ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 5 η : Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη: Εφαρμογή της Α.Δ.Ε. – προσδιορισμός γραμμών επιρροής – η κινηματική μέθοδος. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Άσκηση 1 (υπολογισμός Β y ) Έστω η δοκός του σχήματος. Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός των Β y, M Γ και Q Δ με την εφαρμογή της Α.Δ.Ε. Για τον υπολογισμό της Β y : Αρχικά, αφαιρείται η κύλιση και επιβάλλεται (για την αποκατάσταση της ισορροπίας) η αντίδραση Β y. Ακολούθως, εξετάζεται το μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει. Μέσω της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται: 2

Άσκηση 1 (υπολογισμός M Γ ) Για τον υπολογισμό της Μ Γ : Αρχικά, τοποθετείται εσωτερική άρθρωση στο σημείο Γ και επιβάλλεται (για την αποκατάσταση της ισορροπίας) η διπλή ροπή. Ακολούθως, εξετάζεται το μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει. Μέσω της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται: 3

Άσκηση 1 (υπολογισμός Q Δ ) Για τον υπολογισμό της Q Δ : Αρχικά, αφαιρείται η ράβδος που μεταβιβάζει την τέμνουσα από το σημείο Δ (απομένουν δύο παράλληλες ράβδοι) και επιβάλλεται (για την αποκατάσταση της ισορροπίας) η διπλή Q Δ. Ακολούθως, εξετάζεται το μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει. Μέσω της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η Q Δ είναι μια διπλή δύναμη. Στην πραγματικότητα οι δυνάμεις Q Δ του σχήματος είναι συνευθειακές. 4

Άσκηση 2 (υπολογισμός Β y ) Έστω η δοκός του σχήματος. Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός της Β y. Μέσω της γνωστής πλέον διαδικασίας και με τη χρήση της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται η Β y : 5

Άσκηση 2 (συνέχεια) Η τελευταία σχέση υπολογισμού της Β y θα μπορούσε να γραφτεί και με την παρακάτω μορφή: Όπου P i είναι γενικευμένη δύναμη και δ i η εργικά αντίστοιχη γενικευμένη μετακίνηση. ‘Εστω τώρα, ότι θεωρείται μια αυθαίρετη τιμή για το ω, πράγμα που δεν έχει σημασία αφού έτσι κι αλλιώς απλοποιείται. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έστω ότι ω=1/4. Τότε η πιο πάνω σχέση γράφεται: Όπου τα n i προέρχονται από τα δ i αφού πολλαπλασιαστούν με το 1/4. 6

Άσκηση 2 (γραμμές επιρροής) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η τελευταία σχέση είναι ουσιαστικά ίδια με εκείνη που χρησιμοποιείται για την αποτίμηση των γραμμών επιρροής (γ.ε.). Δηλαδή, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, για ω=1/4 τα n i γίνονται οι τεταγμένες της γ.ε. [Β y ] του συγκεκριμένου φορέα. Επομένως, οι γ.ε. μπορούν να προσδιορίζονται με τη συγκεκριμένη διαδικασία που ονομάζεται κινηματική μέθοδος. Άρα, για την εύρεση της [Β y ] αφαιρείται η κύλιση στο Β και προστίθεται (για την αποκατάσταση της ισορροπίας) η Β y. Προσδιορίζεται η εργικά αντίστοιχη μετακίνηση u Β, τοποθετείται ίση με τη μονάδα και με φορά αντίθετη της Β y. Έτσι προκύπτει η γ.ε. [Β y ]. 7

Διαδικασία εύρεσης γ.ε. με την κινηματική μέθοδο Έστω ότι ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός της γ.ε. κάποιου μεγέθους έντασης (εσωτερικού ή εξωτερικού) σε ένα φορέα. 1.Αφαιρείται η ράβδος που μεταφέρει το συγκεκριμένο μέγεθος έντασης. 2.Αντιστοιχίζεται το συγκεκριμένο μέγεθος έντασης σε μια από τις έξι κατηγορίες γενικευμένων δυνάμεων. 3.Προσδιορίζεται το εργικά αντίστοιχο μέγεθος γενικευμένης μετακίνησης. 4.Για το μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει υπολογίζεται ο σχηματισμός των πόλων. 5.Προκαλείται στο μονοκινητό σύστημα η εργικά αντίστοιχη αρνητική μοναδιαία μετακίνηση. 6.Υπολογίζεται η γραμμή των βυθίσεων που αντιστοιχεί στη διεύθυνση του κινούμενου μοναδιαίου φορτίου, η οποία είναι και η ζητούμενη γραμμή επιρροής. 8

Εφαρμογή της κινηματικής μεθόδου υπολογισμού των γ.ε. για την αμφιέρειστη δοκό (1) Έστω η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος. Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός των γ.ε. [Α y ], [Β y ], [M x ] και [Q x ]. Για τον υπολογισμό της [A y ]: Αφαιρείται η κατακόρυφη δεσμική ράβδος της άρθρωσης και επιβάλλεται η αντίδραση Α y. Εργικά αντίστοιχο μέγεθος της απλής δύναμης είναι η μετακίνηση. Στο μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει υπολογίζεται ο σχηματισμός των πόλων και προκαλείται η εργικά αντίστοιχη αρνητική μοναδιαία μετακίνηση. Έτσι έχει υπολογιστεί η [Α y ]. Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζεται και η [Β y ]. 9

Εφαρμογή της κινηματικής μεθόδου υπολογισμού των γ.ε. για την αμφιέρειστη δοκό (2) Για τον υπολογισμό της [M x ]: Εισάγεται στο σημείο x εσωτερική άρθρωση και επιβάλλεται η διπλή ροπή Μ x. Εργικά αντίστοιχο μέγεθος είναι η αμοιβαία γωνία στροφής των δίσκων. Στο μονοκινητό σύστημα υπολογιζεται ο σχηματισμός των πόλων και προκαλείται η αρνητική μοναδιαία γωνία στροφής. Έτσι, έχει υπολογιστεί η [Μ x ]. Μάλιστα αποδεικνύεται η γνωστή χαρακτηριστική τιμή της γ.ε. στο x: 10

Εφαρμογή της κινηματικής μεθόδου υπολογισμού των γ.ε. για την αμφιέρειστη δοκό (3) Για τον υπολογισμό της [Q x ]: Αφαιρείται από το σημείο x η ράβδος που μεταβιβάζει την τέμνουσα και επιβάλλεται η διπλή δύναμη Q x. Εργικά αντίστοιχο μέγεθος είναι η αμοιβαία μετακίνηση των σημείων όπου εφαρμόζεται η δύναμη. Στο μονοκινητό σύστημα προσδιορίζεται ο σχηματισμός των πόλων και επιβάλλεται η αρνητική μοναδιαία εργικά αντίστοιχη μετακίνηση. Έτσι, υπολογίζεται η [Q x ]. 11