίας της μακρόχρονης συνεργασίας με το Lakeside, η ABC θα αναθέσει τουλάχιστον εκτυ π ώσεις στο τυ π ογραφείο. Το κόστος ανά εκτύ π ωση είναι 2,45 για το Benson, 2,50 για το Johnson και 2,75 για το Lakeside. 43

Παράδειγμα 8 1. Διατυ π ώστε ένα μοντέλο γραμμικού π ρογραμματισμού το ο π οίο να π ροσδιορίζει τις εκτυ π ώσεις π ου θα ανατεθούν σε κάθε τυ π ογραφείο, εξασφαλίζοντας α π οδεκτές εκτυ π ώσεις με το ελάχιστο κόστος 2. Η ABC ε π ιθυμεί να μεταβάλει τον ελάχιστο αριθμό εκτυ π ώσεων π ου π ρέ π ει να ανατεθούν στο Lakeside. Θα ε π ηρεαστεί η βέλτιστη λύση και αν ναι με π οιο τρό π ο ; Πόσο θα αλλάξει το κόστος αν αυξήσει τον ελάχιστο αριθμό κατά 1000 εκτυ π ώσεις. 3. Πόσο θα αλλάξει το κόστος αν αυξήσει τον ελάχιστο αριθμό εκτυ π ώσεων κατά 1500 εκτυ π ώσεις α ) για την Benson, b) για την Johnson; 44

Παράδειγμα 8 1. Υ π οθέτουμε ότι το κόστος ανά εκτύ π ωση για την Benson είναι 5.45€ και όχι 2.45€. Θα ε π ηρεαστεί η βέλτιστη λύση ; 2. Υ π οθέτουμε ότι το κόστος ανά εκτύ π ωση για την Lakeside είναι 5.75€ και όχι 2.75€. Θα ε π ηρεαστεί η βέλτιστη λύση ; Πόσο θα είναι το κόστος ; 45

Παράδειγμα 9 Η εταιρεία Battery Inc. κατασκευάζει ε π αναφορτιζόμενες μ π αταρίες και έχει αναλάβει την π αραγωγή τριών διαφορετικών τύ π ων μ π αταρίας λιθίου. Οι π οσότητες π ου π ρέ π ει να π αραλάβει η Battery Inc. α π ό τα εργοστάσιά της είναι μ π αταρίες PT100, μ π αταρίες PT200 και μ π αταρίες PT300. Υ π άρχουν δύο εργοστάσια, ένα στο Μεξικό και ένα στις Φιλι ππ ίνες. Το κόστος α π οστολής α π ό το Μεξικό είναι 0.10€ ανά μονάδα και α π ό τις Φιλι ππ ίνες 0.18 € ανά μονάδα. 46

Παράδειγμα 9 Οι διαφορές στα εγκατεστημένα μηχανήματα και το κόστος εργασίας διαφορο π οιούν το κόστος π αραγωγής στα δύο εργοστάσια, ως εξής : Η δυναμικότητα π αραγωγής μ π αταριών PT100 και PT200 στις Φιλι ππ ίνες είναι π εριορισμένη στις μονάδες και στο Μεξικό στις μονάδες. Η δυναμικότητα π αραγωγής της PT300 είναι π εριορισμένη στις στις Φιλι ππ ίνες και στο Μεξικό. 47 Τύπος ΜπαταρίαςΦιλιππίνεςΜεξικό PT PT PT

Παράδειγμα 9 1. Ανα π τύξτε ένα π ρόγραμμα γραμμικού π ρογραμματισμού για τον π ροσδιορισμό των π οσοτήτων των τριών μ π αταριών π ου θα π αραχθούν σε κάθε εργοστάσιο ελαχιστο π οιώντας το συνολικό κόστος (π αραγωγής και α π οστολής ) 2. Πώς θα π ρέ π ει να μεταβληθεί το κόστος π αραγωγής ή το κόστος α π οστολής π ροκειμένου να είναι συμφέρουσα η π αραγωγή π ερισσότερων μονάδων PT100 στο εργοστάσιο στις Φιλι ππ ίνες ; 3. Πώς θα π ρέ π ει να μεταβληθεί το κόστος π αραγωγής ή το κόστος α π οστολής π ροκειμένου να είναι συμφέρουσα η π αραγωγή π ερισσότερων μονάδων PT200 στο εργοστάσιο στο Μεξικό ; 48

Βιβλιογραφία  Πραστάκος Γ. (2006) Διοικητική Ε π ιστήμη : Λήψη Ε π ιχειρησιακών Α π οφάσεων στην Κοινωνία της Πληροφορίας  Anderson D. R., Sweeney D.J., Williams T.A. and Martin K., Διοικητική Ε π ιστήμη : Ποσοτικές μέθοδοι για τη λήψη ε π ιχειρηματικών α π οφάσεων, Ε π ιστημονική Ε π ιμέλεια Κωνσταντάρας Ι., Χατζούδης Δ., Εκδόσεις Κριτική. 49