Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY COURSE NOTES 7 Αξιολόγηση της Ποιότητας Δικτύων

2 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου...

3 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αξιοπιστία δικτύου  Η έννοια της αξιοπιστίας σχετίζεται με την επίδραση των μη-τυχαίων σφαλμάτων και άλλων “λανθασμένων επιλογών μοντέλου” στα αποτελέσματα της συνόρθωσης ενός δικτύου.  Δεν υπάρχει ένα και μοναδικό μέτρο “απόλυτης αξιολόγησης” της αξιοπιστίας ενός δικτύου.  Υπάρχουν διάφορα μεγέθη και τρόποι αξιολόγησης της αξιοπιστίας, το καθένα από τα οποία εστιάζει σε διαφορετικές (θεωρητικές και πρακτικές) πτυχές χρήσης των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης ενός δικτύου.

4 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αξιοπιστία δικτύου  Οι μέθοδοι ανάλυσης της αξιοπιστίας ενός δικτύου εμπεριέχουν και τη διαδικασία ελέγχου διαφόρων «δεσμεύσεων» σχετικά με την καταλληλότητα του χρησιμοποιούμενου μοντέλου να περιγράψει τις διαθέσιμες παρατηρήσεις.  Η μελέτη της αξιοπιστίας ενός δικτύου, με βάση τα αποτελέσματα της συνόρθωσης του, ανάγεται πάντα στην εκτέλεση κάποιου ελέγχου στατιστικής υπόθεσης (statistical hypothesis testing).  Για τη μελέτη της αξιοπιστίας ενός δικτύου είναι απαραίτητη η γνώση των συνάρτησεων κατανομής για διάφορες ποσότητες που εξαρτώνται από τα άγνωστα τυχαία σφάλματα (v) των παρατηρήσεων.

5 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων  Δερμάνης Α. (1986): Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (Τόμος 1). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ. 6)  Δερμάνης Α. (1987): Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (Τόμος 2). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ. 14)  Δερμάνης Α. & Φωτίου Α. (1992): Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ. 2, σελ ) Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε:

6 Φυσικό σύστημα (π.χ. δίκτυο) «Θεωρία» Παρατηρήσεις Μαθηματικό μοντέλο (Gauss-Markov) Συνόρθωση – Εκτίμηση παραμέτρων μοντέλου Στατιστικοί έλεγχοι «θεωρία vs. πραγματικότητα» Απόρριψη Αποδοχή 

7 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Είδη αξιοπιστίας” δικτύου Αξιοπιστία Εσωτερική αξιοπιστία Εξωτερική αξιοπιστία Αναφέρεται στην ικανότητα του δικτύου να αναγνωρίζει και να εντοπίζει μη-τυχαία σφάλματα στις παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τη συνόρθωση του Αναφέρεται στην επίδραση των μη-τυχαίων σφαλμάτων, τα οποία δεν εντοπίστηκαν κατά τον έλεγχο της εσωτερικής αξιοπιστίας του δικτύου, στις εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων

8 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Που πάνε τα σφάλματα ; Εσωτερική αξιοπιστία Εξωτερική αξιοπιστία Συνόρθωση...

9 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Επίδραση των «εξωτερ. επιδράσεων» Αν το διάνυσμα των παρατηρήσεων b έχει επηρεαστεί από κάποιες συστηματικές εξωτερικές επιδράσεις δ (οι οποίες δεν περιγράφονται μέσα στο παραμετρικό μοντέλο της συνόρθωσης Ax), τότε οι εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων θα επηρεαστούν ως εξής:

10 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Τρία βασικά εργαλεία... -Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας Ελέγχεται η συνολική αξιοπιστία του γενικού μοντέλου (ντεντερμινιστικό και στοχαστικό) που χρησιμοποιήθηκε για τη συνόρθωση των συγκεκριμένων παρατηρήσεων -Έλεγχος της “γενικής υπόθεσης” Ελέγχονται διάφορες επιμέρους δεσμεύσεις ή υποθέσεις σχετικά με τη συμπεριφορά του παραμετρικού μοντέλου (π.χ. σημαντικότητα πρόσθετων παραμέτρων, συμβατότητα πλεοναζουσών δεσμεύσεων, έλεγχοι ένταξης, κ.ά) -Σάρωση δεδομένων (ειδική περίπτωση της “γενικής υπόθεσης”) Ελέγχεται η ύπαρξη μη-τυχαίων σφαλμάτων στις διαθέσιμες παρατηρήσεις που χρησιμοποιούνται στη συνόρθωση του δικτύου.

