Η FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Δρ. Ι. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Μsc Πυρηνικής Φυσικής Δρ Θεωρητικής Φυσικής Υ.Ε επιστημονικός συνεργάτης τμ. Φυσικής Παν. Αθηνών

ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ FRACTAL ΔΟΜΗΣ: AYTOOMOIOTHTA ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ ΣΕ ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ (self-similarity) MAΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ (power-law) ΓΙΑ ΤΟΝ “ΟΓΚΟ” ΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΑΣΗ EΚΘΕΤΗΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ή THN ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΜΒΑΠΤΙΣΗΣ (embeding dimension) ΟΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ.

ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ Sierpinski AYTOOMOIOTHTA: ΜΕΓΕΝΘΥΝΟΝΤΑΣ, ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ, ΕΝΑ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ ΕΩΣ ΝΑ ΠΑΡΕΙ ΤΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ Η ΕΙΚΟΝΑ ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΑΡΧΙΚΗ. ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ ΔΗΛΑΔΗ ΜΙΑ ΧΩΡΙΚΗ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗΤΑ (scale invariance). AYTO ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΟΤΙ Η ΔΟΜΗ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΑΛΛΑ ΟΛΕΣ ΟΙ ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΟΥΣΕΣ, ΑΠΟ ΤΗ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΕΩΣ ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ Sierpinski TO ΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ MANDELBROT

για δομές του φυσικού κόσμου. Ετσι έχουμε Η ΑΥΤΟΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΕΚΦΡΑΖΕΤΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΥΠΟΥΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: Οπου Ω ο όγκος ή επιφάνεια ή γραμμική διάσταση της δομής ανάλογα αν αυτή βρίσκεται σε 3, 2, ή 1 ευκλείδια διάσταση. Oπου L το γραμμικό μέγεθος της δομής.Πράγματι αν κάνουμε μια αλλαγή κλίμακας τότε προκύπτει Σχέση που εκφράζει την αυτοομοιότητα λαμβάνοντας υποψιν και ένα παράγοντα κλίμακας. Η σχέση (1) εκφράζεται συνήθως με τη πολλαπλότητα Ν αντί για το μέγεθος Ω. Ως πολλαπλότητα νοείται το πλήθος των σημείων ή των αντικειμένων που περικλείει η δομή, ή τον αριθμό σωματίων ή κυττάρων για δομές του φυσικού κόσμου. Ετσι έχουμε D>0 .

Ο εκθέτης D είναι η Fractal διάσταση της δομής και από τις σχέσεις . Για μειωτικές διαδικασίες χρησιμοποιούμε τη σχέση . Ο εκθέτης D είναι η Fractal διάσταση της δομής και από τις σχέσεις (2) και (3) υπολογίζεται ως (4 (5) αντίστοιχα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ FRACTALS A) To σύνολο του Cantor (Cantor set) B) To τρίγωνο του Sierpinski Γ) Η καμπύλη του Koch

Γ) Η καμπύλη του Koch

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ FRACTAL ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ Α) Cantor set Η επαναληπτική διαδικασία παραγωγής του συνόλου είναι : Εχουμε ευθύγραμμο τμήμα. Το χωρίζουμε σε τρία ίσα μέρη και πετάμε το μεσαίο. Επαναλαμβάνουμε αυτό τον αλγόριθμο συνεχώς για κάθε τμήμα που προκύπτει. Στη διαδικασία αυτή το μήκος των παραγομένων τμημάτων ελαττώνεται άρα χρησιμοποιούμε τη σχέση (5). Το πλήθος των παραγομένων τμημάτων δεδομένου ότι σε κάθε βήμα διπλασιάζεται ο αριθμός τους, μπορεί να γραφεί ως : Οπου k ο αριθμός του βήματος της επαναληπτικής διαδικασίας. Το μήκος των παραγομένων τμημάτων δεδομένου ότι σε κάθε βήμα υποτριπλασιάζεται σε σχέση με το προηγούμενο είναι : Οπου το αρχικό μήκος , που μπορούμε να θέσουμε μονάδα. Ετσι η σχέση (5) δίνει ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η fractal διαστάση του συνόλου είναι κλασματική και μικρότερη της ευκλείδιας διαστάσης του αρχικού αντικειμένου.

