Υπολογιστική Ρευστομηχανική Ενότητα 5: Χρονικά Μεταβαλλόμενη Διάχυση Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Γραμμικοί επιλυτές Αλγόριθμος τριδιαγώνιου πίνακα (TDMA) Line-by-line TDMA Χρονικά μεταβαλλόμενη εξίσωση διάχυσης Χρονικός όρος Όρος ροής Όρος πηγής Σύστημα διακριτών εξισώσεων

Γραμμικοί επιλυτές (1)  Θα μελετήσουμε γραμμικούς επιλυτές για δομημένα πλέγματα σε δύο διαστάσεις  Έστω μονοδιάστατη διακριτή εξίσωση γύρω από το σημείο P:

Γραμμικοί επιλυτές (2)  Γράφουμε ξανά την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό: Δίνεται μία εξίσωση όπως αυτή για κάθε σημείο του πλέγματος i = 1, 2, 3, …, N Για i = 1, c 1 =0 Επίσης, b N = 0

Αλγόριθμος τριδιαγώνιου πίνακα (TDMA) (1)  Για κάθε i σημείο του πλέγματος:  Για τα σημεία όπου υπάρχουν οριακές συνθήκες: c 1 =0; b N =0  Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για το σημείο 1 γράφουμε φ 1 = f(φ 2 ).  Αντικαθιστούμε το φ 1 στην εξίσωση για το φ 2 και το εξαλείφουμε γράφοντας φ 2 = f(φ 3 )  Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία μέχρι την Ν-οστη εξίσωση και βρίσκουμε το φ N  Αντικαθιστούμε ανάποδα και βρίσκουμε τα φ N-1 …. φ 1  Σημείωση: η μέθοδος είναι παρόμοια με τις άμεσες μεθόδους

Αλγόριθμος τριδιαγώνιου πίνακα (TDMA) (2)  Σχηματίζοντας την διαδικασία, ορίζουμε τους συντελεστές P i και Q i έτσι ώστε:  Είναι εύκολο να δειχθεί ότι: P 1 = b 1 /a 1 ; P N =0 φ N = Q N

Αλγόριθμος τριδιαγώνιου πίνακα (TDMA) (3) Διαδικασία επίλυσης: A. Στην προς τα εμπρός επανάληψη, βρίσκουμε τα P i, Q i, i=1,2…N B. Στο τέλος της διαδικασίας βρίσκουμε φ N = Q N C. Στην προς τα πίσω επανάληψη, χρησιμοποιούμε D. Συνεχίζοντας την ανάποδη επανάληψη βρίσκουμε τα φ N-1, …,φ 1 Γνωστό Άγνωστο

Χρησιμοποιείται για πολυδιάστατα προβλήματα σε δομημένα πλέγματα Υποθέτουμε ότι οι τιμές στις γραμμές σε κάθε πλευρά είναι προσωρινά γνωστές Σε κάθε γραμμή, χρησιμοποιούμε τη TDMA για να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Επαναλαμβάνουμε την λύση πάνω στις γραμμές ξανά και ξανά έως ότου να έχουμε σύγκλιση Η διεύθυνση που εφαρμόζουμε τη TDMA ονομάζεται “διάβαση TDMA (traverse)” Η διεύθυνση όπου οι γραμμές επιλύονται σειριακά ονομάζεται “Sweep” Μερικές φορές η μέθοδο ονομάζεται Line Gauss Seidel (LGS) Line-by-line TDMA (1)

Εφαρμόζουμε TDMA σε κάθε γραμμή Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο και για τις άλλες διευθύνσεις Επιλύουμε από γραμμή σε γραμμή Line-by-line TDMA (2)

Χρονικά μεταβαλλόμενη εξίσωση διάχυσης Γενική εξίσωση: Ολοκληρώνουμε στον όγκο ελέγχου και το χρονικό βήμα:

Χρονικός όρος  Γράφουμε τον όρο της χρονικής μεταβολής ως προς την τρέχουσα τιμή του (1) και μια προηγούμενη (0):  Έστω:  Άρα ο χρονικός όρος γίνεται:

Όρος ροής Έστω το ολοκλήρωμα του όρου ροής: Γράφουμε τον όρο ως : Για την ολοκλήρωση υποθέτουμε ότι ο όρος της ροής μεταβάλλεται γραμμικά σε κάθε χρονικό βήμα:

Όρος πηγής Υπολογίζουμε: Το χωρικό κομμάτι προσεγγίζεται ως: Επίσης, υποθέτουμε ότι οι όροι πηγής μεταβάλλονται γραμμικά σε κάθε χρονικό βήμα:

Σύστημα διακριτών εξισώσεων Διώχνουμε τους εκθέτες (1) Προσοχή στις παλιές τιμές της μεταβλητής στο σύστημα τον εξισώσεων Για να απλοποιήσουμε την περιγραφή της εξίσωσης θα τη μελετήσουμε για συγκεκριμένες τιμές του συντελεστή προσέγγισης του χρόνουf (f = 0, 1, 0.5)

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων 1. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Ν. Μαρκάτου και Δ. Ασημακόπουλου, Εκδ. Παπασωτηρίου 2. Υπολογιστική Ρευστομηχανική, Μπεργελές Γ., Τόμος 182, Εκδ. Συμεών 3. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Παύλου Χατζηκωνσταντίνου, Πανεπιστημιακές Παραδόσεις 4. Computational Techniques for Fluid Dynamics, C.A.J. Fletcher, Springer Computational Methods for Fluid Dynamics, J.H. Ferziger, M. Peric, Springer Basics of Fluid Mechanics and Introduction to Computational Fluid Dynamics, T. Petrila, D. Trif, Springer, 2005

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Τα σχήματα και οι σχέσεις της παρουσίασης προέρχονται από τα βιβλία τα οποία βρίσκονται στα παρακάτω links: 1. S.V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Taylor and Francis, 1980: EL/egwcgi/330970/showfull.egw/1+0+1+fullhttp://hippothoe.lis.upatras.gr/cgi-bin- EL/egwcgi/330970/showfull.egw/1+0+1+full 2. H.K. Versteeg and W. Malalasekera, An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method, Longman, 1995: EL/egwcgi/330972/showfull.egw/1+0+1+full

Σημείωμα Αναφοράς “Computational Fluid Dynamics”, Chung, 2006 Διαθέσιμο στο Νηρέα της Κεντρικής Βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου Πατρών: EL/egwcgi/326948/showfull.egw/2+0+1+full

Τέλος Ενότητας