Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων Γεωμορφολογία Τοπογραφία Ενότητα 8: Μέτρηση γωνιών Γρηγόριος Βάρρας Αν. Καθηγητής Άρτα, Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Χρηματοδότηση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Ηπείρου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ Στην Τοπογραφία χρησιμοποιούνται δύο είδη γωνιών: 1)Tις οριζόντιες γωνίες, που στην πραγματικότητα είναι δίεδρες γωνίες δύο κατακόρυφων επιπέδων. 2)Tις κατακόρυφες γωνίες διευθύνσεων από ένα οριζόντιο επίπεδο. Οι κατακόρυφες γωνίες μετρούνται πάντα από το οριζόντιο επίπεδο μέχρι τη θέση της διεύθυνσης.  Πολλά τοπογραφικά όργανα, όπως τα θεοδόλιχα, μετρούν τις ζενίθιες αποστάσεις, αντί για τις κατακόρυφες γωνίες. Η ζενίθια απόσταση μιας ευθυγραμμίας είναι η γωνία, που σχηματίζει αυτή με την κατακόρυφο του τόπου που είναι η αρχή της ευθυγραμμίας. 4 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΠΥΞΙΔΑ  Η πυξίδα χρησιμοποιείται μόνο για μετρήσεις οριζόντιων γωνιών. Από την περιγραφή του οργάνου, γνωρίζουμε ότι μετρά αζιμούθιες γωνίες, δηλαδή γωνίες, που σχηματίζουν οι ευθυγραμμίες με τη διεύθυνση του μαγνητικού βορρά. 5 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΠΥΞΙΔΑ Η πυξίδα τοποθετείται έτσι ώστε μέσα από το φακό να φαίνεται σε ευθυγραμμία η κατακόρυφη χαραγή που υπάρχει στο αντιδιαμετρικό στέλεχος, και το ακόντιο που τοποθετήθηκε στο σκοπευόμενο σημείο. Σε αυτή τη θέση βλέπουμε ταυτόχρονα, μέσα από το φακό, την ένδειξη του μαγνητικού δίσκου. Η ένδειξη αυτή μας δίνει απ’ ευθείας την αζιμούθια γωνία της σκοπευόμενης διεύθυνσης. 6 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΠΥΞΙΔΑ  Οι υποδιαιρέσεις της πυξίδας είναι ανά βαθμό. Αυτό είναι ένα μειονέκτημα του οργάνου, αφού παρέχει μικρή ακρίβεια μετρήσεων. Υπάρχει, όμως, το πλεονέκτημα, του μικρού όγκου και βάρους, ώστε να μεταφέρεται εύκολα σε όλες τις θέσεις. 7 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΚΛΙΣΙΜΕΤΡΟ  Το κλισίμετρο μετρά μόνο κατακόρυφες γωνίες. Δηλαδή μετρά τις γωνίες διευθύνσεων ως προς ένα οριζόντιο επίπεδο, το οποίο διέρχεται από το σημείο αρχής τους.  Το κλισίμετρο είναι πολύ εύχρηστο όργανο, ελαφρύ και μικρό, αλλά παρέχει πολύ μικρή ακρίβεια μετρήσεων. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν χρησιμοποιείται σε ακριβείς αποτυπώσεις, αλλά μόνο σε εργασίες, που δεν απαιτούν μεγάλη ακρίβεια. 8 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΚΛΙΣΙΜΕΤΡΟ Σκόπευση με κλισίμετρο 9 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ Σκόπευση με κλισίμετρο Στο επάνω άκρο του κλισιμέτρου υπάρχει ένας δακτύλιος. Ο δακτύλιος είναι αρθρωτός, ώστε να επιτρέπει τις ελεύθερες περιστροφές του οργάνου, για να εξασφαλίζεται η κατακόρυφη θέση του. Τοποθετούμε το σώμα μας έτσι ώστε το μάτι μας να βρίσκεται στην κατακόρυφο του τόπου Α (αρχή της ευθυγραμμίας). Τοποθετούμε ακόντιο κατακόρυφα στο σημείο Β (τέλος ευθυγραμμίας). Σκοπεύουμε