Β) Το τρίγωνο του Sierpinski Η επαναληπτική διαδικασία παραγωγής του συνόλου είναι. Eχουμε ισόπλευρο τρίγωνο . Από αυτό αφαιρούμε ανεστραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς το μισό της αρχικής. Επαναλαμβάνουμε αυτό τον αλγόριθμο συνεχώς. Στη διαδικασία αυτή το μήκος των παραγομένων πλευρών ελαττώνεται ( άρα χρησιμοποιούμε τη σχέση (5). Σε κάθε βήμα ο αριθμός των παραγομένων τριγώνων τριπλασιάζεται. Ετσι Ενώ το μήκος της πλευράς του παραγομένου τριγώνου υποδιπλασιάζεται σε σχέση με το προηγούμενο βήμα. Ετσι Ετσι , για αρχικό μήκος πλευράς τη μονάδα προκύπτει από το τύπο (5) fractal διάσταση Και εδώ προκύπτει ότι αυτή η δομή έχει κλασματική διάσταση που είναι μικρότερη από τη ευκλείδια διάσταση του επίπεδου τριγώνου που είναι 2.

Γ) Η καμπύλη του Koch. Χωρίζουμε τις πλευρές ισόπλευρου τριγώνου σε τρία ίσα μέρη και με πλευρά βάσης το μεσαίο τμήμα προσθέτουμε σε κάθε πλευρά ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Προκύπτει έτσι μία «καμπύλη» της οποίας η διάσταση υπολογίζεται ως: Σε κάθε βήμα ο αριθμός των τριγώνων τετραπλασιάζεται (Το αρχικό τρίγωνο + τα τρια μικρότερα), ενώ το μήκος της πλευράς υποτριπλασιάζεται. Ετσι έχουμε Ετσι και πάλι έχουμε fractal διάσταση μικρότερη της διάστασης της επίπεδης καμπύλης δηλαδή του 2. Αυτό σημαίνει ότι ποτέ μια καμπύλη Koch δεν πρόκειται να «καλύψει» τη περιφέρεια του κύκλου. Θα έχει άπειρο μήκος , μετά από άπειρες επαναλήψεις, ενώ το περικλειόμενο εμβαδόν θα είναι πεπερασμένο αφού θα είναι πάντα μικρότερο του εμβαδού του κύκλου.

Η FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΞΕΝΩΝ ΕΛΚΥΣΤΩΝ ΧΑΟΣ: H ευαίσθητη εξάρτηση μίας χρονικά εξελισσόμενης διαδικασίας από τις αρχικές συνθήκες. ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΧΑΟΣ (DETERMINISTIC CHAOS) : To χάος που αναδύεται από τις αριθμητικές λύσεις ενός συστήματος μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ή των παραγομένων από αυτές απεικονίσεων (maps). ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟΥ ΧΑΟΥΣ : LORENZ MODEL

LORENZ MODEL To μοντέλο αυτό εισήχθη από τον μετερεωλόγο LORENZ για να περιγράψει το πείραμα του Benard. Προκύπτει από τρεις διαφορικές εξισώσεις ( Navier-Stokes, θερμικής αγωγιμότητας και εξίσωσης συνέχειας). Το σύστημα των Δ.Ε που τελικά προκύπτει είναι: Οπου Χ,Υ,Ζ οι τρείς συντεταγμένες και οι παράμετροι εξαρτώνται από τη θερμική αγωγιμότητα, το ιξώδες και τον αριθμό Rayleigh.

ΠΑΡΑΞΕΝΟΙ ΕΛΚΥΣΤΕΣ (Strange attractors): Όταν το μη γραμμικό σύστημα είναι μη διατηρητικό (dissipative) τότε η παραγόμενη από τη λύση τροχιά δημιουργεί στο φασικό χώρο αναλλοίωτες δομές που λέγονται παράξενοι ελκυστές και οι οποίες πάντα έχουν FRACTAL διάσταση

O ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ ΤΟΥ LORENZ Η fractal διαστασή του υπολογίζεται σε D=2.06<3 Λογω της μορφής του ελκυστή το χαοτικό φαινόμενο του μοντέλου του Lorenz ονομάσθηκε και φαινόμενο της πεταλούδας.

O παράξενος ελκυστής του JULIA SET Στο μιγαδικό επίπεδο για μιγαδικές τιμές της παραμέτρου c. Στο σχήμα ο παράξενος ελκυστής του Julia για

O παράξενος ελκυστής του JULIA SET

Ο παράξενος ελκυστής του Mandelbrot set. αλλά τώρα η παράμετρος c ταυτίζεται με την αρχική τιμή της μιγαδικής μεταβλητής δηλαδή . Επίσης κρατάμε τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι μέσα σε κύκλο ακτίνας 2. Ο ελκυστής του Mandelbrot είναι συμπαγής δομή και έχει τιμή κοντά στο 2.