11 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος  «Ολικός» έλεγχος αξιοπιστίας (έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς, F-test, χ 2 -test)  Ελέγχεται η ορθότητα (πιο σωστά, η καταλληλότητα ) του συνολικού μοντέλου και της διαδικασίας που χρησιμοποιήθηκε για τη συνόρθωση των συγκεκριμένων παρατηρήσεων α-priori γνωστή τιμή

12 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος  Σε περιπτώσεις συνόρθωσης δικτύων όπου όλες οι παρατηρήσεις έχουν εκτελεστεί με το ίδιο όργανο, ο ολικός έλεγχος αξιοπιστίας είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για το στατιστικό έλεγχο της κατασκευαστικής ακρίβειας του συγκεκριμένου οργάνου  Σε δίκτυα με ετερογενείς παρατηρήσεις → έλεγχος συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς “συντελεστής κλίμακας” της κατασκευαστικής ακρίβειας του οργάνου

13 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος α-priori γνωστή τιμή Στις περισσότερες περιπτώσεις ανάλυσης της αξιοπιστίας των τοπογραφικών δικτύων, η α-priori τιμή της μεταβλ. αναφοράς λαμβάνεται ίση με τη μονάδα. Με απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας βάρους P περιέχει όλη τη διαθέσιμη πληροφορία για την ακρίβεια των παρατηρήσεων στη συνόρθωση

14 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα Η ακρίβεια των παρατηρήσεων των υψομετρικών διαφορών για τις πλευρές ενός χωροσταθμικού δικτύου λαμβάνεται συνήθως ως εξής: ακρίβεια μέτρησης του χωροβάτη σε διπλή χωροσταθμική όδευση (μετάβαση-επιστροφή) μήκους 1km μήκος χωροσταθμικής όδευσης σε km όπου

15 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα (συνέχ.) Ακρίβεια κάθε παρατήρησης Σε αυτή την περίπτωση ο ολικός έλεγχος πρέπει να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας ως a-priori μεταβλητότητα αναφοράς τη γνωστή κατασκευαστική ακρίβεια του χωροβάτη ανά km χωροσταθμικής όδευσης, π.χ. Σχηματισμός του πίνακα βάρους (επιλογή 1) γνωστό

16 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα (συνέχ.) Ακρίβεια κάθε παρατήρησης Σε αυτή την περίπτωση ο ολικός έλεγχος πρέπει να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας ως a-priori μεταβλητότητα αναφοράς τη μονάδα! Σχηματισμός του πίνακα βάρους (επιλογή 2) γνωστό

17 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος α-priori γνωστή τιμή  Υπολογισμός της ποσότητας  Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α  Έλεγχος της ανισότητας

18 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος α-priori γνωστή τιμή  Υπολογισμός της ποσότητας  Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α  Έλεγχος της εναλλακτικής ανισότητας

19 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Χρήσιμες σχέσεις

20 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος Λανθασμένο μαθηματικό μοντέλο (π.χ. ύπαρξη επιπλέον συστηματικών επιδράσεων στις παρατηρήσεις, προβληματικός ορισμός του συστήματος αναφοράς, κλπ.)  εφαρμογή κατάλληλων αναγωγών στις παρατηρήσεις, διεύρυνση του μαθηματικού μοντέλου, επανεξέταση των χρησιμοποιούμενων δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ Πιθανοί λόγοι αποτυχίας του ολικού ελέγχου...

21 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος Πιθανοί λόγοι αποτυχίας του ολικού ελέγχου... Λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο (π.χ. η πραγματική ακρίβεια των παρατηρήσεων δεν συμπίπτει με την κατασκευαστική ακρίβεια του οργάνου, ύπαρξη σημαντικών συσχετίσεων ανάμεσα στις παρατηρήσεις, κλπ.)  πιο ρεαλιστική επιλογή του πίνακα βάρους για τη συνόρθωση των παρατηρήσεων

22 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος Πιθανοί λόγοι αποτυχίας του ολικού ελέγχου... Προβληματικές παρατηρήσεις (π.χ. ύπαρξη χονδροειδών σφαλμάτων σε παρατηρήσεις, φυσική μετακίνηση της αρχικής υλοποίησης σημείων του δικτύου, κλπ.)  απαλοιφή ή επανάλυψη των προβληματικών παρατηρήσεων

23 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ολικός έλεγχος Πιθανοί λόγοι αποτυχίας του ολικού ελέγχου... Λανθασμένοι αριθμητικοί υπολογισμοί (π.χ. σφάλματα προγραμματισμού συνόρθωσης, κακή επιλογή προσεγγιστικών συντεταγμένων, σφάλματα στρογγύλευσης λόγω αριθμητικής αδυναμίας στις αναγκαίες αντιστροφές των πινάκων... )  σύγκριση αποτελεσμάτων από διαφορετικά προγράμματα και αλγορίθμους συνόρθωσης, βελτίωση της γεωμετρίας του δικτύου και της ακρίβειας των παρατηρήσεων (πίνακες Α, P) για την αριθμητική σταθεροποίηση της λύσης των κανονικών εξισώσεων, εφαρμογή επαναληπτικών συνορθώσεων

24 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σχόλια...  Ο ολικός έλεγχος αξιολογεί την ορθότητα (ή μάλλον την καταλληλότητα) του μαθηματικού μοντέλου, συμπερι- λαμβανομένων όλων των διαφόρων υποθέσεων και δεσμεύσεων που χρησιμοποιούνται στη συνόρθωση για την «περιγραφή» του συγκεκριμένου συνόλου μετρήσεων στο δίκτυο.  Μια πιο γενική προσέγγιση θα ήταν να συγκριθεί η καταλληλότητα του χρησιμοποιούμενου μοντέλου συνόρθωσης σε σχέση με κάποιο διαφορετικό μοντέλο ή σενάριο συνόρθωσης για τις ίδιες μετρήσεις.  Συνήθως, αυτό που μπορεί να ελεχθεί σχετικά εύκολα στην πράξη είναι η δυνατότητα απλούστευσης ή εμπλουτισμού ενός δεδομένου μοντέλου συνόρθωσης.

25 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης”  Με βάση τα αποτελέσματα της συνόρθωσης, ελέγχεται αν κάποια μεγέθη του δικτύου (π.χ. οι συντεταγμένες ορισμένων σημείων) έχουν ταυτόχρονα κάποιες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές.  Χρησιμοποιείται σε πλήθος εφαρμογών για την ανάλυση των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης δικτύων (π.χ. έλεγχοι ένταξης, έλεγχοι γεωμετρικών συνθηκών, έλεγχοι συστηματικών επιδράσεων στις μετρήσεις, κ.ά). Οι σχέσεις αυτές αντιστοιχούν σε αυστηρά ουσιαστικές δεσμεύσεις και δεν πρέπει να συγχέονται με τις αρχικές δεσμεύσεις ορισμού του ΣΑ στο δίκτυο !

26 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης”  Υπολογίζονται τα “σφάλματα κλεισίματος” της γενικής υπόθεσης Η ο  Υπολογίζεται ο πίνακας  Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας α  Ελέγχεται η ανισότητα Συνόρθωση του αρχικού μοντέλου, χωρίς τις “ελεγχόμενες” δεσμεύσεις και

27 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης” Εφαρμογές  Έλεγχος μετακίνησης σημείων σε διαχρονικά δίκτυα  Έλεγχος ένταξης αστικών δικτύων (στατιστικός έλεγχος γνωστών συντεταγμένων)  Σύνδεση-σύγκριση γειτονικών δικτύων  Έλεγχος σημαντικότητας των παραμέτρων περιγραφής διαφόρων συστηματικών επιδράσεων σε μετρήσεις γεωδαιτικών-τοπογραφικών δικτύων  Έλεγχος γεωμετρικών συνθηκών ανάμεσα σε σημεία του δικτύου  Έλεγχος επανατοποθέτησης καταστραμμένων σημείων

28 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης” Έλεγχος σημαντικότητας των παραμέτρων περιγραφής διαφόρων συστηματικών επιδράσεων σε μετρήσεις γεωδαιτικών-τοπογραφικών δικτύων Συνόρθωση του ”διευρυμένου” μοντέλου

29 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης” Έλεγχος μετακίνησης σημείων σε διαχρονικά δίκτυα

30 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης” Έλεγχος ένταξης αστικών δικτύων (στατιστικός έλεγχος γνωστών συντεταγμένων)

31 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Έλεγχος “γενικής υπόθεσης” Εποπτικός έλεγχος γνωστών συντεταγμένων Θέση σημείου όπως προκύπτει από τη λύση ελαχίστων δεσμεύσεων Θέση σημείου όπως προκύπτει από τη λύση πλεοναζουσών δεσμεύσεων Έλλειψη εμπιστοσύνης (1-α)% από τη συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις Απόρριψη Αποδοχή

32 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σάρωση δεδομένων  Ελέγχεται η ύπαρξη μη-τυχαίων σφαλμάτων στις παρατηρήσεις του δικτύου (data snooping)  Ειδική περίπτωση του ελέγχου της “γενικής υπόθεσης”, όπου εξετάζεται η αναγκαιότητα διεύρυνσης του μαθηματικού μοντέλου λόγω της ύπαρξης μίας συστηματικής (μη-τυχαίας) επίδρασης σε κάποια μεμονωμένη παρατηρήση  : μη-τυχαίο σφάλμα στην i th παρατήρηση όπου

33 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σάρωση δεδομένων  Υπολογισμός της ποσότητας Για κάθε παρατήρηση, εκτελούμε την εξής διαδικασία * Θεωρείται ότι ο πίνακας βάρους P που χρησιμοποιήθηκε στη συνόρθωση είναι διαγώνιος  Υπολογισμός της ποσότητας Εσωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα Εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα

34 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σάρωση δεδομένων Για κάθε παρατήρηση, εκτελούμε την εξής διαδικασία (συνέχ.) * Θεωρείται ότι ο πίνακας βάρους P που χρησιμοποιήθηκε στη συνόρθωση είναι διαγώνιος  Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α (συνήθως λαμβάνεται ίσο με 0.001)  Η υπόθεση Η ο γίνεται αποδεκτή όταν

35 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σάρωση δεδομένων  Η προηγούμενη διαδικασία εφαρμόζεται για κάθε μία παρατηρήση που συμμετέχει στη συνόρθωση του δικτύου  Αν η Η ο απορρίπτεται για περισσότερες από μία παρατηρήσεις, τότε αφαιρούμε την παρατήρηση με το μεγαλύτερο t i και ξανασυνορθώνουμε το δίκτυο ώσπου η σάρωση δεδομένων να μην εμφανίζει προβληματικές παρατήρησεις  Η σάρωση δεδομένων πρέπει να εφαρμόζεται πάντα κατά τη συνόρθωση ενός δικτύου (δηλ. ακόμα και στην περίπτωση όπου ο αρχικός ολικός έλεγχος αξιοπιστίας είναι επιτυχής)

36 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Στατιστικοί πίνακες

37 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας

38 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας

39 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας


Κατέβασμα ppt "Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google