το ακόντιο φροντίζοντας να κοιτάζουμε με κλίση ίση με αυτή του εδάφους. Η σκόπευση πρέπει να γίνει στο ύψος του ακοντίου ακριβώς ίσο με αυτό του ματιού μας. 10 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΟΔΟΛΙΧΟ Το κατ’ εξοχήν χρησιμοποιούμενο όργανο για τις ακριβείς μετρήσεις οριζόντιων γωνιών και ζενίθιων αποστάσεων είναι το θεοδόλιχο. Βεβαίως, είναι αποδεκτό να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε Τοπογραφικό γωνιομετρικό όργανο, αλλά η χρήση της ομάδας των θεοδόλιχων θα μας δώσει τη μεγαλύτερη ακρίβεια μετρήσεων. Η «ομάδα» θεοδόλιχων συμπεριλαμβάνει και τα συμβατικά ταχύμετρα καθώς και τα ηλεκτρονικά ταχύμετρα. 11 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ  Το θεοδόλιχο και τα παρόμοια τοπογραφικά όργανα μετρούν δεξιόστροφα τη δίεδρη γωνία, που σχηματίζουν δύο κατακόρυφα επίπεδα.  Το πρώτο επίπεδο είναι το επίπεδο το οποίο ορίζει ο οριζόντιος δίσκος του οργάνου, με τη μηδενική του διεύθυνση.  Το δεύτερο επίπεδο είναι εκείνο το κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο ανήκει η διεύθυνση του σημείου που σκοπεύουμε. Με την περιστροφή της άντυγας δεν περιστρέφεται ο οριζόντιος δίσκος, συνεπώς στην τελική θέση σκόπευσης η ανάγνωση της ένδειξης του οριζόντιου δίσκου είναι η γωνία διεύθυνσης του στόχου. 12 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΖΕΝΙΘΙΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ  Το σημείο, που αποτελεί το στόχο, δεν βρίσκεται σχεδόν ποτέ στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το θεοδόλιχο. Για να μπορέσουμε να το δούμε μέσα από το τηλεσκόπιο, πρέπει να στρέψουμε το τηλεσκόπιο κατακόρυφα, γύρω από τον δευτερεύοντα άξονά του. Κατά τις περιστροφές αυτές δεν περιστρέφεται ο κατακόρυφος δίσκος. Επομένως, στην τελική θέση του τηλεσκοπίου η ένδειξη του κατακόρυφου δίσκου μας δίνει την ζενίθια απόσταση της διεύθυνσης του στόχου. 13 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ  Μέσα από το φακό ανάγνωσης των μετρήσεων γωνιών μπορούμε να διαβάσουμε την ένδειξη των γωνιών σε κάθε σκόπευση του θεοδόλιχου. Η κατασκευή είναι τέτοια ώστε να εμφανίζονται ταυτόχρονα στην ίδια σκόπευση οι ενδείξεις και των δύο δίσκων του θεοδόλιχου. Έτσι, με μια ματιά στο φακό αυτό, βλέπουμε τις μετρήσεις της ζενίθιας απόστασης (V) και της οριζόντιας γωνίας (Hz) 14 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1.ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ  ΑΔΙΑΒΑΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Όταν, όμως, μεταξύ των σημείων μεσολαβεί κάποιο αδιάβατο εμπόδιο για να επιλύσουμε το πρόβλημα υπάρχουν δύο τρόποι: Επίλυση με γεωμετρικές μεθόδους και Τριγωνομετρική επίλυση. 15 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ – 1ος ΤΡΟΠΟΣ Ζητείται η μέτρηση της απόστασης των σημείων Α και Β όταν μεσολαβεί αδιάβατο εμπόδιο, αλλά δεν εμποδίζει την ορατότητα. Α'Β'=ΑΒ. Επομένως η μέτρηση της ΑΒ ανάγεται στη μέτρηση της Α'Β', που είναι εύκολο να γίνει. 