Ενότητα: Μέτρηση ιξώδους ρευστών και συντελεστή οπισθέλκουσας Διδάσκοντες: Χριστάκης Παρασκευά, Αναπληρωτής Καθηγητής Δημήτρης Σπαρτινός, Λέκτορας Δ. Σωτηροπούλου, Εργαστηριακό Διδακτικό Προσωπικό Τμήμα: Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Αναφορά, Απαγόρευση Εμπορικής Χρήσης και Διανομή.

MΕΤΡΗΣΗ ΙΞΩΔΟΥΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ

Το ιξώδες είναι φυσική ιδιότητα των υλικών. Φανερώνει την αντίσταση που προβάλλουν κατά την άσκηση σε αυτά διατμητικών τάσεων. Από τη τιμή του ιξώδους μπορούμε να αποφανθούμε αν ένα υλικό πλησιάζει τη συμπεριφορά του υγρού ή του στερεού. Ιδιαίτερα στη ρευστομηχανική το ιξώδες είναι μια βασική ιδιότητα και περιέχεται σε όλες τις εξισώσεις κίνησης των ρευστών. Oπισθέλκουσα δύναμη είναι η εξωτερική δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα λόγω της σχετικής του κίνησης μέσα σε ένα ρευστό, πάνω στη διεύθυνση της κίνησης. Είναι μια δύναμη τριβής που αντιστέκεται στην κίνηση του σώματος. Ο συντελεστής οπισθέλκουσας είναι ένα αδιάστατο μέγεθος που σχετίζεται με τον αριθμό Reynolds και το σχήμα του στερεού που κινείται μέσα στο ρευστό.

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.Προσδιορισμός του συντελεστή οπισθέλκουσας διαφόρων σφαιρών που κινούνται σε ρευστά. 2.Προσδιορισμός του ιξώδους των ρευστών.

ΘΕΩΡΙΑ Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σε ένα αδιατάρακτο ρευστό ασκούνται πάνω σε αυτό Το βάρος του σώματος Η άνωση Η οπισθέλκουσα κίνηση Να σκεφτείτε τι κίνηση κάνει το σώμα που παρουσιάζεται δίπλα, από τη στιγμή που έχει εισέλθει ολόκληρο μέσα σε ένα ακίνητο ρευστό.

Για να υπολογίσουμε την οπισθέλκουσα δύναμη F D θα πρέπει να υπολογίσουμε το άνυσμα της τάσης επάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Στην επιφάνεια της σφαίρας υπάρχουν εφαπτομενικές ιξώδεις τάσεις και μόνη κάθετη τάση η πίεση. Ισχύει ότι F D =  σ Ζ dS όπου S η επιφάνεια της σφαίρας. Θεωρούμε την περίπτωση της έρπουσας ροής, όπου Re << 1 δηλ. οι ιξώδεις δυνάμεις υπερτερούν των δυνάμεων αδράνειας. Υπενθυμίζουμε ότι Re = Μετά από υπολογισμούς καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: Δυνάμεις αδράνειας Ιξώδεις δυνάμεις

ΘΕΩΡΙΑ Για να υπολογίσουμε την οπισθέλκουσα δύναμη F D θα πρέπει να υπολογίσουμε το άνυσμα της τάσης επάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Στην επιφάνεια της σφαίρας υπάρχουν εφαπτομενικές ιξώδεις τάσεις και μόνη κάθετη τάση η πίεση. Ισχύει ότι F D =  σ Ζ dS όπου S η επιφάνεια της σφαίρας. Θεωρούμε την περίπτωση της έρπουσας ροής, όπου Re << 1 δηλ. οι ιξώδεις δυνάμεις υπερτερούν των δυνάμεων αδράνειας. Υπενθυμίζουμε ότι Re = Μετά από υπολογισμούς καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: Δυνάμεις αδράνειας Ιξώδεις δυνάμεις

F D = 2πRμU + 4πRμU Οπισθέλκουσα μορφής Οπισθέλκουσα τριβής Παρατηρούμε ότι η οπισθέλκουσα δύναμη αποτελείται από δύο συνεισφορές: α) την οπισθέλκουσα μορφής που προέρχεται από την ολοκλήρωση της πίεσης πάνω στη σφαίρα β) την οπισθέλκουσα τριβής που προέρχεται από την ολοκλήρωση της διατμητικής ιξώδους τάσης πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας Άρα μπορούμε να γράψουμε F D = 6πRμU Δύναμη Stokes

Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή σαν νόμος του Stokes και δίνει την ιξώδη δύναμη σε σφαίρα, όταν η ροή είναι έρπουσα Η οπισθέλκουσα δύναμη εκφράζεται δια μέσου του συντελεστή οπισθέλκουσας, ο οποίος γενικά ορίζεται σαν Ιξώδης δύναμη Χαρακτηριστική κινητική ενέργεια ρευστού Χαρακτηριστική επιφάνεια C D = X Άρα στην περίπτωση που εξετάζουμε C D = F St (1/2 ρ υ 2 ) x (π R 2 ) Λαμβάνοντας υπόψη ότι στη περίπτωση μας ο Re ορίζεται σαν Re = D σ υ σ ρ f μ

καταλήγουμε στη σχέση C D = 24 Re Μερικές φορές ο συντελεστής οπισθέλκουσας συμβολίζεται με f. Eάν η ροή δεν είναι έρπουσα, δεν υπάρχουν ακριβείς τύποι που να δίνουν την πίεση και την ταχύτητα γύρω από τη σφαίρα. Έτσι ο συντελεστής οπισθέλκουσας δεν μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά, αλλά υπάρχουν αριθμητικές λύσεις για τις διάφορες περιπτώσεις. Από αριθμητικές λύσεις και πειραματικά αποτελέσματα σχεδιάζονται γραφικές απεικονίσεις του C D σε συνάρτηση του Re για κινούμενα μέσα σε ρευστά σώματα με διάφορα σχήματα ή γράφονται τα αποτελέσματα σε κατάλληλους πίνακες.

ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΑΠΟΤΟΝ Re (Perry’s Chemical Engineering Handbook)

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ Στο σχήμα (b) o C D ελαττώνεται κατά 45%, ενώ στο (c) ελαττώνεται επιπλέον κατά 85% φθάνοντας ένα ελάχιστο για δεδομένο πάχος. Τον ίδιο C D έχει ο κύλινδρος του σχήματος (d), ο οποίος έχει πάχος το 1/8 και ενεργό διατομή 1/300 των αντίστοιχων διαστάσεων του προηγούμενου σχήματος.

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΔIΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΓΙΑ Re  10 4 (Μηχανική των Ρευστών, Α.Θ. Παπαϊωάννου, 1998 Αθήνα)

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΓΙΑ Re  10 4 (Μηχανική των Ρευστών, Α.Θ. Παπαϊωάννου, 1998 Αθήνα)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΑΤΕ ΤΟ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ ΤΟΥ 2010 ΜΕ C D  0.1. ΟΔΗΓΙΕΣ: ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΚΑΛΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΚΑΙ ΑΦΗΣΤΕ ΤΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ ΣΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Μέσα σε διάφορα ρευστά αφήνουμε να κινηθούν μικρές σφαίρες. Προσδιορίζουμε το χρόνο που απαιτείται για να διανύσουν συγκεκριμένη απόσταση. Από τη τιμή του χρόνου και του μήκους της διαδρομής, καθώς και από τη διάμετρο και την πυκνότητα της σφαίρας, με κατάλληλες εξισώσεις προσδιορίζεται το ιξώδες του ρευστού και ο συντελεστής οπισθέλκουσας. Για να έχουμε ακριβή αποτελέσματα για κάθε σφαίρα πραγματοποιούμε τουλάχιστον 10 μετρήσεις και υπολογίζουμε το μέσο όρο για το χρόνο κίνησης.

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Παραδοχές 1.Θεωρούμε ότι η σφαίρα μόλις φθάσει στο σημείο που χρονομετρούμε έχει αποκτήσει την οριακή ταχύτητα και στη συνέχεια εκτελεί ευθύγραμμα ομαλή κίνηση 2.Θεωρούμε ότι η ροή είναι έρπουσα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (έρπουσα ροή) m ρςρς = V U∞U∞ = s t μ = 2 9 (ρ s – ρ f ) R P 2 g U∞U∞ C D = 24 μ U f D P ρ f Re = D P U f ρ f μ

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Να εκτιμήσετε αν όταν αρχίσετε την χρονομέτρηση έχει η σφαίρα αποκτήσει την οριακή ταχύτητα Να υπολογίσετε αυτή την ταχύτητα Να κάνετε έλεγχο αν η ροή είναι έρπουσα. Να προσδιορίσετε τα ιξώδη των ρευστών και να τα συγκρίνετε με τις αντίστοιχες βιβλιογραφικές τιμές. Να προσδιορίσετε τον συντελεστή οπισθέλκουσας για τις διάφορες σφαίρες

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Θεωρούμε νευτωνικά ρευστά όταν ισχύει Διατμητική τάση = μ x {Ρυθμός διάτμησης} [μ] = [Διατμητική τάση] [Ρυθμός διάτμησης] = [L -1 M T -2 ] [T -1 ] =[ L -1 M T -1 ] Η Μονάδα μέτρησης στο SI είναι Pa·s 1 Pa·s = 1Ν·s/m 2 =1 Kg/m·s Xρησιμοποιείται και η μονάδα poise (P). 1poise = 0.1Pa·s Στη πράξη χρησιμοποιείται το centipoise (cP) 1 cP=10 -2 P= Pa·s. Ιξώδες νερού στους 20 °C περίπου 1 cP. Ιξώδες

To ιξώδες μ ονομάζεται συχνά δυναμικό ιξώδες για να το διακρίνουμε από το κινηματικό ιξώδες ν, το οποίο ορίζεται σαν ν = μ ρ [ν] = [L 2 T -1 ] Η μονάδα μέτρησης του κινηματικού ιξώδους στο SI είναι m 2 /s. Αρκετά συχνά χρησιμοποιείται το stokes (St) 1 St = 1 cm 2 /s = m 2 /s.

ΑΠΟ ΤΙ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΤΟ ΙΞΩΔΕΣ Μoριακή φύση του σώματος Θερμοκρασία Πίεση (ελάχιστα, μόνο σε υψηλές πιέσεις ) Θερμοκρασία Πίεση Μoριακή φύση του σώματος Αέρια Τ↑ μ ↑ Υγρά Τ↑ μ ↓ Αέρια Τ↑ μ ↓ Υγρά Τ↑ μ ↓ Δυναμικό ιξώδες Κινηματικό ιξώδες

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bird, R.B., Stewart, W.E., Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York (1960). McCabe, W.L., Smith, J.C., and Harriott, P., Unit Operations of Chemical Engineering, McGraw-Hill, New York (1985). Άγγελου Θ. Παπαιωάννου, ‘Μηχανική των ρευστών’, τόμος ΙΙ, Εκδόσεις Δ. Μαυρομμάτη, Μιχαήλ Βόδα 50, Αθήνα (1998) Perry’s Chemical Engineers’ Handboo, 7th Edition, R.H. Perry and Don W. Green, McGraw-Hill

ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