Diffusion Limited Aggregation (DLA) fractals Eχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι που δίνουν δομές Fractals πολύ κοντά στις μορφές Fractals που εμφανίζονται στη φύση. Ενας τέτοιος αλγόριθμος που στηρίζεται στη διάχυση σωματιδίων σε πλέγμα είναι ο DLA. Στο κέντρο του πλέγματος υπάρχει κολλημένο ένα σωμάτιο. Από τη περιφέρεια ξεκινάει άλλο σωμάτιο ένα περίπατο με τον εξής κανόνα. Σε κάθε βήμα μπορεί να κινηθεί μόνο σε ένα γειτονικό κουτάκι πάνω ή κάτω , αριστερά η δεξιά. Αν κτυπήσει τα όρια του πλέγματος τότε ξεκινάει το περίπατο άλλο σωμάτιο. Μέσα από τέτοιους περίπατους κάποια σωμάτια θα έρθουν και θα κολλήσουν στα 4 κουτάκια που είναι άμεσοι γείτονες του κεντρικού. Ετσι δημιουργείται ένα συσσωμάτωμα (aggregation) και ου το καθεξής. Μέσα απο τέτοιες επαναληπτικές διαδικασίες μπορούν να δημιουργηθούν δομές όπως οι παρακάτω με fractal διαστάσεις γύρω στο 1.7 για το επίπεδο και 2.5 για το χώρο.

Diffusion Limited Aggregation (DLA) fractals Και άλλοι τυχαίοι περίπατοι όπως η κίνηση Brown και οι βηματισμοί Levy δίνουν παρόμοια fractals.

H FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Οι δομές που μέχρι τώρα εξετάσαμε είναι όλες μαθηματικά κατασκευάσματα είτε πρόκειται για γεωμετρικά σχήματα ή για διαφορικές εξισώσεις ή για αριθμητικά πειράματα διάχυσης. Είναι γνωστό οτι η φύση “μιλάει” μαθηματικά. Το ερώτημα είναι η φύση έχει επενδύσει στη μαθηματική διάλεκτο των fractals ? Η απάντηση είναι ναι . Οπως θα δούμε στα επόμενα σχήματα πολλές φυσικές , γεωλογικές, βιολογικές, δομές έχουν fractal γεωμετρία.

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΔΙΚΤΥΟ ΠΑΡΑΠΟΤΑΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΙΛΟΥ ΑΠΌ ΤΟ GOOGLE EARTH TA ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΗΣ ΝΟΡΒΗΓΙΑΣ ΑΠΟ GOOGLE EARTH

FRACTALS ΔΟΜΕΣ ΑΠΌ ΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΦΤΕΡΗ

ΔΕΝΤΡΟ

ΜΠΡΟΚΟΛΟ

ΠΝΕΥΜΟΝΑΣ

ΑΙΜΟΦΟΡΑ ΑΓΓΕΙΑ ΝΕΦΡΟΥ

FRACTALS ΑΠΌ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟΘΕΣΗ ΙΟΝΤΩΝ

ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ (ΜΟΝΩΤΙΚΟΥ) ΥΛΙΚΟΥ

ΧΙΟΝΟΝΙΦΑΔΕΣ

ΘΡΑΥΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ LEVY FLIGHTS ΤΗΣ ΘΡΑΥΣΗΣ ΤΟΥ ΕΣΤΙΑΚΟΥ ΠΕΤΡΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΡΟΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ LEVY FLIGHTS ΤΗΣ ΘΡΑΥΣ ΤΟΥ ΕΣΤΙΑΚΟΥ ΠΕΤΡΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΡΟΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

MIA BAΘΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ... Τα Fractals ειναι η γεωμετρία των αυτοόμοιων δομών , εκείνων που ειναι εφοδιασμένες με τη χωρική αναλλοιώτητα στις αλλαγές της κλίμακας. Σε ποιά κατηγορία φυσικών φαινόμενων εμφανίζεται αυτή η ιδιότητα? Ειναι γνωστό απο τις εργασίες κύρια του σοβιετικού φυσικού LANDAU ότι η ιδιότητα της χωροχρονικής αναλλοιώτητας εμφανίζεται στα κρίσιμα φαινόμενα ή αλλιώς στη κρίσιμη κατάσταση πριν την αλλαγή φάσης. Στη κρίσιμη κατάσταση συμβαίνει κάτι το εκπληκτικό !!! Οι δομικοί λίθοι του συστήματος, που μπορεί να είναι φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό ακόμα και κοινωνικό, είναι συσχετισμένοι σε όλες της χωροχρονικές κλίμακες. Δηλαδή η κατάσταση που βρίσκεται το κάθετι εξαρτάται απο τη κατάσταση που βρίσκεται το κάθε μερος του συστήματος.

