Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων 1

Συνήθης Δ.Ε. 1 ανεξάρτητη μεταβλητή x 1 εξαρτημένη μεταβλητή y Καθώς και παράγωγοι της y μέχρι n τάξης, στη μορφή : Δηλ. εκτός από τη μεταβλητή, έχουμε και διαφορικά κάποιας συνάρτησης που δεν γνωρίζουμε Γενική λύση (υπάρχουν n σταθερές) Η Γενική λύση προσδιορίζει μια οικογένεια λύσεων ή καμπυλών 2

1 ης τάξης : 2 ης τάξης : …. n-οστής τάξης : Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ODE) έχει λύση όταν υπάρχει μια παραγωγίσιμη συνάρτηση y(x) η οποία, όταν αυτή και οι παράγωγοί της αντικατασταθούν στη γενική μορφή την επαληθεύουν 3 Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της μεγαλύτερης παραγώγου της συνάρτησης y, που εμφανίζεται στην εξίσωση.

Είναι πολλές φορές δύσκολο να βρεθεί η ακριβής λύση μιας Δ.Ε. Μια διαφορική εξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη 1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες. Για την περίπτωση των γραμμικών Δ.Ε. η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι πρέπει να λυθεί για διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Μια συνήθης ΔΕ n τάξης δεν λύνεται μονοσήμαντα και γι’αυτό μόνο με τη ΣΔΕ δεν μπορούμε να επιλύσουμε το πρόβλημα. ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Διαφορικές εξισώσεις μεγαλύτερης τάξης μπορούν να γραφούν ως ένα σύστημα ΔΕ 1 ης τάξης εισάγοντας τις παραγώγους ως νέες συναρτήσεις. 4

with the initial condition The variable t is discretized, say t j for j = 0,1,2,..., then we determine y j ≈ y(t j ) for j = 1,2,3,... The first class of methods (Runge-Kutta methods) involve one-step. If y j is calculated, then we construct y j+1 from y j. Previous values such as y j−1 are not needed. Since this is an IVP and for the first step, we have y 0 only at t 0, then we can find y 1, y 2,..., in a sequence. The one-step methods are vary natural. A higher order method gives a more accurate numerical solution than a lower order method for a fixed step size. But a higher order one-step method requires more evaluations of the f function. For example, the first order Euler’s method requires only one evaluation of f, i.e., f(t j,y j ), but a fourth order Runge-Kutta method requires four evaluations of f. For a large scale problem, the computation of f could be time consuming. Thus, it is desirable to have high order methods that require only one evaluation of f in each step. This is not possible in a onestep method. But it is possible in a multi-step method. Therefore, the main advantage of the multi- step method is that they are efficient. However, they are more difficult to use. 5

Υπάρχουν 2 χαρακτηριστικές περιπτώσεις συνθηκών : 1.Προβλήματα αρχικών τιμών (IVP) – γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της μέχρι n-1 τάξης ΣΕ ΚΑΠΟΙΑ δεδομένη στιγμή ή θέση. 2.Προβλήματα οριακών τιμών (BVP) – διαθέτουμε πληροφορίες σε 2 διαφορετικά σημεία Όλες οι μέθοδοι που παρουσιάζονται είναι προσεγγιστικές και δεν θα αναπαράγουν ακριβώς την ακριβή λύση της Δ.Ε. Οι μέθοδοι βασίζονται σε διακριτούς υπολογισμούς και ΔΙΝΟΥΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ μόνον σε συγκεκριμένα ΣΗΜΕΙΑ. 6

consider this beam where the deflection is zero at the boundaries x= 0 and x = L These are boundary conditions a yoyo P In some cases, the specific behavior of a system(s) is known at a particular time. Consider how the deflection of a beam at x = a is shown at time t =0 to be equal to y o. Being interested in the response for t > 0, this is called the initial condition. 7

Boundary Value Problems The conservation of heat can be used to develop a heat balance for a long, thin rod. If the rod is not insulated along its length and the system is at steady state. The equation that results is: T1T1 T2T2 TaTa TaTa 8

T1T1 T2T2 TaTa TaTa Clearly this second order ODE needs 2 conditions. This can be satisfied by knowing the temperature at the boundaries, i.e. T 1 and T 2 T(0) = T 1 T(L) = T 2 9

T(0) = T 1 T(L) = T 2 Use these conditions to solve the equation analytically. For a 10 m rod with T a = 20 T(0) = 40 T(10) = 200 h’ =

Satellite orbiting Earth The motion of a point-mass, m, orbiting a stationary massive object M is governed by Accelerations in radial and tangential directions Forces in radial and tangential directions 11

Μέθοδοι Επίλυσης Μέθοδος Euler – βασίζεται σε ένα ανάπτυγμα κατά Taylor λαμβάνοντας τους όρους μόνον της 1 ης τάξης Μπορούμε να προσεγγίσουμε τιμές κοντά στο σημείο x 0 χωρίς να υπολογίσουμε καμία παράγωγο. Και επειδή αυτό έχει σχετικά χαμηλή ακρίβεια : Για να προσεγγίσουμε μια τιμή της συνάρτησης y κάνουμε μια προσέγγιση σε διαδοχικά βήματα χωρίζοντας το διάστημα [x 0, το σημείο στο οποίο επιθυμούμε να κάνουμε τον υπολογισμό] σε n ισομεγέθη τμήματα μήκους h. 12

Δηλαδή : Το σφάλμα που προκύπτει μπορεί να μειωθεί μειώνοντας το βήμα h. 13

14

Μέθοδος Euler 2 ης τάξης Αν κρατήσουμε όρους 2 ης τάξης Αναδρομική σχέση: 15

Μέθοδος βελτιωμένου Euler Θεωρούμε ότι η συνάρτηση την οποία προσπαθούμε να υπολογίσουμε μεταβάλλεται γραμμικά μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων Όταν δεν υπάρχει σφάλμα Επειδή είναι δαπανηρό να αυξήσουμε το πλήθος των σημείων λαμβάνουμε δύο κλίσεις από δύο διαδοχικά σημεία και χρησιμοποιούμε ως κλίση για την ευθεία που θα μας δώσει την προσέγγιση τον μέσο όρο αυτών ΔΗΛ. για τον υπολογισμό της τιμής λαμβάνουμε υπόψιν όχι μόνον την κλίση της συνάρτησης στο αλλά και στο 16

Μέθοδος μέσου σημείου Εξετάζουμε το διάστημα ανάμεσα σε 2 σημεία Λαμβάνουμε ως προσέγγιση του αυτό που προκύπτει από την κλίση της συνάρτησης στο σημείο που βρίσκεται στο μέσον του διαστήματος ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ EULER, Βελτιωμένου Euler και Μέσου σημείου είναι ειδικές περιπτώσεις των μεθόδων RUNGE- KUTTA (R-K) 17