Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ Για την ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού κατά Euler μπορούν να ακολουθηθούν δύο προσεγγίσεις που η κάθε μία όμως δίνει διαφορετικό.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ Για την ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού κατά Euler μπορούν να ακολουθηθούν δύο προσεγγίσεις που η κάθε μία όμως δίνει διαφορετικό."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ Για την ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού κατά Euler μπορούν να ακολουθηθούν δύο προσεγγίσεις που η κάθε μία όμως δίνει διαφορετικό είδος πληροφόρησης: Ανάλυση σε μακροσκοπικό επίπεδο Οι νόμοι εξάγονται για όγκο ελέγχου που καταλαμβάνεi το υπό μελέτη τμήμα του πεδίου ροής και υπολογίζονται από αυτούς μέσες τιμές των ροϊκών μεγεθών. Αυτό το επίπεδο ανάλυσης δεν παρέχει πληροφορίες για την μεταβολή των ροϊκών μεγεθών από σημείο σε σημείο μέσα στον όγκο ελέγχου και γιαυτό αποτελεί πολύ χρήσιμο εργαλείο για μια αρχική εκτίμηση των ροϊκών μεγεθών μέσα στο υπό μελέτη πεδίο ροής. Ανάλυση σε μικροσκοπικό επίπεδο ή Διαφορική ανάλυση Υπολογίζει τις μεταβολές των ροϊκών μεγεθών από σημείο σε σημείο μέσα στο πεδίο ροής. Γιαυτό το λόγο το πεδίο ροής διαιρείται σε στοιχειώδεις όγκους ελέγχου και σε κάθε ένα από αυτούς γράφονται οι εξισώσεις μεταβολής των ροϊκών μεγεθών σε διαφορική μορφή οδηγώντας σε ένα σύστημα μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η αναλυτική επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων είναι αδύνατη και γιαυτό καταφεύγουμε στις μεθοδολογίες της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής (Computational Fluid Dynamic)

2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Το γενικό πρόβλημα της μαθηματικής ανάλυσης Όλοι οι νόμοι της φυσικής έχουν προκύψει έχοντας ακολουθήσει την περιγραφή κατά Lagrange, δηλαδή έχουν προκύψει για συστήματα σταθερής μάζαςΗ μαθηματική ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού γίνεται με τη προσέγγιση Euler, δηλαδή γίνεται σε σταθερούς όγκους ελέγχου σε μέγεθος και θέση (fixed control volumes). Γιαυτό το λόγο απαιτείται η επαναδιατύπωση των νόμων της φυσικής έτσι ώστε αυτοί να μπορούν να εφαρμοστούν σε όγκους ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με το Θεώρημα Μεταφοράς. Όλοι οι νόμοι της φυσικής έχουν προκύψει έχοντας ακολουθήσει την περιγραφή κατά Lagrange, δηλαδή έχουν προκύψει για συστήματα σταθερής μάζας. Η μαθηματική ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού γίνεται με τη προσέγγιση Euler, δηλαδή γίνεται σε σταθερούς όγκους ελέγχου σε μέγεθος και θέση (fixed control volumes). Γιαυτό το λόγο απαιτείται η επαναδιατύπωση των νόμων της φυσικής έτσι ώστε αυτοί να μπορούν να εφαρμοστούν σε όγκους ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με το Θεώρημα Μεταφοράς. Διατύπωση βασικών νόμων κατά LagrangeΔιατύπωση βασικών νόμων κατά Euler Διατήρηση μάζας Νόμος κίνησης Newton Διατήρηση ενέργειας Όγκος ελέγχουΣύστημα  t t  t+dt Θεώρημα Μεταφοράς

3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ρυθμός μεταβολής μιας ιδιότητας Ν του ρευστού μέσα στο σύστημα Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού μέσα στον όγκο ελέγχου Ρυθμός καθαρής εκροής της ιδιότητας Ν του ρευστού διαμέσου της επιφάνειας του όγκου ελέγχου Ν = ποσότητα οποιαδήποτε ιδιότητας του ρευστού (μάζα, ενέργεια, ορμή) μέσα στο σύστημα τη χρονική στιγμή t. n = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα μάζας οπουδήποτε μέσα στο ρευστό. dV = στοιχειώδης όγκος ελέγχου = ταχύτητα ρευστού = διάνυσμα που αντιπροσωπεύει τη στοιχειώδη επιφάνεια dA της επιφάνειας εκροής του ρευστού. Είναι κάθετο στην επιφάνεια εκροής του όγκου ελέγχου και έχει φορά πάντα προς τα έξω. = εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (dot product) dA Όγκος ελέγχου Vα Περιοχή εκροής dA Όγκος ελέγχου V α Περιοχή εισροής

4 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Όγκος ελέγχου Σύστημα Θέση 1 ρ 1, V 1 Profile ταχύτητας Θέση 2 ρ 2, V 2  Επιλέγουμε τον όγκο ελέγχου έτσι ώστε να περιλαμβάνει τα φυσικά όρια του προβλήματος και οι ροϊκές γραμμές στα σημεία εισόδου (1) και εξόδου (2) να είναι κάθετες στον όγκο ελέγχου  Υποθέτουμε μόνιμη ροή  Υποθέτουμε ότι η πυκνότητα δεν μεταβάλλεται κατά μήκος των επιφανειών εισόδου και εξόδου  Εισάγουμε μέσες ταχύτητες u είναι η τοπική ταχύτητα dA 1 α 1 =180 ο dA 2 α 2 =0 ο Εξίσωση συνέχειας στον όγκο ελέγχου u1u1 u2u2

5 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Όγκος ελέγχου Σύστημα Θέση 1 ρ 1, V 1 Profile ταχύτητας Θέση 2 ρ 2, V 2 dA 1 α 1 =180 ο dA 2 α 2 =0 ο  e είναι η ειδική ενέργεια ρευστού (ολική ενέργεια ανά μονάδα μάζας)  Ρυθμός εισροής θερμότητας στον όγκο ελέγχου  Το έργο που αποδίδεται από το ρευστό του όγκου ελέγχου στο περιβάλλον διαιρείται σε δύο όρους: το έργο των δυνάμεων πίεσης (W p ) και το έργο ατράκτου (W s ). Το Ws>0 όταν παράγεται από το ρευστό του όγκου ελέγχου και Ws<0 όταν προσφέρεται στο ρευστό του όγκου ελέγχου  Για μόνιμη Ροή WsWsWsWs u1u1 u2u2 Ε Δ =0 z1z1 z2z2

6 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Υπολογισμός Ειδικής ενέργειας e  ειδική δυναμική ενέργεια ρευστού e δ z = Απόσταση κέντρου μάζας ρευστού από επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργεια  ειδική κινητική ενέργεια ρευστού e κ  ειδική εσωτερική ενέργεια ρευστού e * Αποτελεί το άθροισμα της ενέργειας όλων των μορίων

7 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Απλοποιήσεις 1. Η ειδική εσωτερική ενέργεια e * του ρευστού είναι σταθερή ή ομοιόμορφη πάνω σε κάθε επιφάνεια (CS) εισόδου ή εξόδου του ρευστού από τον όγκο ελέγχου. 2. Η πίεση και η πυκνότητα θεωρούμε ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες πάνω σε κάθε επιφάνεια (CS) εισόδου ή εξόδου του ρευστού από τον όγκο ελέγχου. Η υπόθεση αυτή είναι πάντα σωστή για αγωγούς μικρής διαμέτρου όπως συμβαίνει πάντα στις περισσότερες των πρακτικών περιπτώσεων. 3. Εισαγωγή συντελεστή διόρθωσης κινητικής ενέργειας (α) για να εισαχθεί στο επιφανειακό ολοκλήρωμα που έχει τον όρο της κινητικής ενέργειας η μέση ταχύτητα αντί της τοπικής ταχύτητας. και

8 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διαιρώντας με το ρυθμό ροής μάζας Όπου q και w s είναι η προστιθέμενη θερμότητα στον όγκο ελέγχου και το έργο ατράκτου ανά μονάδα μάζας ρέοντος ρευστού Εισαγωγή όρου απωλειών ενέργειας Κατά την ροή του ρευστού στον όγκο ελέγχου λαμβάνουν χώρα διάφορα φαινόμενα (πχ. παραγωγή θερμότητας λόγω τριβής του ρευστού με τα τοιχώματα, απότομες αλλαγές στη γεωμετρία του πεδίου ροής και ανάπτυξη διατμητικών τάσεων στο εσωτερικό του ρευστού λόγω απότομης επιτάχυνσης ή επιβράδυνσης) που δημιουργούν απώλειες ενέργειες. Οι απώλειες ενέργειας ποσοτικοποιούνται μέσω ενός εμπειρικού όρου απωλειών ενέργειας ο οποίος έχει την παρακάτω μορφή: Κ = συντελεστής απωλειών ενέργειας Vμ = μέση ταχύτητα ρευστού στον όγκο ελέγχου όπου συμβαίνουν οι απώλειες

9 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γενική εξίσωση ενέργειας σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή όλοι οι όροι εκφράζουν Ενέργεια ανά μονάδα μάζας Γενική εξίσωση ενέργειας σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή όλοι οι όροι εκφράζουν Ενέργεια ανά μονάδα βάρους

10 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ, ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΚΑΙ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΧΩΡΙΣ ΕΡΓΟ ΑΤΡΑΚΤΟΥ Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν: Εξίσωση μηχανικής ενέργειας

11 ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Εάν η εξίσωση μηχανικής ενέργειας γραφεί για ροϊκό σωλήνα απειροστής διατομής, δηλαδή για μια ροϊκή γραμμή τότε οι μέσες ταχύτητες αντιπροσωπεύουν σημειακές ή τοπικές ταχύτητες και οι συντελεστές διόρθωσης κινητικής ενέργειας (α) γίνονται οριακά ίσοι με μονάδα Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν: Εξίσωση Bernoulli Προϋποθέσεις Ισχύος 1.Μόνιμη Ροή 2. Ατριβής Ροή 3.Ασυμπίεστη “ H μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής ”

12 ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Μορφή 1 Υδραυλικό Μήκος Πίεσης (Pressure Head) Υδραυλικό Μήκος Ανύψωσης (Elevation Head) Υδραυλικό Μήκος Ταχύτητας (Velocity Head) Μορφή 2 Στατική ΠίεσηΥδροστατική ΠίεσηΔυναμική Πίεση Ολικό υδραυλικό μήκος “Κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής το άθροισμα της στατικής, της υδροστατικής και της δυναμικής πίεσης παραμένει σταθερό”

13 ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όγκος ελέγχου Σύστημα Θέση 1 ρ 1, V 1 Θέση 2 ρ 2, V 2 dA 1 α 1 =180 ο dA 2 α 2 =0 ο u1u1 u2u2 Από το θεώρημα μεταφοράςΌπου, “Το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στον όγκο ελέγχου ισούται με το ρυθμό αύξηση της ορμής στον όγκο ελέγχου και τον καθαρό ρυθμό με τον οποίο η ορμή εξέρχεται από τον όγκο ελέγχου μέσω των επιφανειών ελέγχου”

14 ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όγκος ελέγχου Σύστημα F το διατμητική δύναμη συνιστώσα της τριβής F το FgFg F g Δύναμη βαρύτητας F w ορθή συνιστώσα της τριβής στο τοίχωμα F p1 F τ, Δυνάμη ιξώδους F p2 FwFw F p Δύναμη πίεσης Επειδή οι συνιστώσες της δύναμης ιξώδους δεν μπορούν να διαχωριστούν στα περισσότερα προβλήματα ροής, αντιμετωπίζονται ως μια δύναμη F τ η οποία ασκείται στο κέντρο βάρους του όγκου ελέγχου. Συνεπώς, η διεύθυνση και το μέγεθος της Fτ θα προσδιορίζονται κάθε φόρα από τη λύση του προβλήματος FτFτ Ανάλυση δυνάμεων στον όγκο ελέγχου  Για μόνιμη Ροή

15 ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όγκος ελέγχου Σύστημα FgFg F p1 F p2 FτFτ n1n1 n2n2 Εισαγωγή συντελεστή διόρθωσης ορμής (β) για να εισαχθεί στο επιφανειακό ολοκλήρωμα που έχει τον όρο της ορμής η μέση ταχύτητα αντί της τοπικής ταχύτητας. και

16 ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όμως, Γενική εξίσωση ορμής σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή Ανάλυση εξίσωσης ορμής σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Ζ


Κατέβασμα ppt "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ Για την ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού κατά Euler μπορούν να ακολουθηθούν δύο προσεγγίσεις που η κάθε μία όμως δίνει διαφορετικό."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google