Η γεωμετρία των δομών της κρίσιμης κατάστασης ειναι η Fractal γεωμετρία. “Fractals at T=Tc due to instanton –like configuration” N. Antoniou, Y. Contoyiannis, F. Diakonos and C. Papadopoulos. Phys. Rev. Lett 81, 4289 (1998). “ The fractal geometry of critical systems “ N. Antoniou, Y. Contoyiannis and F. Diakonos. Phys. Rev. E 62, 3125(2000). Για να δούμε δύο σημαντικά αποτελέσματα από το παραπάνω συμπέρασμα.

TA FRACTALS ΣΤΟ ΚΑΡΔΙΑΓΓΕΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Συνδέεται αυτή η παρατήρηση με τη κρίσιμη κατάσταση ? Κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι η υγιής καρδιά που τροφοδοτεί αυτό το αγγειακό σύστημα θα βρίσκεται σε κρίσιμη κατάσταση. Και αυτό συμβαίνει όπως δείξαμε σε πρόσφατη εργασία μας αναλύοντας καρδιογραφήματα ζώων ( και μετέπειτα ανθρώπου) με μια μέθοδο που έχουμε αναπτύξει. “Criticality in the relaxation phase of the spontaneous contracting atria isolated from the heart of the frog (Rana ridibunda) “ Y. Contoyiannis, F. Diakonos, C. Papaefthimiou and G. Theophilidis. Phys. Rev. Lett. (2004) Ετσι καταγράφοντας με τη μέθοδο μας κάθε πιθανή απομάκρυνση της καρδιάς από τη κρίσιμη κατάσταση μπορούμε να ξέρουμε πόσο μακριά είμαστε από τη υγιή λειτουργία της.

TA FRACTALS ΣΤΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ενα μεγάλο ερωτηματικό στη κοσμολογία του σύμπαντος είναι πως έχει προκύψει η συμβατική σημερινή μας ύλη ( πρωτόνια, νετρόνια, μεσόνια,..) από την αρχέγονη ύλη του σύμπαντος που ήταν τα quarks. Eχουμε διατυπώσει μια θεωρία στην οποία η μετάβαση αυτή είναι μια αλλαγή φάσης δεύτερης τάξης η οποία προυποθέτει την ύπαρξη μιας κρίσιμης κατάστασης της ύλης quarks. Tότε αυτή η κατάσταση θα πρέπει να έχει fractal γεωμετρία. Πολύ πρόσφατα αποτελέσματα από τα πειράματα του LHC του CERN επιβεβαιώνουν τη ύπαρξη μιας fractal γεωμετρίας της οποίας τη διάσταση έχουμε ήδη υπολογίσει στη παρακάτω εργασία “Pion production from a critical QCD phase” N. Antoniou, Y. Contoyiannis, F. Diakonos, A. karanikas, C. Ktorides. Nucl. Phys.A 693(2001) 799-824. Επιπλέον σημερινά αστρονομικά δεδομένα καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι οι γαλαξίες σχηματίζουν υπερδομές σαν νηματοειδείς σχηματισμοί τεράστιας χωρικής κλίμακας που σημαίνει ότι όχι μόνο οι γαλαξίες έχουν fractal δομή ( κάτι που ήταν ήδη γνωστό) αλλά και ότι όλο το σύμπαν έχει Fractal δομή. Στο ερώτημα από που έρχεται αυτή η γεωμετρία η απάντηση ότι το πέρασμα της αρχέγονης ύλης το πρώτο δισεκατομυριοστό του δευτερολέπτου στη τωρινή της μορφή έγινε σε συνθήκες fractal γεωμετρίας , όπως έχουμε δείξει, είναι ίσως ικανοποιητική.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΟΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΤΗΝ ΑΞΙΑ ΤΗΣ FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΣΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΜΑΣ ΤΗ ΖΩΗ ΟΣΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ.