 Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών είναι το θεώρημα που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται ένα συγκεκριμένο πείραμα, όταν ο αριθμός των επαναλήψεων είναι μεγάλος.  Συμφώνα με το Νόμο αυτό, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων θα είναι κοντά στην αναμενόμενη τιμή και θα τείνει να πλησιάζει σ’αυτή περισσότερο όσο αυξάνεται ο αριθμός των δοκιμών.

 Αν ρίξουμε ένα ζάρι η πιθανότητα να έρθει ένας από τους αριθμούς 1 έως 6 είναι:  Στο παραπάνω παράδειγμα ο νόμος των μεγάλων αριθμών ορίζει πως ο μέσος όρος των τιμών τους είναι πιθανό να είναι κοντά στο 3.5. Η ακρίβεια αυξάνεται όσο αυξάνονται οι δοκιμές. Ζάρι

“ Δίκαιο Νόμισμα ”  Κατά τον ίδιο τρόπο, όταν ρίξουμε ένα δίκαιο νόμισμα μια φορά, η αναμενόμενη τιμή του αριθμού των κεφαλών είναι ίση με 1/2.  Έτσι σύμφωνα με τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών το ποσοστό των κεφαλών σε ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων θα πρέπει να είναι περίπου το μισό.  Συγκεκριμένα, το ποσοστό των κεφαλών μετά από n ρίψεις είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα συγκλίνει στο ήμισυ, καθώς το n θα πλησιάζει στο άπειρο.

 mons/9/93/Lawoflargenumbersanimation.gif mons/9/93/Lawoflargenumbersanimation.gif  Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα νόμισμα του οποίου κάθε πλευρά έχει διαφορετικό χρώμα, κόκκινο ή μπλε. Ρίχνοντας το νόμισμα κάθε φορά βάζουμε μια τελεία του αντιστοίχου χρώματος στην κατάλληλη στήλη. Το διάγραμμα δείχνει το ποσοστό της κόκκινης και της μπλε πλευράς. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στην αρχή το ποσοστό διαφέρει ενώ στο τέλος πλησιάζει το 50%. Νόμισμα

 Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών εξασφαλίζει σταθερά μακροπρόθεσμα αποτελέσματα για τυχαία γεγονότα. Ωστόσο, ισχύει μόνο όταν λαμβάνεται υπόψη ένας μεγάλος αριθμός παρατηρήσεων.

 Ένα καζίνο μπορεί να χάσει χρήματα σε ένα μόνο γύρισμα του τροχού της ρουλέτας. Τα κέρδη του όμως θα τείνουν προς ένα προβλέψιμο ποσοστό πάνω από έναν μεγάλο αριθμό περιστροφών.

Ασθενής Νόμος  Ο Ασθενής Νόμος των Μεγάλων Αριθμών αναφέρει ότι ο μέσος όρος του δείγματος συγκλίνει στην πιθανότητα προς την αναμενόμενη τιμή.

Ισχυρός Νόμος  Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών αναφέρει ότι ο μέσος όρος του δείγματος συγκλίνει σχεδόν σίγουρα με την αναμενόμενη τιμή.

Ασθενής Νόμος  Ο Ασθενής Νόμος ορίζει ότι για συγκεκριμένο, μεγάλο n, η μέση τιμή X n είναι πιθανό να είναι κοντά στο μ. Έτσι, αφήνει ανοιχτή την πιθανότητα ότι το | X n -μ|> ε συμβαίνει άπειρες φορές.