16 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ – 2ος ΤΡΟΠΟΣ ΑΒ 2 =ΑΔ 2 +ΔΒ Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ 18 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΑΤΟΤΗΤΑΣ Όταν μεταξύ των σημείων Α και Β υπάρχει ένα υψηλό εμπόδιο, που απαγορεύει την οπτική επαφή π.χ. ένα ψηλό κτίριο, τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις προηγούμενες μεθόδους. Το σχήμα ΑΒΒ'Α' είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο. Άρα είναι ΑΒ=Α'Β'. 19 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΑΠΡΟΣΠΕΛΑΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ Υπάρχει περίπτωση το ένα από τα δύο σημεία να βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε να μη μπορούμε να το προσεγγίσουμε. Τα σχηματιζόμενα τρίγωνα ΒΑΗ και ΔΖΗ είναι ορθογώνια και έχουν μια γωνία ίση, σαν κατά κορυφή. Επομένως είναι όμοια. 20 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΙΕΣ  Επέκταση ευθυγραμμίας μετά από εμπόδιο Από τα σημεία Α και Β φέρουμε τις κάθετες ΑΓ και ΒΔ προς την ΑΒ. Επεκτείνουμε την ευθυγραμμία ΓΔ, ορίζοντας δύο σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε να βρίσκονται μετά το οπτικό εμπόδιο. Στα σημεία Ε και Ζ φέρουμε δύο κάθετες προς την ΕΖ. Πάνω σε αυτές μετρούμε μήκη ΕΑ' και ΖΒ', έτσι ώστε ΕΑ'=ΖΒ'=ΑΓ=ΒΔ. 21 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΙΕΣ  Πύκνωση ευθυγραμμίας με μεσολάβηση εμποδίου Από το σημείο Α φέρουμε τυχαία ευθεία ΑΓ. Από το σημείο Γ φέρουμε την κάθετη ΓΔ προς την ΑΓ. Από το σημείο Β φέρουμε την ΒΔ κάθετη προς την ΓΔ. Στην ευθεία ΒΔ μετρούμε μήκος ΒΕ=ΑΓ. Από το σημείο Α φέρουμε την ΑΖ κάθετη προς την ΓΕ. Από τυχόν σημείο Η της ΓΕ φέρουμε κάθετη και πάνω σε αυτή μετρούμε απόσταση ΗΚ=ΑΖ. 22 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΑΠΡΟΣΠΕΛΑΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ Υπάρχει περίπτωση το ένα από τα δύο σημεία να βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε να μη μπορούμε να το προσεγγίσουμε. Τα σχηματιζόμενα τρίγωνα ΒΑΗ και ΔΖΗ είναι ορθογώνια και έχουν μια γωνία ίση, σαν κατά κορυφή. Επομένως είναι όμοια. Άρα θα ισχύει: 23 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Βιβλιογραφία Αποστολάκης Κ., Τοπογραφία, Μετρήσεις-Σφάλματα-Τριγωνισμός - Οδεύσεις - Αποτυπώσεις-Υπολογισμός Εμβαδών και Όγκων, Εκδόσεις Α. Σταμούλης, Πειραιάς, 501 σελίδες. Βλάχος Δ., Τοπογραφία, Τόμος Α’- Όργανα και Μέθοδοι Μετρήσεων, Θεσσαλονίκη, 418 σελίδες. Βλάχος Δ., Τοπογραφία, Τόμος Β’- Τοπογραφικές Χαρτογραφήσεις, Θεσσαλονίκη, 368 σελίδες. Νίκου Ν., Τοπογραφία Ι, Εκδόσεις Art of Text, Θεσσαλονίκη, 206 σελίδες. Νίκου Ν., Τοπογραφία IΙ, Θεωρία-Εφαρμογές, Εκδόσεις Γιαχούδη, Θεσσαλονίκη, 212 σελίδες. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου.. Έκδοση: 1.0, Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Μυριούνης Χρήστος Άρτα, Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου