Teorija igara.

Παρουσίαση με θέμα: "Teorija igara."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Teorija igara

2 Uvod U svakodnevnom životu, podjednako poslovnom i privatnom, okolina u kojoj djelujemo promjenjiva je i dinamična i u njoj susrećemo pojedince ili (interesne) grupe čije su aktivnosti i djelovanja u odlučivanju relevantna, a ponekad i presudna za naše odluke .

3 Uvod u teoriju igara Malo je vjerojatno da postoji netko tko nikada nije ušao u sportsku kladionicu da odigra „keca“ ili „dvojku“ ili igrao igre na sreću gdje „svaka dobiva“. “siguran par, dobitak garantiran“ – što se ustvari krije iza tih parova, tombole, lutrije i kladionice? Krije se nešto što je puno širi pojam od kladionice ili pobjede i poraza. Krije se znanost koja je utkana u sve sfere života. Krije se, običnim ljudima nepoznata, teorija igara.

4 Uvod u teoriju igara Teorija igara sadrži strategiju kao najsavršeniji pojam u igri. Što je to strategija koju primjenjuju igrači u igri? Tko su igrači? Što je igra? Igra je lijepa stvar, lijepo je biti igrač. Sjajno je biti strateg. Ali samo kad se radi o zabavi. Teorija igara je svuda oko nas. U svim područjima života služimo se različitim strategijama u interakciji s drugim ljudima, a teorija igara pomaže nam u analizama strateških problema u različitim okruženjima kao što su, primjerice, obiteljske svađe, međususjedski odnosi ili sporovi…

5 - Razvoj teorije igara Matematička disciplina koja se razvila sredinom 20. st. Davno prije formiranja teorije igara njezina ideja utjecala je na razne vojskovođe i njihove ratne strategije. Formalni začeci teorije igara pripisuju se Jamesu Waldegraveu, izumitelju kartaške igre Le Her koji je prvi puta predložio formu minmax – rješenja mješovite strategije igre za dvije osobe.

6 Doprinos teoriji igara dali su matematičar John von Neumann i ekonomist Oskar Morgenstern kroz knjigu “Teorija igara i ekonomsko ponašanje” (Theory of Games and Economic Behavior) Prvi put se eksplicitno povezuje teorija igara s ekonomijom

7 1950. godine prvi put predstavljena igra poznata pod nazivom zatvorenikova dilema (Prisioner's Dillema) 1974. objavljena knjiga „Values of Non – Atomic Games“ koja se bavi vrijednostima u velikim igrama u kojima su pojedinačno svi igrači beznačajni

8 Doprinos teoriji igara dao je i John Nash u svom radu: Non-cooperative games, Annals of Mathematics
O Johnu Nashu je i snimljen biografski film: Genijalni um

9 Teorija igara Analizira donošenje odluka u konfliktnim situacijama pri čemu svaki od sudionika u igri nastoji promovirati vlastiti interes, poštujući pravila igre i koristeći različite strategije kako bi sebi osigurao povoljan ishod igre. Cilj  odrediti ponašanje sudionika koje je za njih najpovoljnije – optimalna strategija Zadatak  pronalaženje rješenja u situacijama konkurencije u kojima se djelomično ili potpuno sukobljavaju interesi najmanje dva protivnika

10 - Teorija igara bavi se proučavanjem:
- U terminologiji teorije igara sljedeće situacije nisu igre: Grupa Interakcija Strategija Razum Primjer 1: Zajednička izrada seminarskog rada iz kolegija Menadžersko odlučivanje Jednostrana odluka Preveliki utjecaj

11 - Temeljni pojmovi teorije igara:
Igra Igrači Potezi (akcije) Strategija Ishodi Isplata Racionalnost Opće znanje Informacijska struktura Ravnoteža

12 Igra – sukob interesa između pojedinaca odnosno igrača.
Opis strateških interakcija te uključuje ograničenja za akcije i interese igrača. Skup pravila i dogovora po kojima se igrači ravnaju Grupa – u svakoj igri postoji nekoliko donositelja odluke koje se nazivaju igrači (najmanje dva) Strategija – izbori igrača koje oni imaju na raspolaganju u igri. Postoje dvije osnovne vrste, a to su čista i mješovita. Razum – svaki igrač bira za sebe najbolju moguću akciju Konačno stanje / rezultat – svaka pojedina realizacija igre

13 - Pitanja koja igrači imaju dok igraju igru su:
Koje će poteze protivnički igrači odigrati? Kako će koji protivnik igrati? Koje će biti posljedice tog poteza te kako će one utjecati na cijelu grupu?

14 Teorija igara u širem smislu
Igre vještine Igre na sreću Strateške igre (Teorija igara u užem smislu) Izvor: Kopal, R., Korkut, D.: Teorija igara, Comminus i Visoka poslovna škola Libertas, Zagreb, 2011.

15 Igre vještine igrač ima potpunu kontrolu nad ishodima
rješavanje križaljke, polaganje ispita, utrka na 100 metara i sl. Međutim, ove igre ne bi trebale biti klasificirane kao igre jer im nedostaje osnovni sastojak svih igara, a to je međuovisnost.

16 Igre na sreću Igre protiv prirode s jednim igračem
Igrač nema potpunu kontrolu nad ishodima Njihove strateške odluke ne vode nužno unaprijed određenim ishodima Ishodi u ovim igrama ovise dijelom o igračevu izboru, a dijelom o sreći, slučaju, „sudbini“

17 Igre na sreću Razlikuju se: igre s rizikom i igre s nesigurnošću.

18 Igre s rizikom Igrač može dodijeliti vjerojatnost svakom potezu prirode Zna vjerojatnost mogućeg uspjeha svake od svojih strategija Mogu se, na primjer, riješiti na temelju koncepta očekivane vrijednosti.

19 Igre s nesigurnošću Također, jedan igrač igra protiv prirode
Potezima prirode igrač ne može dodijeliti vjerojatnosti Nesigurnost znači da nisu poznati ishodi ni vjerojatnosti pojedinih ishoda U takvim se okolnostima za rješavanje ovih igara predlažu tri principa : maxmax, maxmin i minmax.

20 Strateške igre Igre s dva ili više igrača
Svaki ima djelomičnu kontrolu nad ishodima Isključujući pri tome prirodu Ogleda se u postojanju značajnih interakcija među igračima.

21 Teorija igara u užem smislu
Bavi se situacijama koje imaju sljedeća svojstva: postoje minimalno dva igrača, igra počinje tako da jedan ili više igrača izaberu između određenih alternativa, nakon što je izbor pridružen prvom potezu, rezultat je određena situacija koja određuje tko vrši sljedeći izbor i koje su mu alternative „otvorene“, pravila igre određuju način ponašanja igrača, svaki potez u igri završava situacijom koja određuje isplatu svakog igrača.

22 Segmenti teorije igara
Tri su osnovna segmenta raščlambe strateških igara: 1. Strateško okruženje : Tko su igrači? (donositelji odluka) Koje su raspoložive strategije? (moguće ili izvedive akcije) Koje su isplate? (ishodi ili ciljevi) Igrači mogu biti pojedinci, skupine, organizacije ili u nekim slučajevima sama priroda. Strateško okruženje odnosi se na interakcije među igračima Različiti igrači razmišljaju na sličan način o istim stvarima i u isto vrijeme Igrači osmišljavaju strategije koje vode različitim ishodima s različitim pripadajućim isplatama.

23 Segmenti teorije igara
2. Pravila igre : Koji je vremenski okvir za donošenje odluka? Kakva je priroda sukoba? Kakva je priroda interakcije? Koje su dostupne informacije? Pravila igre sadrže informacije o identitetu igrača, njihovu znanju o igri, mogućim potezima ili akcijama i njihovim isplatama. Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

24 Segmenti teorije igara
3. Pretpostavke: Racionalnost Opće znanje Racionalnost podrazumijeva da je svaki igrač motiviran maksimalizacijom vlastitih isplata Igrač je racionalan ako ima ispravno definirane ciljeve iz skupa mogućih ishoda i u postizanju tih ciljeva primjenjuje najbolju moguću strategiju Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

25 Igre sa sumom nula Imamo samo 2 igrača Jednopotezna igra
Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0 Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu “par – nepar’’ Pretpostavka je da se igra ponavlja

26 Igre sa sumom nula Imamo samo 2 igrača Jednopotezna igra
Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0 Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu “par – nepar’’ Pretpostavka je da se igra ponavlja

27 Igra “pismo – glava” Sudionici: igrač X i igrač Y
Jednopotezna igra (svaki igrač može povući samo jedan potez) Mogućnosti: okrenuti novčanicu na stranu “glave” – strategija I ili “pisma” – strategija II Ukoliko su oba igrača okrenuli “glavu” ili “pismo” pobjedinik je igrač X, a ukoliko je jedan igrač izabrao “glavu” a drugi “pismo” pobjednik je igrač Y

28 Y I II X + 5 – 5 prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I – odgovara prvi redak tablice) i prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju I – odgovara prvi stupac tablice) tada igrač X dobiva 5 kuna, što označava broj 5 na presjeku prvog retka i prvog stupca tablice isplata.

29 Y I II X + 5 – 5 prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I – odgovara prvi redak tablice) i prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju II – odgovara drugi stupac tablice) tada igrač X gubi 5 kuna, a igrač Y dobiva 5 kuna što označava broj – 5 na presjeku prvog retka i drugog stupca tablice isplata. U oba slučaja dobitak jednoga igrača jednak je gubitku drugoga igrača, pa je zbroj dobitaka oba igrača jednak nuli.

30 Igra “par – nepar”

31 Sa stajališta prvoga igrača svi mogući ishodi igre „par – nepar“ su:
Svaki igrač može koristiti jednu od strategija: pokazati paran broj prstiju pokazati ne paran broj prstiju Drugi igrač – Y I II Prvi igrač – X + 2 – 2 Sa stajališta prvoga igrača svi mogući ishodi igre „par – nepar“ su: ako pokažem paran broj, a protivnik također, dobivam dvije kune ako pokažem neparan broj, a protivnik također, dobivam dvije kune ako pokažem paran broj, a protivnik neparan, gubim dvije kune ako pokažem neparan broj, a protivnik paran, gubim dvije kune

32 - Igra sa sedlom Igrači izabiru različite strategije, te nastoje izabrati najbolje strategije kako bi maksimizirali svoj minimalni dobitak odnosno minimizirali svoj maksimalni gubitak. Striktno determinirane igre koje primjenjuju čistu strategiju. Koriste dva kriterija, a to su von Neumann-ov kriterij (minimax) i dominacija.

33 U igri sudjeluju 2 igrača
Igrači su suparnici Pretpostavka je da su oba inteligentna Igrač poštuje strategiju od protivnika Igra se putem matrice plaćanja Cilj je pronaći sedlastu točku

34 - Pravila igre sa sedlom
zapisivanje u obliku tablice ili u obliku matrice redovi predstavljaju strategije igrača A, a stupci su strategije igrača B rezultat igre je srednji rezultat kojeg čine elementi matrice igrača A pri odgovarajućem paru strategija

35 Matrica igre = matrica cijene = platežna matrica
RJEŠENJE IGRE ≠ VRIJEDNOST IGRE Rješenje igre: potez prvog i potez drugog igrača Vrijednost igre: dobitak prvog igrača i gubitak drugog igrača Pozitivan predznak – dobitak prvog igrača, a gubitak drugog igrača Negativan predznak – prvi igrač je ostvario gubitak, a drugi dobitak

36 - Svrha igre da igrač A izabere strategiju koja će maksimizirati njegov minimalni dobitak (maxmin), a da igrač B bira onu strategiju koja predstavlja minimum njegovog maksimalnog gubitka (minmax)

37 maxmin = minmax = vrijednost igre igra ima sedlastu točku
maxmin = donja vrijednost igre minmax = gornja vrijednost igre maxmin = minmax = vrijednost igre igra ima sedlastu točku igra može imati i više sedlastih točaka sedlasta točka ne mora biti optimalna strategija.

38 Igre sa sedlom (von Neumann-ov kriterij)
Druga tvrtka (Igrač B) Prva tvrtka (Igrač A) Osijek Našice Đakovo Zagreb min 50% 30% 20% 25% 70% 45% 40% 80% 55% 75% 60% max Sedlo je 50% i to je vrijednost ove igre Igrači igraju čistu strategiju

39 Rješenje: Pronalaženje minimalnog elementa svakog reda koji su u ovom slučaju bili 20%, 40%, 45%, 50%, te utvrđivanje maksimalnog elementa svakog stupca, koji su u ovom primjeru iznosili 80%, 60%, 55%, 50% Pronalaženje najvećeg minimalnog elementa koji je u navedenom primjeru 50% , te najmanjeg maksimalnog elementa, koji iznosi također 50% . Zaključak: maksimum minimuma redova 50% je identičan minimumu maksimuma stupaca koji također iznosi 50% Vrijednost igre je 50%

40 Igre bez sedla  Ne postoji sedlo! Mijenjamo matricu plaćanja:
Druga tvrtka (Igrač B) Prva tvrtka (Igrač A) Osijek Našice Đakovo Zagreb min 50% 25% 75% 40% 30% 60% 20% 70% 80% max  Ne postoji sedlo!

41 Igrači igraju mješovitu strategiju
 koristimo Müller-Merbach-ovu metodu Postavljamo funkciju cilja i restrikcije – primjer za igrača A Simpleks metoda on želi maksimizirati svoj minimalni dobitak – V S varijablama x1, x2, x3 i x4 označavamo relativnu učestalost izbora Osijeka, Našica, Đakova ili Zagreba kao potencijalne podružnice međunarodne tvrtke

42 ax1 + cx2  V (u slučaju da igrač B odabere 1 strategiju
Igrač A Druga tvrtka (Igrač B) Prva tvrtka (Igrač A) Osijek Našice Đakovo Zagreb min 50% 25% 75% 40% 30% 60% 20% 70% 80% max D = V max – funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V minimalni dobitak koji se želi maksimizirati) ax1 + cx2  V (u slučaju da igrač B odabere 1 strategiju dobitak igrača A treba biti veći od V) bx1 + dx2  V x1 + x2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1) x1, x2  0 V – slobodna varijabla D = V max! 50x1 + 75x2 + 50x3 + 25x4 ≥ V 25x1 + 50x2 + 60x3 + 70x4 ≥ V 50x1 + 40x2 + 50x3 + 80x4 ≥ V 75x1 + 30x2 + 20x3 + 50x4 ≥ V x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla  Simplex metoda

43 y1 + y2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1)
Igrač B Druga tvrtka (Igrač B) Prva tvrtka (Igrač A) Osijek Našice Đakovo Zagreb min 50% 25% 75% 40% 30% 60% 20% 70% 80% max D = V min – funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V maksimalni gubitak koji se želi minimizirati) ay1 + by2  V (u slučaju da igrač A odabere 1 strategiju , gubitak igrača B ne smije biti veći od V) cy1 + dy2  V y1 + y2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1) y1, y2  0 V – slobodna varijabla D = V min 50y1 + 25y2 + 50y3 + 75y4 ≤ V 75y1 + 50y2 + 40y3 + 30y4 ≤ V 50y1 + 60y2 + 50y3 + 20y4 ≤ V 25y1 + 70y2 + 80y3 + 50y4 ≤ V y1 + y2 + y3+ y4 = 1 y1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla  Simplex metoda

44 Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 Zaključak: igrač A (prva tvrtka) u 2/7 (28%) slučajeva bira strategiju x1, tj. želi otvoriti predstavništvo u gradu Osijeku, u 5/14 (36%) slučajeva želi predstavništvo smjestiti u Našicama, a tako i u Zagrebu za strategiju x3 neće se odlučiti te neće predstavništvo smjestiti u grad Đakovo Primjenjujući ove strategije ostvarit će maksimalni dobitak od 50% osvojenog tržišta

45 x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1 -50 -75 -25 -60 -70 -40 -80 -30 -20 -1 25 -10 -45 35 -55 45 30

46 x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1 25 50 75 -35 -70 -1 -25 -90 -15 -45 275/14 9/14 25/70 825/14 -27,5 -55 -0,5 -12,5 3/14 1/70 -0,014 11/14 5/14

47 Rješenja: Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala
x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1 50/7 2/7 5/14 25/70 50 1/2 1/70 -0,014 -0,786 -0,5 -0,286 11/14 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 D = V = 50 Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50

48 Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 Zaključak: igrač A (prva tvrtka) u 2/7 (28%) slučajeva bira strategiju x1, tj. želi otvoriti predstavništvo u gradu Osijeku, u 5/14 (36%) slučajeva želi predstavništvo smjestiti u Našicama, a tako i u Zagrebu za strategiju x3 neće se odlučiti te neće predstavništvo smjestiti u grad Đakovo Primjenjujući ove strategije ostvarit će maksimalni dobitak od 50% osvojenog tržišta

49 IGRE PROTIV PRIRODE Priroda  neracionalna pojava, koja ne vodi računa i nema interes za ishode igre Čovjek (Igrač)  inteligentan Igra između prirode i čovjeka igrač igra svoju najbolju strategiju i pri tome je posve indiferentan prema prirodi Različiti pristupi rješavanja (kriteriji): a) Laplace b) Hurwicz c) Savage

50 ZADATAK… Međunarodna tvrtka, iz našeg prošlog primjera, odlučila je otvoriti predstavništvo svoje tvrtke u Hrvatskoj, u gradu Zagrebu. Za otvaranje predstavništva, treba joj dodatnih financijskih sredstava, te se ona odlučila na podizanje kredita. Ona ima mogućnost podići kredit u eurima, američkim dolarima i kunama. Prilikom podizanja kredita zanima ju koja joj je mogućnost, odnosno strategija najbolja u optimalnom smislu, u slučajevima inflacije, deflacije i stabilnog stanja koji se mogu pojaviti u Hrvatskoj kao posljedica njenog i svjetskog gospodarstva i bankarstva te funkcioniranja tržišta uopće.

51 3 2 -1 1 -3 -2 Priroda Igrač A (čovjek) Deflacija stabilno inflacija €
kn 1 -3 $ -2 Igrač A (čovjek)

52 LAPLACEOV KRITERIJ Pretpostavka:
sve su vjerojatnosti jednake (nema ih četiri, nego samo jedna) pa nema razloga za preferenciju bilo koje opcije prirode nakon izračunavanja izabire se red s najvećom vrijednosti pa je ta strategija optimalna strategija za igrača

53 optimalna strategija je A1  kredit u €
maxi [ 1/n*ai1 + 1/n*ai2+…+ 1/n*ain ] Deflacija stabilno inflacija € 3 2 -1 kn 1 -3 $ -2

54 HURWICZOV KRITERIJ α *(max. reda) + (1 - α)* (min. reda)
Optimizam igrača se izražava brojem α tako da je 0 ≤  ≤ 1 ako je dobiveni rezultat u nekoj od strategija bliže jedinici- više nam je stalo do prirode, a ako je bliže nuli – manje nam je stalo do reakcije prirode Hurwiczov kriterij uključuje maksimum u obliku specijalnog slučaja: - potrebno je odabrati koeficijent optimizma – označen kao α pa se izračuna po formuli: te odabrati red koji daje maksimalni iznos α *(max. reda) + (1 - α)* (min. reda)

55  optimalna strategija je A1  kredit u €
deflacija stabilno inflacija € 3 2 -1 kn 1 -3 $ -2 A1=1/2*3+(1-1/2)*(-1)=1 A2=1/2*2+(1-1/2)*(-3)=-1/2=-0,5 A3=1/2*3+(1-1/2)*(-2)=1/2=0,5  optimalna strategija je A1  kredit u €

56 SAVAGEOV KRITERIJ  matrica žaljenja
Izračunamo matricu za svaku opciju i odabiremo onu kod koje će maksimalno žaljenje za opcijom biti najmanje Radimo redukciju matrice po stupcu tako da pronađemo najveći element svakog stupca i od njega oduzmemo sve ostale elemente stupca i njega samog od sebe Pronalazimo najveći element svakog reda i minimalni od tih maksimalnih elemenata odabiremo kao optimalnu strategiju za igrača

57 3 2 -1 1 -3 -2 1 2 -2 -1 Kao i kod Laplace-ovog i Hurwiczovog kriterija, i Savagov kriterij nam daje isti odgovor optimalna strategija za međunarodnu tvrtku je A1

58 - Primjena teorije igara
u ekonomiji, političkim znanostima, operacijskim istraživanjima, računarstvu, sportu, vojnoj strategiji, te bilo kojem sustavu sa određenim pravilima.

59 - Praktična primjena u poslovanju
Cjenovna konkurencija - komplicirane sheme određivanja cijena Neprijateljsko preuzimanje poduzeća vs. prijateljsko spajanje Sprječavanje ulaska na tržište – npr. prijetnja sindikata štrajkom

60 - Primjena u društvenim znanostima
Pravo radno zakonska regulativa vezana uz zaštitu okoliša pregovaranje i parničenje ugovorno Političke znanosti primjer terorizma pravedna podjela, politička ekonomija, teorija javnog izbora, pozitivna politička teorija, teorija društvenog izbora, sukobi i ratno pregovaranje i međunarodni odnosi

61 - Teorija igara u međunarodnoj ekonomiji
strateška međuovisnost stvaranje carinskih unija, pregovori o smanjenu carina, korištenje resursa međunarodne zajedničke imovine, kartelski sporazumi i dr.

62 - Marketing – odlučivanje temeljeno na teoriji igre
Reklamiranje proizvoda – npr. konkurentska “borba” kroz reklamnu kampanju Pogrešna odluka značajni gubici

63

64