 Ο Ισχυρός Νόμος δείχνει ότι είναι σχεδόν σίγουρο ότι δεν θα συμβεί. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι με πιθανότητα 1, έχουμε ότι για κάθε ε>0 η ανισότητα | X n -μ|< ε ισχύει για όλες τις αρκετά μεγάλες τιμές του n. Ισχυρός Νόμος

Ιστορικά στοιχεία: Στα 1738 ο Abraham De Moivreτ απόδειξε το οριακό θεώρημα, και μόλις στις αρχές του 20 ου αιώνα ο Aleksandr Lyapunov αποδείξε το Κ.Ο.Θ. (είχαν ροηγηθεί και άλλες γενικεύσεις του οριακού θεωρήματος των De Moivre- Laplace από τους Chebysev και Markov). Μάλιστα, το οριακό θεώρημα των De Moivre-Laplace προέκυψε – όπως και το οριακό θεώρημα Poisson - από την ανάγκη αντιμετώπισης των δυσκολιών που παρουσιάζονται στον υπολογισμό πιθανοτήτων της Διωνυμικής κατανομής. Συμπέρασμα: Οι κατανομές Poisson και Κανονική, προκύπτουνα από την ανάγκη να λύθούν προβ΄λήματα που η δυωνμική δεν μπορούσε να αντιμετωπίσει De Moivre The Doctrine of ChancesThe Doctrine of Chances

Η αρχική έκφραή Πόρισμα Αν από έναν πληθυσμό που ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2, επιλέξουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n και υπολογίσουμε τους μέσους τους, τότε, για μεγάλα n (θεωρητικά n →∞) η κατανομή αυτών των μέσων (των δειγματικών) είναι κατά προσέγγιση κανονική κατανομή με μέση τιμή επίσης μ και διασπορά σ 2 / n. Απόδειξη

Το μοντέλο Η διαχείριση του προβλήματος Οι παρaγόμενοι ηλεκτροκινητήρες έχουν μέσο βάρος μ = 50 kgr με τυπική απόκλιση σ = 10 kgr. Η παραγωγή των ηλεκτροκινητήρων προωθείται στην αγορά σε εμπορευματοκιβώτια. Σε κάθε εμπορευματοκιβώτιο τοποθετούνται 400 ηλεκτροκινητήρες τυχαία επιλεγμένοι. Μπορούμε να υπολογίσουμε ποιο ποσοστό (κατά προσέγγιση)των εμπορευματοκιβωτίων περιέχει ηλεκτροκινητήρες με μέσο βάρος: α) μεγαλύτερο των kgr και β) μικρότερο των 49 kgr;

Πόρισμα  Αν από έναν πληθυσμό που ακολουθεί οποιαδή-ποτε κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2, επιλέξουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n και υπο-λογίσουμε το άθροισμα των παρατηρήσεων κάθε δείγματος, τότε για μεγάλα n (θεωρητικά n →∞) η κατανομή αυτών των αθροισμάτων είναι κατά προσέγγιση κανονική κατανομή με μέση τιμή n μ και διασπορά n σ 2, δηλαδή, αν συμβολίσουμε με S n την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει αυτά τα αθροίσματα, τότε κατά προσέγγιση S n ~ N( n μ, n σ 2 ).

Άθροισμα των τιμών του δείγματος S n Διαχείριση του μοντέλου Η ποσότητα ραδιενέργειας που δέχεται κάθε ημέρα κάποιος εργαζόμενος σε ένα εργοστάσιο είναι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 0,1 και τυπική απόκλιση 0,01. Ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσό ραδιενέργειας που θα δεχθεί ο εργαζόμενος σε 100 ημέρες να ξεπερνάει την τιμή 10.,02.

Ορισμός  Η τυπική απόκλιση της κατανομής των δειγματικών μέσων ονομάζεται τυπικό σφάλμα (standard error). Παρατηρείστε ότι το τυπικό σφάλμα είναι μικρότερο από την τυπική απόκλιση σ της Χ. Δηλαδή, η μεταβλητότητα των δειγματικών μέσων είναι μικρότερη από τη μεταβλητότητα του πληθυσμού από τον οποίο προέρχονται. Μάλιστα, όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος, η δειγματική μεταβλητότητα (η μεταβλη- τότητα από δείγμα σε δείγμα των μέσων τιμών, δηλαδή, το ) ελαττώνεται.

Βιβλία και και επιστημονικά Περιοδικά Διαδίκτυο