Μοναδιαίο υδρογράφημα Αρχές και ορισμοί Ανάλυση βροχόπτωσης-απορροής με τη χρήση της προσέγγισης του μοναδιαίου υδρογραφήματος Σχήμα 1. Η έννοια της περίσσειας βροχόπτωσης. Η διαφορά ανάμεσα στο υετόγραμμα στα αριστερά και στο υετόγραμμα της ολικής περίσσειας βροχόπτωσης στα δεξιά αποτελεί τις αφαιρέσεις (διηθήσεις).

Σχήμα 2. Υδρογραφήματα απορροής καταιγίδας. (α) Προσομοίωση (modeling) βροχόπτωσης –απορροής, (β) Βήματα για τον προσδιορισμό της απορροής καταιγίδας.

 Ένα μοναδιαίο υδρογράφημα είναι το υδρογράφημα της άμεσης απορροής που προκαλείται από 1 mm περίσσειας βροχόπτωσης που παράγεται ομοιόμορφα σε μια περιοχή απορροής με σταθερό ρυθμό σε μια αποτελεσματική χρονική διάρκεια D.  Το μοναδιαίο υδρογράφημα είναι ένα απλό γραμμικό μοντέλο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του υδρογραφήματος που προκαλείται από οποιοδήποτε ποσό περίσσειας βροχόπτωσης.  Ένα μοναδιαίο υδρογράφημα χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα κύρια στοιχεία (Σχήμα 3):  Παροχή αιχμής, U p ;  Βασικός χρόνος t b που είναι η συνολική διάρκεια του μοναδιαίου υδρογραφήματος;  Αυξητικός χρόνος ή χρόνος αιχμής t p που είναι ο χρόνος μεταξύ του σημείου έναρξης του υδρογραφήματος και της αιχμής του;  Χρόνος συγκέντρωσης t c που είναι ο χρόνος μεταξύ του τέλους της βροχόπτωσης και του τέλους του υδρογραφήματος;  Χρόνος υστέρησης t lag που είναι ο χρόνος μεταξύ του κέντρου βάρους της βροχόπτωσης και της αιχμής του υδρογραφήματος.

Σχήμα 3 Χαρακτηριστικά του μοναδιαίου υδρογραφήματος

Οι ακόλουθες βασικές υποθέσεις είναι σύμφυτες με την προσέγγιση του μοναδιαίου υδρογραφήματος, ενώ το γραμμικό μοναδιαίο υδρογράφημα χρησιμοποιείται ως συνάρτηση μετασχηματισμού: Η περίσσεια αποτελεσματική βροχόπτωση έχει σταθερή ένταση κατά την αποτελεσματική χρονική διάρκεια. Η περίσσεια αποτελεσματική βροχόπτωση κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλη την λεκάνη απορροής. Ο βασικός χρόνος του υδρογραφήματος της άμεσης απορροής (δηλαδή, η διάρκεια της άμεσης απορροής) που προκαλείται από μια περίσσεια αποτελεσματική βροχόπτωση δεδομένης διάρκειας είναι σταθερός.

Το χαρακτηριστικά του σχήματος του μοναδιαίου υδρογραφήματος είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Γι΄αυτό η διάρκεια του μοναδιαίου υδρογραφήματος είναι σταθερή ανεξαρτήτως της έντασης της αποτελεσματικής βροχόπτωσης. Οι τεταγμένες όλων των άμεσων υδρογραφημάτων απορροής ενός κοινού βασικού χρόνου είναι ευθέως ανάλογες προς το συνολικό ποσό της άμεσης απορροής που αντιπροσωπεύεται από κάθε υδρογράφημα. Για δεδομένη υδρολογική λεκάνη, το υδρογράφημα που προκαλείται από μια δεδομένη περίσσεια βροχόπτωσης αντανακλά τα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά της υδρολογικής λεκάνης.

Η απόκριση της υδρολογικής λεκάνης στην αποτελεσματική βροχόπτωση είναι γραμμική, ενώ για μια ιδιαίτερη διάρκεια αναφοράς της αποτελεσματικής βροχόπτωσης, οι τεταγμένες του μοναδιαίου υδρογραφήματος είναι ανάλογες της βροχόπτωσης. Δηλαδή, για ορισμένη διάρκεια αναφοράς μιας αποτελεσματικής βροχόπτωσης ποσότητας P, η τεταγμένη του υδρογραφήματος της υδρολογικής λεκάνης κατά τον χρόνο t είναι P.U(t), όπου U(t) είναι η τεταγμένη του μοναδιαίου υδρογραφήματος κατά το χρόνο t (Σχήμα 4). Η ιδιότητα αυτή καλείται αναλογικότητα (proportionality).

Σχήμα 4 Υπόθεση γραμμικότητας του μοναδιαίου υδρογραφήματος

Oσον αφορά μια αποτελεσματική βροχόπτωση, αυτή συνίσταται από n τμήματα ίσης διάρκειας αναφοράς, καθένα από αυτά έχει διαφορετικό ύψος βροχόπτωσης P(t), το προκύπτον υδρογράφημα λαμβάνεται μέσω της άθροισης των επί μέρους υδρογραφημάτων τα οποία μετακινούνται με τη διάρκεια αναφοράς όπως δείχνει το σχήμα 5. Η αρχή αυτή, χρησιμοποιείται στην περίπτωση σύνθετης βροχόπτωσης, και καλείται αρχή της επαλληλία (superposition) ή αρχή της προσθετικότητας (additivity principle) και η διαδικασία για τον υπολογισμό του υδρογραφήματος που προκύπτει από μια σύνθετη αποτελεσματική βροχόπτωση είναι γνωστή ως μέθοδος συνέλιξης (convolution). Αναλογικότητα και προσθετικότητα προσδίδουν στο μοναδιαίο υδρογράφημα την ιδιότητα της γραμμικότητας (linearity). Σύμφωνα με αυτήν την αρχή ο υπολογισμός του ολικού υδρογραφήματος παράγεται από μια σύνθετη αποτελεσματική βροχόπτωση, έχοντας σαν παράδειγμα τα τρία τμήματα βροχόπτωσης P 1, P 2, και P 3, και λαμβάνονται όπως δείχνει ο πίνακας 1, οκτώ τεταγμένες U 1, U 2, U 3,.. U 8 του μοναδιαίου υδρογραφήματος, κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί σε μια από τις υπό θεώρηση τετμημένες 1t, 2t, 3t,..., 8t.

Σύμφωνα με την αρχή της αναλογικότητας, στην πρώτη γραμμή του Πίνακα 1 το υδρογράφημα προκύπτει από την περίσσεια του πρώτου τμήματος της αποτελεσματικής βροχόπτωσης. Στη συνέχεια το υδρογράφημα προκύπτει από το δεύτερο τμήμα της βροχόπτωσης το οποίο μετακινείται κατά το διάστημα t (επειδή το δεύτερο τμήμα της αποτελεσματικής βροχόπτωσης αρχίζει κατά την αρχή του χρόνου 2t. Η διαδικασία λήψης των μερικών υδρογραφημάτων προκύπτει από τα τμήματα της συνεχιζόμενης βροχόπτωσης και οι τεταγμένες αυτών των υδρογραφημάτων προστίθενται για να προκύψει το τελικό υδρογράφημα. Aμεταβλητότητα, αναλογικότητα και επαλληλία (προσθετικότητα) είναι θεμελιώδεις αρχές της γραμμικότητας της μεθόδου του μοναδιαίου υδρογραφήματος και πρέπει να εξετάζονται με ιδιαίτερη προσοχή επειδή δεν ικανοποιούνται σε όλες τις περιπτώσεις. Για παράδειγμα, οι μικρές λεκάνες έχουν διαφορετικά μοναδιαία υδρογραφήματα σύμφωνα με την ένταση της βροχόπτωσης. Oσο μεγαλύτερη είναι η ένταση της βροχόπτωσης, τόσο μικρότερος είναι ο βασικός χρόνος και τόσο μεγαλύτερη είναι η παροχή αιχμής των μοναδιαίων υδρογραφημάτων. η γραμμικότητα δεν είναι πάντα διασφαλισμένη, ιδιαίτερα σε αστικές περιοχές.

Σχήμα 5 Αρχή της επαλληλίας (superposition)

Time1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t P 1.U(t)P1.U1P1.U1 P1.U2P1.U2 P1.U3P1.U3 P1.U4P1.U4 P1.U5P1.U5 P1.U6P1.U6 P1.U7P1.U7 P1.U8P1.U8 Ρ 2.U(t) P2.U1P2.U1 P2.U2P2.U2 P2.U3P2.U3 P2.U4P2.U4 P2.U5P2.U5 P2.U6P2.U6 P2.U7P2.U7 P2.U8P2.U8 Ρ 3.U(t) P3.U1P3.U1 P3.U2P3.U2 P3.U3P3.U3 P3.U4P3.U4 P3.U5P3.U5 P3.U6P3.U6 P3.U7P3.U7 P3.U8P3.U8 Σύνολο Τεταγμένων Υδρογραφήματο ς P1.U1P1.U1 P1.U2+P2.U1P1.U2+P2.U1 P1.U3+P2.U2+P3.U1P1.U3+P2.U2+P3.U1 P1.U4+P2.U3+P3.U2P1.U4+P2.U3+P3.U2 P1.U5+P2.U4+P3.U3P1.U5+P2.U4+P3.U3 P1.U6+P2.U5+P3.U4P1.U6+P2.U5+P3.U4 P1.U7+P2.U6+P3.U5P1.U7+P2.U6+P3.U5 P1.U8+P2.U7+P3.U6P1.U8+P2.U7+P3.U6 P2.U8+P3.U7P2.U8+P3.U7 P3.U8P3.U8 Πίνακας 1. Εφαρμογή της μεθόδου συνέλιξης (convolution method)

Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται deconvolution (αποσυνέλιξη) και χρησιμοποιείται για να παράξει ένα μοναδιαίο υδρογράφημα όταν δίνονται τα δεδομένα P m και Q n. Υποθέτουμε την ύπαρξη Μ παλμών (pulses) ή διαστημάτων περίσσειας βροχόπτωσης και Ν παλμών (pulses) άμεσης απορροής κατά την υπό θεώρηση καταιγίδα: Τότε μπορούν να γραφούν Ν = L+M-1 εξισώσεις για Q n, n = 1, 2..., Ν, όπως δείχνει ο πίνακας 2. Mε L συμβολίζεται ο αριθμός των τεταγμένων μοναδιαίου υδρογραφήματος. Στο παράδειγμα 1 Μ = 4 και L = 6. Ο αριθμός των τεταγμένων άμεσης απορροής είναι για το παράδειγμα 1: N=L+M-1=6+4-1=9. Όταν προσδιοριστεί το μοναδιαίο υδρογράφημα, αυτό μπορεί να εφαρμοστεί για να βρούμε τα άμεσα υδρογραφήματα απορροής και παροχής υδρορρεύματος για τα δεδομένα μιας ορισμένης καταιγίδας. Όταν έχει επιλεγεί ένα υετόγραμμα βροχόπτωσης, οι απώλειες αφαιρούνται για να καθορίσουμε το υετογράφημα της περίσσειας βροχόπτωσης. Το χρησιμοποιούμενο χρονικό διάστημα για τον καθορισμό των τεταγμένων του υετογράμματος περίσσειας βροχόπτωσης πρέπει να είναι το ίδιο όπως ακριβώς εκείνο του μοναδιαίου υδρογραφήματος.

Γενικά, οι τεταγμένες Q n του μοναδιαίου υδρογραφήματος (κατά τη χρονική στιγμή n) που παράγεται από μια αποτελεσματική βροχόπτωση που αποτελείται από επί μέρους τμήματα P n βροχόπτωσης ίδιας χρονικής διάρκειας t, δίνονται από τις σχέσεις του Πίνακα 2: Πίνακας 2. Το σύνολο των εξισώσεων για συνέλιξη (Convolution) διακριτού χρόνου

Πίνακας 3. Εφαρμογή της μεθόδου συνέλιξης (convolution) καθώς (U 4 = 0) ( καθώς U 9 = 0)* * *(Ο συνολικός αριθμός τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος είναι N-M+1, έτσι =8 )

Γενικά, χρησιμοποιείται η ακόλουθη εξίσωση διακριτής συνέλιξης (convolution) για τον υπολογισμό των τεταγμένων του υδρογραφήματος άμεσης απορροής Q n (Πίνακας 2) δεδομένων των τιμών περίσσειας βροχόπτωσης P m και των τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος U n-m+1 (Chow et al., 1988): όπου n παριστάνει το χρονικό διάστημα του υδρογραφήματος άμεσης απορροής και m παριστάνει το χρονικό διάστημα βροχόπτωσης (m = 1, ….., n).

Παραγωγή μοναδιαίου υδρογραφήματος Η εξίσωσης διακριτής συνέλιξης (convolution) επιτρέπει τον προσδιορισμό των τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος, μιας ορισμένης διάρκειας αναφοράς, βασιζόμενοι στο καταγεγραμμένο υετογραμμα αποτελεσματικής βροχόπτωσης και του προκαλούμενου υδρογραφήματος παροχής. Η διαδικασία αυτή καλείται «αποσυνέλιξη» ("deconvolution") (Chow et al., 1988; Serban & Simota, 1983). Υποθέτοντας την ύπαρξη M παλμών αποτελεσματικής βροχόπτωσης Ρ i, i = 1,…, M (ο αριθμός των τμημάτων βροχόπτωσης ίσης διάρκειας t) και N παλμών άμεσης απορροής Q j, j = 1,….,N (αριθμός των τεταγμένων του υδρογραφήματος πλημμυρικού κύματος). Παρατηρείται ότι ο αριθμός των τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος είναι N U = N - M + 1 και ότι μπορούν να γραφούν N εξισώσεις για Q j, (j = 1, 2, , N), με όρους N - M + 1 άγνωστες τιμές του μοναδιαίου υδρογραφήματος, όπως παρουσιάζεται στο παράδειγμα του Πίνακα 1.

Περαιτέρω, οι τεταγμένες του μοναδιαίου υδρογραφήματος μπορούν να παραχθούν αρχίζοντας από την πρώτη εξίσωση του συστήματος και συμπεριλαμβάνοντας μέχρι και την όγδοη εξίσωση (Μέθοδος προοδευτικής προς τα εμπρός αντικατάστασης) (Method of substitution forwards) με N U = 8 ή αρχίζοντας με από την 10 η εξίσωση του ίδιου συστήματος και συμπεριλαμβάνοντας προς τα πίσω μέχρι και την τρίτη εξίσωση (Μέθοδος αντικατάστασης προς τα πίσω) με N U = 8. Με βάση τον πίνακα 3 λαμβάνουμε:

Χρόνος (h) Κατακρημνίσματα(in)0,51,01,50,5 Μοναδιαίο υδρογράφημα (cfs) Παράδειγμα 1 Στον πίνακα 3, δίνεται το μοναδιαίο υδρογράφημα 1-ώρας για μια υδρολογική λεκάνη. Να προσδιορίσετε την απορροή από την υδρολογική αυτή λεκάνη για το δεδομένο πρότυπο καταιγίδας. Οι απώλειες (abstractions) έχουν ένα σταθερό ρυθμό 0,3 in/h. Πίνακας 3. Mοναδιαίο υδρογράφημα 1-ώρας για μια υδρολογική λεκάνη. Ven Te ChowVen Te Chow, David R. Maidment, and Larry W. Mays (1988). Applied Hydrology (Civil Engineering). McGraw-Hill, New York. Πίνακας 4. Υπολογισμός του υδρογραφήματος άμεσης απορροής.

Aσκηση για το σπίτι Να προσδιορίσετε το μοναδιαίο υδρογράφημα 1-ώρας για μια υδρολογική λεκάνη χρησιμοποιώντας το πρότυπο βροχόπτωσης και το υδρογράφημα απορροής του πίνακα. Οι αφαιρέσεις έχουν ένα σταθερό ρυθμό της τάξης του 0,3 in/hr και η βασική ροή είναι 0 cfs.